概率论与数理统计习题解答

习 题 答 案第一章习题一1连续抛掷 2 枚硬币，观察其出现正反面的情况。写出这个随机试验的样本空间。解：样本空间 =(),()()正 ， 正 正 ， 反 ,反 ， 正 ， 反 ， 反2任 取 一 个 有 3 个 孩 子 的 家 庭 ， 记 录 3 个 孩 子 的 性 别 情 况 。 写 出 这 个 随 机 试 验 的样 本 空 间。解：设 Ai(i=1，2，3)表示第 i 个孩子是男孩，则 表示第 i 个孩子是女孩。iA样本空间 = 1313123123123123123123,AA3从一批零件中任取两个，设事件 A=“第 1 个零件为合格品” ，事件 B=“第 2 个零件合格” 。问 AB， 分别表示什么事件。,BB， ， 及解：它们分别表示：两个都为合格品，第 1 个不合格，第 2 个不合格，两个都不合格，第 1 个合格而第 2 个不合格，两个中至少有一个合格，两个至少有一个不合格。4(题略)解：(1) A (2)ABCBC(3) (4)A+B+C(5) (6) A()ABC(7) (即至少 2 个事件发生的对立事件 )或 ABCAB(都不发生或恰有一个发生)(8) AB+BC+CA (9) (3 个都发生的对立事件)或(10) BC5(题略)解：(1) 是 (2)是 (3) 。(0 件次品的对立事件) 或 。A123BA6连掷两颗骰子，求点数和大于 10 的概率。解：设(x，y) 表示第 1 颗的点数为 x，第 2 颗的点数为 y，则 x，y 都可取 16 中的某2个正整数。这种样本点(x，y)共 66=36(个) 其中(5，6) ， (6，5)，(6 ，6)，三个样本点满足点数和大于 10，从而所求概率为 P= 312。7某 种 产 品 共 40 件 ， 其 中 有 3 件 次 品 ， 现 从 中 任 取 2 件 ， 求 其 中 至 少 有 1 件 次 品 的 概率。解：从 40 件中任取 2 件的取法数为 ，取到 2 件合格品的取法数为 。从而40C237C“2 件中至少有 1 件次品”的概率为 P=237401.168某人有 5 把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，逐把试开，问(1) 恰好第 3 次打开房门锁的概率是多少？(2) 3 次内打开房门锁的概率是多少？解：(1) 415P(2) 设 Ai(i=1，2，3)表示第 i 次打开门锁，则 3 次内打开门锁的概率p(A1+A2+A3)=P(A1)+ P(A2) + P(A3)= 41559(题略)解：杯中球的最多个数为 1 要求 3 个球在 4 个杯子中的某 3 个杯中排队。故最大个数为 1 的概率 。341C!8P(9 题解续) ：杯中最大球数为 3 则可以 4 个杯中任选 1 个，把 3 个球都投入该杯中，从而杯中最大球数为 3 的概率为 。杯中最大球数要么是 1，要么是 2，要么16CP是 3，因此最大球数为 2 的概率 。( P2 的求法也可如下分析：从 4 杯中2139任取 1 杯，从 3 球中任选 2 球放入该杯，再从剩下的 3 杯中任取 1 杯，将剩余的球放入其中即可，从而 )1432C96P10(题略)解：设 (x， y)表 示 甲 船 x 时 刻 到 ， 乙 船 y 时 刻 到 (单 位 ： 小 时 )则0 x 24， 0 y 24，点 (x，y) 可取正方形0，240，24中任一点，当乙船比甲船早到 2 小时或甲船比乙船早到 1 小时，则不需要等待码头空出，即 或 时不需等待，即所求2x 1yx概3。( 与 表示两个三角形面积 )1240.8793DP1211(题略)解：A甲烧断，B乙烧断，则由加法公式 ()()0.874.630.91PPBA12(题略)解：设 A1，A 2，A 3 分别表示取到的为一等品，二等品，三等品，显然 (是一等13AC品，则必然不是三等品)。所求为 131133()().62(/) =0.7-PA13(题略)解：设 A 表示该月任一时“刮大风” ，B 表示该月任一时刻“降雨” 。则7()/)0.328PBA14(题略)解：设 A1 表 示 “任 取 1 件 为 一 等 品 ”， B 表 示 “任 取 1 件 为 合 格 品 ”， 则 显 然 A1CB， 所求 为 )(/).9675P15设 A、B 相互独立，P (A+B)=0.6，P(A)=0.4，求 P(B)解： ( )由 及 所 给 条 件 知。10.4).)0.3， 故 =16(题略)解：P(两台至少有一台发生故障)= (两台都不发生故障)=P10.89.2另解：设 A1第一台发生故障，A 2第 2 台发生故障，则12112()()00.PAAP173 人各自独立地破译一密码，他们能单独地译出该密码的概率分别是 ，154， ，134求此密码被译出的概率。