抛物型方程的差分方法

第 2章 抛物型方程的差分方法 2.1 差分格式建立的基础2.2 显 式 差分格式2.3 隐式差分格式2.4 解三对角形方程的追赶法2.5 差分格式的稳定性和收敛性2.6 非线性抛物型方程的差分解法举例2.7 二维抛物型方程的差分格式2.8 交替方向的隐式差分格式 ( ADI 格式 )本章，我们研究线性抛物型方程的差分解法，主要讨论差分方程的构造方法和有关的理论问题以及研究方法等，重点在于一维线性抛物型方程的差分方法，对于非线性以及多维抛物型方程的差分解法也进行了研究。 其中 , 为 平面上某一区域。(2.1)众所周知，一维线性抛物型方程的一般形式为(2) 初边值问题 (或称混合问题 ) 通常考虑的定解问题有：(1) 初值问题 (或称 Cauchy问题 )在区域 上求函数，使满足(2.2)为给定的初始函数。(2.3)(2.4)在区域上 求函数 ，使满足 边值条件初值条件为了构造微分方程 (2.1)的有限差分逼近，首先将求解区域 用二组平行于 轴和 轴的直线构成的网格覆盖，网格边长在方向 为 ，在 方向为 (如图 2.1所示 )。 分别称为空间方向和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结点。对初值问题来说，网格是2.1 差分格式建立的基础在 上的结点称为边界结点，属于 内的结点 称为内部结点。对于初边值问题，设 ，则网格是研究导数的差商近似表达式。为此对二元函数 定义 ，且假定 具有我们需要的有界偏导数。在 上的结点称为边界结点，属于 内的结点称为内部结点。差分方程就是在网格点上求出微分方程解的近似值的一种方法，因此又称为网格法。构造逼近微分方程的差分方程的方法。由 Taylor展开，有 则 在 处对 的一阶偏导数有三个可能的近似 :(2.5)(2.6)(2.7)向前差商向后差商中心差商显然，用差商近似导数存在误差，令(2.8)则关于导数的近似差商表达式，也可以通过线性算子作为推导工具得到，定义： 截断误差 ,阶为用向后差商近似导数的截断误差阶也为而中心差商近似导数的截断误差阶为为 方向偏导数算子为 方向位移算子 ，为 方向平均算子 ，其中: 方向的差分算子 :(2.9)前差算子 : ,(2. 10)后差算子 : ,中心差算子 : (2.11),建立差分算子和导数算子之间的关系，由Talyor 展开，有由得 (2.12)或者 (2.13)同理有因为故 (2.14)同理 (2.15)因为 (2.16)则 (2.17)式 (2.14)， (2.15)， (2.17)分别给出了偏导数算子关于前差、后差、中心差的级数表达式双曲正弦3246(2.18.1)(2.18.2)(2.18.3)利用这些关系式就可给出偏导数的差分表达式返回又由可得二阶偏导数的差分表达式(2.19.1)(2.19.2)(2.19.3)返回 返回4235(2.20.1)(2.20.2)(2.20.3)(2.21.1)(2.21.2)(2.21.3)对于三阶、四阶偏导数的差分表达式为 从以上这些偏导数的差分表达式，我们可以得到偏导数的各种精度的近似表达式。且又由二阶导数的前差表达式 (2.19.1)，得因此在 的前差表达式中取第一项，则有即截断误差阶 为。现在研究构造微分方程 (2.1)的差分方程的方法，为此记微分方程 (2.1)为(2.22)L 是关于 的线性算子， 。包括二个相邻时间层的网格结点的差分方程可以从 Talor 展开式推出返回设 ，于是(2.23)如果算子 L不依赖于 t，即 ，则(2.25)将式 (2.17)， ,代入算子 L中，即在 L中用中心差分算子 代替了微分算子 ，于是有 (2.24)返回3835目前通常用于解方程 (2.1)的各种差分方程，都是方程 (2.25)的近似表达式。下面各节，我们将以式 (2.25)为基础，对简单的抛物型方程，推导一些常用差分格式。对于用差分方法求偏导数方程的数值解来说，设计差分方程，用之作为微分方程的近似，仅仅是第一步。本章除致力于这一研究外，特别着重讨论了诸如差分格式的稳定性、收敛性等基本问题，它们也是本书研究的主要内容之一。2.2 显式差分格式现在，对抛物型方程 (2.1)的几种特殊情况，从方程 (2.25)出发，构造微分方程的有限差分近似。2.2.1 一维常系数热传导方程的古典显示格式 首先考虑一维热传导方程(2.26)的差分近似。差分方程的构造由 ，方程 (2.24)为代入式 (2.19.3)，得 算子之间的关系则(2.27)其中 为步长比。 返回在上式中，如果仅仅保留二阶中心差分，且设 为相应差分方程解在结点 (mh,nk) 上的值，则(2.28)代入 的表达式，则得差分方程(2.29)将格式 (2.29)应用于解初值问题 (初边值问题 )古典显式差分格式图 2.2差分格式 (2.29)也可简单地由导数的差商近似表达式得到代入微分方程 (2.26)，并令差分方程解为 即可。虽然在边界结点上，差分方程和微分方程具有相同的初值或者初边值条件，但是，一般而言，结点 上微分方程的精确解 和古典显式差分格式 (2.29)的精确解 不相等。(2.30)记假定 具有下面推导中所需要的有界偏导数，则由 展开，有 截断误差42(2.31)则由式 (2.26)， (2.29)， (2.30)， (2.31)得(2.32)从式 (2.31)有或(2.33)从而，上式右边量描写了古典显式差分格式 (2.29)在 点对微分方程的近似程度，将其定义为差分格式在点 的截断误差，记为 ，即(2.34)假定 在所考虑的区域保持有界，则古典显式差分格式的截断误差阶为 。从式 (2.33)又可见到，如令 ，因为故截断误差 的阶可以提高，这时 。 (2.35.1)或者(2.35.2)相应的截断误差阶为 。通常，格式可用图2.3表示。 为了提高截断误差的阶，我们也可用在式(2.27)中保留四阶中心差分项的办法达到，这时有差分格式 (2.27)m,n+1m-2,n m-1,n m,n m+1,n m+2,n图 2.3m,n+1m-1,n m,n m+1,n图