常数项级数收敛性判别法

82 常数项级数收敛性判别法 案例研究湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College案例 8.2 正整数平方倒数和 ： 研究下面的级数（ 1）该级数是否收敛？（ 2）该级数如果收敛，那 么它收敛到多少？ 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College分析 我 们 来求它的 n项 部分和，依次 为因为该级数每一项均是非负的，所以部分和数列是单调增加的 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College抽象归纳正 项级 数的 审敛 法若常数项级数 的每一项都是非负的，即 un0(n=1， 2， 3， ) ， 则称级数 为 正项级数 . 设正项级数 的部分和为 则部分和构成的 数列 是一个单调增加的数列，即 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College定理 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列 有界 . 比较审敛法 设两个正项级数 和 且 (n=1,2,). （ 1）若级数 收敛，则级数 收敛； （ 2）若级数 发散，则级数 发散 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College证 设 当 时，则 有 （ 1）当级数 收敛时，数列 有界，从而数列 有界，所以级数 收敛 . （ 2）当级数 发散时，数列 无界，从而数列 无界，所以级数 发散 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例 1 级 数称为 p 级数 . 试讨论它的收敛性 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College解 当 时，因为 而级数 发散，所以级数 发散 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College当 时，小矩形的面积比同底的曲边梯形的 面积小，所以有 即级数 的部分和数列有界，所以收敛 . 综上，当 p1时，级数 收敛，当 时， 级数 发散 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College案例 8.2(1)的解 因为 是 级数，且 所以该级数收敛 . 例 2 判定下列级数的收敛性：（ 1） （ 2） 解 （ 1）因为 而等比级数 收敛， 所以根据比较审敛法，级数 收敛 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College（ 2）因为 n(n+1)1（ 或 ）时，级数 发散； 当 =1时，级数 可 能收敛也可能发散 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例 3 判定下列 级 数的收 敛 性（ 1） （ 2） 解 （ 1）因为所以级数收敛 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College（ 2）因为所以级数发散 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College交 错级 数的 审敛 法一个级数若具有以下形式或具有以下形式则称为 交错级数 ，其中 例 下面的级数就是一个交错级数湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College交错级数审敛法 若交错级数 满足条 件： (1) (2) 则交错级 数 收敛 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例 4 判别交错级数 的收敛性 . 解 因为 所以有 且 所以由交错级数的审敛法知，级 数 收敛 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College绝对收敛与条件收敛定义 若级数 中各项可以是正数、负数或零， 则级数 称为 任意项级数 . 定义 若级数 收敛，则称级数 绝对收 敛 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例 任意项级数 各项取绝对值所得 的级数为 它是收敛的，所以原级数 绝对收敛 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College问： 如果一个任意项级数绝对收敛，那么该级数是 否一定收敛呢？ 定理 若级数 绝对收敛，则级数 必收敛 . 证 令 于是， 有 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College因为 均为正项级数，且 收敛，所以 由比较审敛法知，级数 和 收敛 . 又因为 所以由收敛级数的性质 2知，级数 收敛 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例 5 证明级数 收敛 . 解 因为 而级数 是 p=4的 p 级数，它是收敛的，所以由比较审敛法知，级 数 收 敛 . 所 以 ， 级 数 是 绝 对 收 敛 的 . 从 而 级 数 收敛 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College问： 收敛级数是否一定绝对收敛？试举例说明 .例是收敛的，但是它的各项取绝对值所成的级数却是发散的 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College若任意项级数 收敛，而级数 发散，则 称级数 条件收敛 . 例 交错级数 是条件收敛的 . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院Hunan Foreign Economic Relations & Trade College小 结 ：1正项级数