解：设 A1，A 2，A 3 分别表示这 3 人自已单独译出密码，则。12423()()5PPA18(题略)解：设 A1，A 2，A 3 分别表示经过第一、第二、第三道工序不出废品，则所求概率为 123)()(0.9.806419(题略)解：设 A，B ，C 分别表示甲、乙、丙不需要照看，则 P(A)=0.2，P( B)=0.1，P(C)=0.15.(1) 所求为 ()()(0.21.5PAPBC(2) 至少有 1 台不需照看的概率为 )().809.20(题略)解： ，设 A、B 、C 也表示 A 电池，B 电池，C 电池损坏电路发生断路即 A 发生故障或 B 或 C 都发生故障，即所以所求概率为()()()()0.314PPP21(题略)解：设 A1，A 2，A 3 表示任取一件“产品为甲机床生产” ， “产品为乙机床生产” ， “丙机床生产” ，B 表示任取的这一件产品是合格品，则由全概率公式知合格率 112233()(/)(/)(/)0.594.30.950.PBAPBAPBA22(题略)解：任取一件，设 A1 表示“该零件为甲机床生产” ，A 2 表示“该零件是乙机床生产的”，B 表示“该零件合格” 。由条件： 1(/)0.97(/)0.98PBAPB，(1) 由全概率公， 22)5210.97.80.9733(2) 所求即 22221.()(/)(/) 0.25-PABPA 23(题略)解：设 A1 表示发出的单个字符为 0，A 2 表示出现的单个字符为 1，则 P(A1)=0.6，P (A2)=0.4设 B 表示收到的单个字符为 0，则(1) 由全概率公式知 1122()(/)(/PBPAB.680.4.5(2) 11 68(/) 093().AP24(题略)解：5 次试验(检测)，每次成功检测到一等品的概率 P=0.3。(1) 由二项概率公式知 2355()C0.7.08P(2) P(至少 2 个一等品)= 1)至 多 一 个 一 等 品51457.225(题略)解：设甲投 3 次进 x 球，乙投 3 次进 y 球，则由二项概率公式 ，k3-k3()C0.7Px。k-k3()C0.64Py(1) P(两人进球数相等)=P(x =0，y=0)+ P(x=1，y=1)+ P(x=2，y=2)+ P(x=3，y=3)0(1)2)3)0.321yx(2) P(甲比乙进球多)=p(x y )=p(x1，y =0)+P(x2，y =1)+P(x3，y=2)1230.46 26(题略)解：设任一时刻这 10 台机床中有 x 台在工作状态，若 x5，则不会因电力不够影响机床正常工作。所求概率为k10k5k10=2()C.946P第二章6习题二1(题略)解：设取到螺旋口灯泡前已取出 x 只卡口灯泡，则 x 可取值 0，1，2，3.，7370)(1)09PXPX，32327( ()981810，2(题略)解：X 可取 1，2，3，4，5，6，7，8.(从 1 以 外 的 9 个 号 码 中 任 取 2 个 ， 再 取 上 1， 则 保 证 最 小 号 码 是 1)910C()P(从 1， 2 外 的 8 个 号 码 中 任 取 2 个 ， 再 取 上 2， 则 保 证 最 小 号 码 是 2)28310(从 47 号码中任取 2 个号，再取上 3 即可)27310()CX其余类似计算。3对一目标射击，命中为止。若每次射击命中率为 P，求射击次数 X 的分布列。解：各次射击命中与否相互独立，A i(i=1，2.)表示第 i 次命中，则“X=K”即前(K-1)次都没命中而第 K 次命中其中 k=1，2，3，11211()()kkkkPXAPAqL 1qP4(题略)解：不正确，因为 (0)()(2)14XX5(题略)解：设 10 门炮中有 X 门击中敌船，则所求为2)1()1(0)()PP 19C0.64.6.8306(题略)解：设任一时刻 99 个用户有 X 个用户同时在使用外线，则 XB(99，0.05)(1) 设 P(X=K)最大，则 P(X=K-1)P (X=K)且 P(X=K+1) P(X=K)解此不等式组得 K=4 或 5(2) 设配备 n 条外线合适，则问题转化为确定最小的 n，使 ，即0.95n 7，也即0().95nkPx k990C.50.5nkk用计算机编程计算知 n=9 即可。即是 kkk(n=8 即 9.5，还不能满足要求)8k990C.5kk注 ： 若用 Poisson 定理做近似计算，取 ，查 Poisson 分布表知90.5=0.0318280.05 从而 0.05510!ke 99k 55101010C.!kkkkee即 。