概率论与数理统计课后答案徐雅静版

11概率论习题答案第 1 章 三、解答题5 从 5 双不同的鞋子种任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：显然总取法有 种，以下求至少有两只配成一双的取法 ：10Cnk法一：分两种情况考虑： +5k241)(25其中： 为恰有 1 双配对的方法数2415)(法二：分两种情况考虑： +!168525其中： 为恰有 1 双配对的方法数!26185C法三：分两种情况考虑： +)(4285k25C其中： 为恰有 1 双配对的方法数)(14815法四：先满足有 1 双配对再除去重复部分： -2815k法五：考虑对立事件： -10k5412)(其中： 为没有一双配对的方法数45C2)(法六：考虑对立事件： !41618041C其中： 为没有一双配对的方法数!6810所求概率为 .23410Ckp6在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任取 3 人记录其纪念章的号码求：(1) 求最小号码为 5 的概率；(2) 求最大号码为 5 的概率解：(1) 法一： ，法二：1230p12305ACp(2) 法二： ，法二：3104C31047将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率解：设 M1, M2, M3 表示杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的事件，则, , 8)(1AP694)(32AP64)(3CMP8设 5 个产品中有 3 个合格品，2 个不合格品，从中不返回地任取 2 个，求取出的 2 个中全是合格品，仅有一个合格品和22没有合格品的概率各为多少？解：设 M2, M1, M0 分别事件表示取出的 2 个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则, ,3.)(25CP6.0)(25131CP1.0)(251CMP9口袋中有 5 个白球，3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率解：设 M1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则.212 所以 .813C)()()() 28521PP10 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于 6/5”的概率解：这是一个几何概型问题以 x 和 y 表示任取两个数，在平面上建立 xOy 直角坐标系，如图.任取两个数的所有结果构成样本空间 = (x，y)：0 x，y 1事件 A =“两数之和小于 6/5”= (x，y) ： x + y 6/5因此251741)( AP图？11随机地向半圆 （ 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求20xay原点和该点的连线与 轴的夹角小于 的概率x4解：这是一个几何概型问题以 x 和 y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与 轴的夹角，在平x面上建立 xOy 直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间=(x，y)： 20,2xa事件 A =“原点和该点的连线与 轴的夹角小于 ”4=(x， y)： ,02xya因此21214)(2aAP 12已知 ，求 )(,31)(,4)(BAP)(BP解： ,2B ,612)|(A.3164)()()( A13设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的33概率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。设 A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；， ，321)()(06CAP152)(04CBP/)(|B14有两个箱子，第 1 箱子有 3 个白球 2 个红球，第 2 个箱子有 4 个白球 4 个红球，现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里，再从第 2 个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球，则从第 1 个箱子中取出的球是白球的概率是多少？解：设 A=“从第 1 个箱子中取出的 1 个球是白球”，B=“从第 2 个箱子中取出的 1 个球是白球”，则，由全概率公式得5)(,3)(152PC ,452353)|()|( 1919CABPAB由贝叶斯公式得 .234/)(|)|( 195P15将两信息分别编码为 A 和 B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作 B 的概率为 0.02，而 B 被误收作 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 2：1，若接收站收到的信息是 A，问原发信息是 A 的概率是多少？解：设 M=“原发信息是 A”，N= “接收到的信息是 A”，已知 ,01.)|(,02.)|(MNPP.32)(P所以 ,9.)|(,98.)|( ,)(由贝叶斯公式得 .1976)0.398.2(.03)|()|()|( NPPMNP16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 ，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是41,5多少？解：设 Ai=“第 i 个人能破译密码”，i=1,2,3.已知 所以,41)(,3)(,51)(2APP ,3)(,2)(,)(1 AP至少有一人能将此密码译出的概率为 .5431)()()( 21321 17设事件 A 与 B 相互独立，已知 P(A) = 0.4，P( AB) = 0.7，求 .44解：由于 A 与 B 相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)= P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)将 P(A) = 0.4，P (AB) = 0.7 代入上式解得 P(B) = 0.5，所以 .50.1)(11 或者,由于 A 与 B 相互独立,所以 A 与 相互独立，所以 .50.)(BP18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？解：设 A=“甲射击目标”，B= “乙射击目标”，M =“命中目标”，已知 P(A)=P(B)=1, 所以,5.0)(,6.0)BP).()()()ABPAA由于甲乙两人是独立射击目标，所以 .805.6.04.6()()()( M 7.1)(|MPP19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为 0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为 0.3，0.2，试问：(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是 0.3 时，情况又如何？