《高等数学b》第十章___微分方程与差分方程__第6节__差分与差分方程的概念_、……

第六节 差分与差分方程的概念 、常系数线性差分方程解的结构 在科学技术和经济管理的许多实际问题中，在科学技术和经济管理的许多实际问题中， 经济变经济变量的数据大多按等间隔时间周期统计。量的数据大多按等间隔时间周期统计。 因此，各有关因此，各有关变量的取值是离散变化的，如何寻求它们之间的关系变量的取值是离散变化的，如何寻求它们之间的关系和变化规律呢和变化规律呢 ? 差分方程是研究这类离散数学模型的有力工具。差分方程是研究这类离散数学模型的有力工具。 一、差分的概念 设变量 y 是时间 t 的函数 , 如果函数 y = y( t ) 不仅连续而且还可导 , 则变量 y 对时间 t 的变化速率用 dy/dt来 刻画 ; 但在某些场合 , 时间 t 只能离散地取值 , 从而变量 y 也只能按规定的离散时间而相应地离散地变化 , 这时常用规定的时间区间上的差商 y / t 来刻画 y 的变化速率 . 若取 t = 1 , 那么 y = y( t + 1) y( t ) 就可近似地代表变量 y 的变化速率 . 定义 1 设函数 y = f ( x ) , 当自变量 x 依次取遍非负整数时 , 相应的函数值可以排成一个数列 f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 2 ) , , f ( x ) , f ( x + 1 ) , 将之简记为 当自变量从 x 变到 x + 1 时 , 函数的改变量称为函数 y 在点 x 的 差分 (或一阶差分 ) , 记为 即 例 1 已知 ( C 为常数 ) , 求 解 所以常数的差分为零 . 例 2 已知 (其中 a 0 , a 1 ) , 求 解 可见 , 指数函数的差分等于指数函数乘上一个常数 . 例 3 已知 , 求 解 例 4 已知 求 解 由一阶差分的定义 , 容易得到差分的四则运算法则 (证明略 )下面给出高阶差分的定义 . 定义 2 当自变量从 x 变到 x + 1 时 , 一阶差分的差分 称为函数 y = f ( x ) 的 二阶差分 , 记为 , 即 同样 , 二阶差分的差分称为 三阶差分 , 记为 , 即 依次类推 , 函数 y = f ( x ) 的 n 阶差分为 解例 5 设 求 解例 6 设 求 一般地 , 对于 k 次多项式 , 它的 k 阶差分为常数 , 而 k 阶以上的差分均为零 . 二、差分方程的概念 定义 3 含有未知函数的差分 或 含有未知函数几个不同时期值的符号的方程 称为差分方程 , 其一般形式为 或 或 由差分的定义及性质可知 , 差分方程的不同表达形式之间可以互相转化 . 例如 , 差分方程 可转化成若将原方程的左边写成 则原方程又可化为 在定义 3中 , 未知函数的最大下标与最小下标的差称为 差分方程的阶 . 如是三阶差分方程 ,又如差分方程虽然它含有三阶差分 但是由于该方程可化为因此 , 它是二阶差分方程 . 定义 4 如果一个函数代人差分方程 , 使方程两边恒等 , 则称此函数为 差分方程的解 . 若在差分方程的解中 , 含有相互独立的任意常数的个数与该方程的阶数相同 , 则称这个解为 差分方程的通解 . 为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性 , 往往根据事物在初始时刻所处状态 , 对差分方程附加一定条件 , 称之为 初始条件 . 当通解中所有任意常数被初始条件确定后 , 这个解称为 差分方程的特解 .三、常系数线性差分方程解的结构 为以后几节讨论的需要 , 这里将给出常系数线性差分方程的解的结构定理 . n 阶常系数线性差分方程的一般形式为(1)其中 为常数 , 且 为已知函数 .当 f ( x ) 0 时 , 差分方程 (1) 称为齐次的 ; 当 f ( x ) 0 时 , 差分方程 (1) 称为非齐次的 . 若 (1) 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程 , 则其所对应的 n 阶常系数齐次线性差分方程为 (2)关于 n 阶常系数线性差分方程 (2) 的解有如下一些结论 : 定理 1 若函数都是常系数齐次线性差分方程 (2) 的解 , 则它们的线性组合 也是方程 (2) 的解 , 其中 为常数 . 定理 2 若函数是 n 阶常系数齐次线性差分方程 (2) 的 n 个线性无关的解 , 则就是方程 (2) 的通解 (其中 为常数 ) . 由此定理可知 ; 要求出 n 阶常系数齐次线性差分方程 (2) 的通解 , 只需求出其 n 个线性无关的特解 .该定理称为常系数齐次线性差分方程的通解的结构 定理 . 定理 3 若 是非齐次方程 (1) 的一个特解 , 是它对应的齐次方程 (2)的通解 , 则非齐次方程 (1)的通解为 该定理告诉我们 , 要求非齐次方程 (1) 的通解 , 可先求对应的齐次方程