数学建模讲座之三——利用matlab求解线性规划问题linprog函数

利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技河北科技 大学大学*第第 1页页利用 Matlab求解线性规划问题 利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 2页页o线性规划是一种优化方法， Matlab优化工具箱中有现成函数 linprog对如下式描述的 LP问题求解： min f(x) s.t .(约束条件 )： Ax=b(等式约束条件 )： Aeqx=beq lb=x=ub利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 3页页linprog函数的调用格式如下：o x=linprog(f,A,b)o x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)o x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)o x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)o x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)o x,fval=linprog()o x, fval, exitflag=linprog()o x, fval, exitflag, output=linprog()o x, fval, exitflag, output, lambda=linprog() 利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 4页页其中：ox=linprog(f,A,b)返回值 x为最优解向量。ox=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令 A= 、 b= 。ox=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中 lb ,ub为变量 x的下界和上界， x0为初值点， options为指定优化参数进行最小化。 利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 5页页oOptions的参数描述：Display显示水平。 选择 off 不显示输出；选择 Iter显示每一 步迭代过程的输出；选择 final 显示最终结果。利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 6页页ox,fval=linprog() 左端 fval 返回解 x处的目标函数值。利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 7页页x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分：o exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解 x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。o output 返回优化信息： output.iterations表示迭代次数；output.algorithm表示所采用的算法； outprt.funcCount表示函数评价次数。o lambda 返回 x处的拉格朗日乘子。它有以下属性：o lambda.lower-lambda的下界；o lambda.upper-lambda的上界；o lambda.ineqlin-lambda的线性不等式；o lambda.eqlin-lambda的线性等式。利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 8页页o下面通过具体的例子来说明：o例如：某农场 I、 II、 III等耕地的面积分别为 100 hm2、 300 hm2和 200 hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000kg、 130000kg和 350000kg。 I、 II、 III等耕地种植三种作物的单产如表 5.1.4所示。若三种作物的售价分别为水稻 1.20元 /kg，大豆 1.50元 /kg，玉米 0.80元 /kg。那么，（ 1）如何制订种植计划，才能使总产量最大？（ 2）如何制订种植计划，才能使总产值最大？利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 9页页表 1不同等级耕地种植不同作物的单产 (单位 :kg / hm2)I等 耕 地 II等 耕 地 III等 耕 地水稻 11 000 9 500 9 000大豆 8 000 6 800 6 000玉米 14 000 12 000 10 000利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 10页页o首先根据题意建立线性规划模型（决策变量设置如表 2所示，表中 xij 表示第种作物在第 j等级的耕地上的种植面积。）：表 2 作物计划种植面积（单位 :hm2)I等 耕 地 II等 耕 地 III等 耕 地水稻 x11 x12 x13大豆 x22 x21 x23玉米 x31 x32 x33利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 11页页o约束方程如下：耕地面积约束：最低收获量约束： 利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 12页页o非负约束： 利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 13页页o(1)追求总产量最大，目标函数为：利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 14页页o(2)追求总产值最大，目标函数为：利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 15页页o根据求解函数 linprog中的参数含义，列出系数矩阵，目标函数系数矩阵，以及约束条件等。o这些参数中没有的设为空。譬如，利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 16页页o （ 1）当追求总产量最大时，只要将参数o f=-11000 9500 9000 8000 6800 6000 14000 12000 -10000;o A=1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000; 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000; 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000; -11000.0000 0.0000 0.0000 -9500.0000 0.0000 0.0000 -9000.0000 0.0000 0.0000; 0.0000 -8000.0000 0.0000 0.0000 -6800.0000 0.0000 0.0000 -6000.0000 0.0000; 0.0000 0.0000 -14000.0000 0.0000 0.0000 -12000.0000 0.0000 0.0000 -10000.0000;o b=100 300 200 -190000 -130000 -350000;o lb=0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ;代入求解函数 ，即可求得结果。利用利用 Matlab求解线性规划问题求解线性规划问题河北科技大学河北科技大学*第第 17页页o （ 2）当追求总产值最大时，将参数o f=-13200 11400 10800 12000 10200 9000 11200 9600 -8000;o A=1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000; 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000; 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000; -11000.0000 0.0000 0.0000 -9500.0000 0.0000 0.0000 -9000.0000 0.0000 0.0000; 0.0000 -8000.0000 0.0000 0.0000 -6800.0000 0.0000 0.0000 -6000.0000 0.0000; 0.0000 0.0000 -14000.0000 0.0000 0.0000 -12000.0000 0.0000 0.0000 -10000.0000;o b=100 300 200 -190000 -130000 -350000;o lb=