至少配备 9 条外线。9k9C5kk7(题略)解：(1) 844()0.2!PXe，(2) P(X8)=P(X 9) (查表)9.1k8(题略)解：由 P(X=1)=P(X=2)得 ，故 (因要求 0)2!e2所以42)0.9!9(题略)解：(1) 由密度函数性质 即 ，故 a=100，()d1ft20d1at(2) 一个这种电子元件使用 150 小时不坏的概率为 P(T 150)= 2150d3t(3) P(150 小时内 3 个元件至少损坏一个 )= (三个在 150 小时内都不坏)= 2913710(题略)解：(1) 由 10()dfxcx即 得(2) P(0.3X0.7)= .732.450.5d.2o-1（ -1） =11(题略)8解：(1) 由 1()d1d2d,2xxfxcece +得(2) 010.2xPX12(题略)解：X 的密度函数 关于 x 的方程 4x2+4Xx+X+2=0 有实根，即有150()xf， ， 或，解得 或 .故所求概率2(4)16() X 21525dd06Poxo 或 13(题略)证明：X 的密度函数 ,()0exf )()(/(PXStPXStPst且=()dxstSte= t而 ，故结论成立。()dxttPxe14(题略)解：(1) 由分布列的性质知 ，故 .124a14a(2) 3(0.5)()()PXpX13(3) 当 x时 F(x)=P(Xx)=0当 0x1 时 F(x)=P(Xx)=P(X=0)= 14当 1x3 时 F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P( X=1)= 3当 x3 时 F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P( X=1)+P(X=3)=19故 的图像014()31xFx ()Fx15(题略)解：(1) 22)(1PXFeP(X 3)=1-P(X3)=1-F(3)=e -3P(-1X 3)=F(3)-F( -1)=1-e-3(2) X 的密度函数 ,0)xfx16(题略)解：(1) 由分布函数的性质： ()(+)=1F及 得， ，故 ，02AB122AB()1)()11arctn(arctn()2PXF (3) X 的密度函数 2()fxx17(题略)解： 2.4)(.)0918P(查表 )1().57(.5. )1.0864X18(题略)解：(1) 322)()().3P(2) 71(109543)(2)2323()1()0.697XP或10(4) 13(1)()()(2)0.9722PX19(题略)解： 060620).8()().8 即 ，4()1. 4).91.28 =故 .28().3.x 单 调 不 减 从 而 404040.91.29(.91.231.78 注 :若 由 ) 查 大 表 知 当 时 )由 得 20测量某地到某一目标的距离时，发生的误差 XN(20，40 2)(单位：m)(1) 求测量一次产生的误差的绝对值不超过 30m 的概率。(2) 如果接连测量 3 次，各次测量是相互独立进行的，求至少有一次误差的绝对值不超过 30m 的概率。解：(1) 302302(10)()()().49314PX (2) 设 3 次测量中有 Y 的误差绝对值不超过 30m。则所求概率 ()1()P 3C0.49310.9.86(-)21 （题略)解：(1) 210(80)(8)()(.5PXX (2) ，合要求。15015 .9738P 22 （题略)解：(1) 2(0)()().2Y1()0.5PXPX24.故 Y=X2 的分布列为Y=X2 0 1 411P 0.2 0.55 0.25(2) 类似地求 Z=2X-1 的分布列Z -3 -1 1 3P 0.35 0.2 0.2 0.25(3) 类似可济南市 W=11+1 的分布列W 1 2 3P 0.2 0.55 0.2523设连续型随机变量 X 的密度函数201()xf x 或(1) 求 Y=-2X+1 的密度函数(2) 求 Z=x2 的密度函数 .解：(1) Y 的分布函数 1()2()(21)()dyFyPyyPXfx 故 Y 的密度函数 1()2dYyfFfxf3,180,.y 其 它(2)Z 的分布函数 2()()ZFzPzXz 当 (不可能事件的概率)0P时当 200x时 当 ()Zzzzz时 00d(dzzoxff所以当 时 Z 的密度函数 )0ZFO12010()()()2,zZzfzFfxdfzz当 时 最后3,01()2zfz 或 。