一阶线性微分方程

目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式 :若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为 非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为 齐次方程 ;目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解齐次方程通解 非齐次方程特解2. 解非齐次方程用 常数变易法 : 则故原方程的通解即即作变换两端积分得目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 解方程 解 : 先解 即积分得 即用 常数变易法 求特解 . 则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中 , 所有支路上的电压降为 0例 2. 有一电路如图所示 , 电阻 R 和电解 : 列方程 .已知经过电阻 R 的电压降为 R i 经过 L的电压降为因此有 即初始条件 : 由回路电压定律 :其中电源求电流感 L 都是常量 ,目录 上页 下页 返回 结束 解方程 :由初始条件 : 得利用一阶线性方程解的公式可得目录 上页 下页 返回 结束 暂态电流 稳态电流因此所求电流函数为解的 意义 : 目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 求方程 的通解 .解 : 注意 x, y 同号 ,由一阶线性方程 通解公式 , 得故方程可变形为所求 通解为 这是以 为因变量 y 为自变量的一阶线性方程目录 上页 下页 返回 结束 *二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式 :令求出此方程通解后 ,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解 .解法 :(线性方程 )伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例 4. 求方程 的通解 .解 : 令 则方程变形为其通解为将 代入 , 得原方程通解 : 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 一阶线性方程方法 1 先解齐次方程 , 再用常数变易法 .方法 2 用通解公式化为线性方程求解 .2. 伯努利方程目录 上页 下页 返回 结束 3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如 , 解方程法 1. 取 y 作自变量 : 线性方程 法 2. 作变换 则 代入原方程得 可 分离变量方程目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习判别下列方程类型 : 提示 :可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程目录 上页 下页 返回 结束 P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ;*8 (1) , (3) , (5) 作业第五节 习题课 1 目录 上页 下页 返回 结束 备用题1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程 :提示 :令则有 线性方程利用公式可求出目录 上页 下页 返回 结束 2. 设有微分方程 其中试求此方程满足初始条件 的连续解 .解 : 1) 先解定解问题利用通解公式 , 得利用 得故有目录 上页 下页 返回 结束 2) 再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3) 原问题的解为( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用 , 伯努利 (1654 1705)瑞士数学家 , 位数学家 . 标和 极坐标下的曲率半径公式 , 1695年 版了他的 巨著 猜度术 ,上的一件大事 , 而伯努利定理则是大数定律的最早形式 . 年提出了著名的伯努利方程 , 他