椭圆型方程的差分方法

第三章 椭圆型方程的差分方法 3.1 正方形区域中的 Laplace方程 Dirichlet边值问题的差分模拟 3.2 Neumann边值问题的差分模拟 3.3 混合边值条件 3.4 非矩形区域 3.5 极坐标形式的差分格式 3.6 矩形区域上的 Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究(3.1)其中，系数 a(x,y)， b(x,y)， c(x,y)满足(3.2)对应方程 (3.1)的定解问题有下面三类：第一边值问题，或称 Drichlet问题设 是平面中的具有边界的一个有界区域，本章考虑如下椭圆型方程的差分解法：第二边值问题，或称 Neumann问题第三边值问题，或称 Robin问题其中3.1 正方形区域中的 Laplace方程 Dirichlet边值问题的差分模拟设 为正方形区域， 0x1， 0y1， 求方程(3.3)满足边值条件的解。(3.4)(3.3)考虑 Laplace方程因此 Laplace方程的五点差分格式为（ 3.6）它具有截断误差:我们引进记号 ，有(3.7)因此差分方程 (3.6)即 。如图 3.1所示定义向量建立差分方程，由此在区域 内部个点上建立 个方程。在区域 的每一内部结点 (l,m)上 （ 3.8）单位正方形中的内部结点上的 个线性方程(3.8)写成矩阵形式为AU=K （ 3.9）I 是 (M-1)阶单位方阵； B是 (M-1)阶方阵。其中， A是 阶方阵3.2 Neumann边值问题的差分模拟现在我们考虑 Laplace方程 Neumann边值问题，即(3.10)表示函数 u沿着边界的外法线方向导数。在正方形的四个顶点上法向没有定义，事实上， g(x,y)在那里将不连续，以后将取平均值作为不连续点上的值的定义。且除了一个任意常数外，解唯一。因为容易看到，如果 u(x,y)是式 (3.10)的解，于是， u(x,y)+C(C是一个任意常数 )也是其解。为了唯一性，需要规定 u(x,y)在区域中某一点上的值。Neumann边值问题 (3.10)的解存在，仅当Neumann边值问题的差分模拟先在区域 中给定一个正方形网格区域，步长为h， Mh=1,于是必须确定解的结点为 个，结点上的差分方程的解为 （ 3.12）在内点上， Laplace方程由差分方程 (3.6)代替：在 x=0上的导数边值条件的差分模拟为（ 3.13）这里 。在五点差分格式 (3.12)中令 l=0，于是有代入式 (3.13)，则即（ 3.14）同理，在 x=1,y=0,y=1时分别有（ 3.15）（ 3.16）（ 3.17）在四个顶点上，有由此，正方形 区域的 个结点上差分方程解 满足线性方程组这里 A是 阶方阵I是 (M+1)阶单位方阵； 是如下 (M+1)的阶方阵：AU=2hg (3.18)方程组 (3.18)中的向量 U和 g由以下给出：例 3.1 在单位正方形区域 上解 Laplace方程 Neumann 问题解 令 h=1/2，应用图 3.2中结点次序，则方程 (3.18)为(3.19)或简写成 AU=2hg。 显然 A是一奇异矩阵。3.3 混合边值问题在 xy平面的某区域 中，未知函数 u满足 Laplace方程，将边界 分成若干弧段，要求 u在每一弧段上满足不同类型的边界条件。讨论此类定解问题的差分模拟。例如，求解如下定解问题：是给定的函数。（ 3.21）在求解区域 内由逼近 Laplace方程的五点差分公式给出函数 u在结点 (lh,mh)的近似值 所满足的差分方程。对于在 x=0上的结点 (0,mh)，应用边值条件的差分模拟和五点差分公式，即（ 3.22）消去 ，得相似地对于 y=0上的结点 (lh,0)，我们有(3.23)其中， 。在原点 (0,0)上，两边值条件相遇，则消去 和 ,则(3.24)且对 l=0和 m=0上成立的方程 (3.22)， (3.23)用 1/2乘之，对 l=m=0上的方程 (3.24)用 1/4乘之。这样在整个计算区域及相应边界网格点上建立了差分方程：下面把所有差分方程写成矩阵形式，于是 U满足方程AU=hg (3.25)令其中矩阵 A为 阶对称方阵。是 M阶方阵。其中而 g依赖于函数 , 和 g在边界结点上的值。3.4 非矩形区域当区域 为具有边平行于网格线的矩形，则在所有区域内部结点上，可以采用同样的差分格式逼近椭圆型问题。当 是非矩形区域，则在如图 3.3所示的邻接边界的内部结点 (l.m)上，需采取特别的处理方法。由解 u在结点 (l,m)上的 Taylor展开可得为了获得 Laplace方程的差分逼近，在上面四个式子中消去一阶偏导数 项，则分别给出因此 Laplace方程的五点差分格式为(3.26)其中显然，当 时，式 (3.26)化为五点差分格式(3.6)。3.5 极坐标形式的差分格式如果求解区域是圆域、环形域或扇形域，采用极坐标是方便的。由 得到：将 Poisson方程由直角坐标系变换到极坐标下为(3.27)这样可以将所求解区域映射为 平面上的半条形区域。方程 (3.27)的系数当 r=0时具有奇异性，因此，为了选出我们感兴趣的解，需补充附加条件，令为了建立差分方程，在半条形