24设 XN(0，1)，(1) 求 Y=eX 的密度函数，(2) 求 Y=11 的密度函数。解：(1) Y 的分布函数()()XFyPyey 当 时， “ ”是不可能事件，0 X ()0()0YYFyfO， 当 时，(YPLn 2 21()1 d,()Lnyxny enyYef故 21()0,()0enyYfy 。(2) Y=X时，Y 的分布函数()()FP 当 时， “Xy ”是不可能事件，从而 Fy(y)=00当 y=0 时 FY(y)=P(X0)= P(X=0)=0所以当 y0 时 Fy(y)=0，密度函数 )0YfO当 y0 时，F Y(y)=P(X y)=P(-yxy)2 2011ddxyyee这时2201()dxyYfe13总之，所求 Y=X的密度函数 20,.()yYef， 第三章 习题三1X，Y 的可能取值均为 1，2，3，有放回：，121, , ,3464846PPXYPXY， ，21 228 8Y， ，.3, 3, ,1X ， ，不放回： 112,0, 1,344642PYPXYPXY， ，2 123636X， ，3,1,2,0 ， ，即：有放回： 1 2 31 618182 843 11不放回：XY141 2 31 0 16122 663 1202X、Y 的可能取值均为 0，1，2.2220, C.8.5016PPXY.1031.22,20 211118508XYY122, C0.6PPX 11222,0.80.5.0YY210X 11.222,2CPPX 3(1) d()d1xfy 求得 A=6.20d1,xy(2) P100, 68XYx (2) 图 (3) 图(3) .2101(,)d64xPXYDy4(1) D 的面积 ，SXY15 2,()0.()xyDf其 它(2) 121d2yPYX012-101-0(3)()=10,+d().()2., =()01()d.yxtxsytsxFxy yxxyF 或 时 ， 时 时 时 ,时5(1) 2 2204()d()dxyfAxyoAr ，83 A(2) 2 212 01 31()d()d.82xyPXYf r6X 可能取值 0，1，2，3，Y 可能取值 0，1，2，3.,(),0,PXYPXY30C.8P312331,(),1, C8XY2,2,3,().8PXYPX其余均为 0.取合分布列：0 1 2 30 0 0 0 18YX161 0 380 02 0 0 03 0 0 0 18边缘分布列：X 0 1 2 3Pi 8381Y 0 1 2 3Pj 0 680 8即 Y 0 1Pj 34由于 故不独立.2.2,7有放回边缘分布列：X 1 2 3Pi 4114X 1 2 3Pj 4114此时， 均成立，故 X、 Y 独立,23ijij不放回边缘分布列：X 1 2 3Pi 411417X 1 2 3Pj 4114由于 故此时不独立.1.1,8 0()()d;0();0,()d,xyxX XXfxfyxfxfe 时 ,时 类似,0xe ,.Yy由于 时任意 x、 y 均成立，从而 X、Y 独立.()()XYff9X 可能取值，0，1，2，3，Y 可能取值 0，1，2.2 471,0,(),0,2C35PPYP1347C6, 5121347C6, 5XY2347,0P213247,C35Y203247,X013247, 35PY103247C,().XP或0 1 20 0 0 135YX181 0 6356352 35123 20边缘分布列X 0 1 2 3Pi 35854X 0 1 2Pj 747由于 故不独立.1.110(1) 2,01()()d,Xxfxfy ,.Y yfyf 由于 对任意 x、 y 成立，从而 X、 Y 独立.()()XYx(2) 34,01dXffy 3,()()Y yfyfx 可见 ，从而 X、Y 不独立.XYxy11(1) ，将201d()dsin()dfxxAy1.2A1(sinco),0.si(), 2(2)() 0,2X xxxfxfyx 19同理，1(sinco),0.22()0,Yyyfy 12(1) X、Y 独立，可得联合分布列：1 2 31 0.06 0.15 0.092 0.02 0.05 0.033 0.12 0.3 0.18从而：X+Y 2 3 4 5 6P 0.06 0.17 0.26 0.33 0.18(2) XY 2 3 4 6 9P 0.06 0.17 0.05 0.33 0.1813X 、 Y 独 立 ， 被 积 出 数 不 为 0， 需 ， 从()()d.zXYffxzx ,xz 1而： 0,().zf01,1e,zz 10ed().xzz14 的联合密度 ，()XY ,2,040.xyfy 其 它 ()(,)dzffxz要使被积出数不为 0，需 从而 ； ；2,xz ,z 014zzf2124,()d.4zzf 4,()0.zf15 22 22 1)dedxyz xyzxyzFPZXYf 2201ded1e,0rzz ().Zz，XY20从而21,0().zzef22 2 101()ded.rxyPf16 , ,01(),()()ZXYXYxyFzzFF 其 它 ,其 它 .2,01().z 其 它于是 ,()0.zzf 其 它第四章 习题四1111.