解：设 Ai=“第 1 种工艺的第 i 道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第 2 种工艺的第 i 道工序出现合格品”，i=1,2.（1）根据题意，P(A 1)=0.7，P( A2)=0.8，P(A 3)=0.9，P(B 1)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)= ,504.98.07第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)= ,6可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为 0.504，而 P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)= .4907.可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。1设两两相互独立的三事件 A，B 和 C 满足条件 ABC = ， 且已知,21)()(CPBA，求 P(A)69)(CBAP解：因为 ABC = ，所以 P(ABC) =0,因为 A，B ，C 两两相互独立， 所以),(P2)(3)()()( APCB由加法公式 得)( BCACA即 16932P 01(4)(55考虑到 得,21)(AP.4)(2设事件 A，B，C 的概率都是 ，且 ，证明：21)()(CBAP21)(证明：因为 ，所以)()(P将)()()()()(11)( ABCPBPAPBABABP 代入上式得到2)(C )()()23)( C整理得 .21)()(APBAPBC3设 0 1 时， ，y 2110-1 yye所以； 1,02)(1yefyY（2） ，2 PyFX当 时， 为不可能事件，则 ，eX 0)(2 yePyFXY当 时， ，则 ，100lny0ln)( ln2 dxyY当 时， ，则 ，y dxeyy1lnln02 根据 得)()(22yFfYY；1, 022f1717（3） ，)(233 yXPyYyFY 当 时， ，00)(当 时， ，yyxY edX1023所以 ；0,2 )(3yeyfY7. (1) 证明：由题意知 。,)(xxf，21211 yePyYyFeYXYx 当 时， 即 ，0y0）（ f当 时， ， ydxeyXY 2ln2l)(1当 时， ，y 1ln021 dxeyPyF故有 ，可以看出 服从区间（0，1）均匀分布； 0,)(1fY Y（2） -1-221222 yePyeyye XXx 当 时， ，)(ePFxY当 时，10，ydxeyXyy yXY 2)1ln(02 2)1ln(-1)(2 当 时， ， 0)l(2 PePFY由以上结果，易知 ，可以看出 服从区间（0，1）均匀分布。 10,)(2yyf 2Y第三章1 解：( X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：PX=1,Y=1=PX=1PY=1|X=1|=2/31/2=/3同理可求得 PX=1,Y=1=1/3; PX=2,Y=1=1/3(X,Y)的分布律用表格表示如下：Y 1 21818X1 1/3 1/32 1/3 02 解：X，Y 所有可能取到的值是 0, 1, 2(1) PX=i, Y=j=PX=iPY=j|X=i|= , i,j=0,1,2, i+j232822(+)328或者用表格表示如下：YX 0 1 20 3/28 6/28 1/281 9/28 6/28 02 3/28 0 0(2)P(X,Y)A=PX+Y1=PX=0, Y=0+PX=1,Y=0+PX=0,Y=0=9/143 解：P(A)=1/4, 由 P(B|A)= 得 P(AB)=1/82/14/)()(ABP由 P(A|B)= 得 P(B)=1/42/1)(BPA(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则PX=0,Y=0=) =P()=1()(A)-P(B)+P(AB)=5/8=1PX=0,Y=1=P( B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8APX=1,Y=0=P(A )=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8BPX=1,Y=1=P(AB)=1/84.解：(1)由归一性知：1= , 故 A=4+(,)=1010=4(2)PX=Y=0(3)PX14010, 1,012, 1,00 时， ,0,1)(,)|(| xyxyxfyxfYYX所以， ,1|)(,)|(| xyxfyxfYYX12 解：由 得)(,|(| ffYYX ,00,115|(),( 2| yxyxyfxfyxfYX 647),(5.015.02. xddfP13 解：Z=max( X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表pi 0.05 0.15 0.2 0.07 0.11 0.22 0.04 0.07 0.09(X,Y) (0,-1) (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,0) (2,1)max(X,Y) 0 0 1 1 1 1 2 2 2Min(X,Y) -1 0 0 -1 0 1 -1 0 1Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律为2222Z 0 1 2Pk 0.2 0.6 0.2W -1 0 1Pj 0.16 0.53 0.3114 解： 0,1)(xexfxX0,)(yeyfyY由独立性得 X，Y 的联合概率密度为 ,0,1),(2yxeyxfy则 PZ=1=PXY= 211),(02xyxyx dedf PZ=0=1-PZ=1=0.5故 Z 的分布律为Z 0 1Pk 0.5 0.515 解： ,0),(2yxyxf 01|,1),()(212xdydyxff xX 同理， 0|,12)(2yfY显然， ，所以 X 与 Y 不相互独立.)(xffYX16 解：(1) ,01x ,01)(yyf利用卷积公式： 求 fZ(z)dxzfzfYXZ)()(=)(xfYX ,01,1x2323 210,02,)()( 10zdxzfxzf zzYXZ(2) ,01)(xxfX 0,)(Yyeyf利用卷积公式： dfzfzfYXZ)( ,01,)( yyeyfzfYXdyfzfzfYXZ)()( 10,)(10,10 zezyezz17 解：由定理 3.1（p75）知，X+YN(1,2)故 5.0)(211 P18 解：(1) (x0)1(2),()0)(X xedyexdyxff x 同理， y012(eyfyY显然， ，所以 X 与 Y 不相互独立)(xfYX(2).利用公式 dxzzZ) ,0,21,0,0,(21),( )( xzzexzexxf zXdxzfzfXZ)()( ,2120 zzdzz19 解：并联时，系统 L 的使用寿命 Z=maxX,Y因 XE