()0.5236432EXx-12.()ded0.xfx8220.xEX211135().54362x3旧 ，有df 0()d.akfxx 又 ，有()0.7xEX1075k解得：k=3，a=2.4 2,()(,)yDfy其 它 .21011d(,)d2d.3xEXxfyy01 1(32)3)(2)d.3xf y 01() .xYxyf y 5XB (10，0.4)， 1.4,0.46EXDX22().68ED6第 1 题： 223597()2第 2 题： 0.第 3 题： 12205Xxd39().1680DE7 ， 解得 1.6npnp.2,8.pn8由 ，得 ，k=2.()dfxy 01dx1() 2.4EXYfyy 222 2()0209. () ed3d4cosind.xyrZxxxre 1(5)051.() ()1()4.XyEXYxfxfyf11X 、 Y 不相交，从而 ，0CovY()2().DXD12 ，21E22()1.E() 102.XEY13 ，XYovxyP().456CovxyPD()2253628DY()17.2220222201714.d()d,865,311(),64()dd83171(,)36()() ,6XYEXxyxEYDDEXYxyxCovxyCovyEXYPD15X，Y 的边缘分布列为：X -1 0 1Pj 38438X -1 0 1Pj 38438从而 EX=EY=0又XY -1 0 1P 424E（XY）=0于是 Cov(X,Y)=0，P XY=0，X，Y 不相关.又 ，从而 X，Y 不独立.1.1P第五章 习题五231 ， ， ，()XE:12214DX3.2439DXP2 ， ， ，0,.B.982.0P310.21 .201(0).5niniii XXP 4设 X 为 1000 次中 A 发生次数， ，(0,)2B:.EX405560506111022212(.3).9750PP 能保证.5设出故障机器台数为 X， ，(40,.2)B:8.EX8240.2.9.0.914.2.866(1)093.80.980.9PX 6设不合格品数为 X， (1,5)B:75710920(84).95.9P 7设损坏的部件为 X， .则正常工作需1,B:15.X241015015.9.9(.67)529XPX第六章习题六1在总体 N(52，6.3 2)中随机地抽取一容量为 36 的样本，求样本均值 落在Z50.853.8 之间的概率。解：总(体 N(52，6.3)Z N(52， )26.3从而有 5(0,1.:83.1.25186.6.2770.954.810.93PZ于 是 2在总体 N(12，4)中随机地抽取一容量为 5 的样本 。125,ZL(1) 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率；(2) 求概率 15max(,)PZ(3) 求概率 in0L解：(1) 2(.)5N: 12(1)5ZPZP255210.268155(2)max(,),PZ L511523().0.293ZPZP 155115(3)min(,)2(0).78PZZP L3设 为 N(0，0.3 2)的样本，求1210,ZL 210.4iiPZ解： 且 且相互独立.(.)i:(1,0iL 22110).3Zx: 221 1.46.1.3i ii iPZ4设 是 区 间 上 的 均 匀 分 布 的 总 体 的 一 个 样 本 ， 试 求 样 本 均 值 的 均 值2n,ZL,与 方 差。总体 ,U: ， 故 ，()02abE21()3DZba()0EZ1()()3DZn5求总体 N(20，3)的容量分别为 10，15 的两独样本均值差的绝对值大于 0.3 的概率。解：设两样本分别为 及10,L15,y记 ，10iZ152iiY26于是有 110,30,52ZYNN:12(0.3)1(0.42).674PP6设 是来自总体 的一个样本，试求 的分布密度函数。1n,ZL2,N21iinYZ解： 1(0,)2iiD:21()iYinFyPyZy (1) 当 时，0 (0YF