浙江省杭州市2015届中考数学模拟试卷六含答案解析

第 1 页（共 37 页）2015 年浙江省杭州市中考数学模拟试卷（六）一选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）温馨提示：每小题有四个答案，只有一个是正确的，请将正确的答案选出来！1如果 ax2+2x+ =（2x+ ） 2+m，则 a，m 的值分别是（ ）A2，0 B4，0 C2， D4，2下列命题是真命题的有（ ）对顶角相等；两直线平行，内错角相等；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；有三个角是直角的四边形是矩形；平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧A.1 个 B2 个 C3 个 D4 个3设 a 为 的小数部分，b 为 的小数部分则 的值为（ ）A + 1 B +1 C 1 D + +14如图，身高为 1.5 米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影 BA 由 B 向 A 走去当走到 C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3 米，CA=1 米，则树的高度为（ ）A3 米 B4 米 C4.5 米 D6 米5如图，AB 是 O 的直径， AOC=110，则 D=（ ）第 2 页（共 37 页）A25 B35 C55 D706如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于 120，则围成的圆锥模型的高为（ ）Ar B2 rC r D3r7如图，D、E 分别为ABC 的边 AB、AC 上的点，ACD 与BCD 的周长相等，ABE 与CBE的周长相等，记ABC 的面积为 S若ACB=90，则 ADCE 与 S 的大小关系为（ ）AS=AD CE BSADCE CSADCE D无法确定8若不等式 ax2+7x12x+5 对 1a1 恒成立，则 x 的取值范围是（ ）A2x3 B 1x1 C 1x1 D2x39如图，OAOB，等腰直角三角形 CDE 的腰 CD 在 OB 上，ECD=45，将三角形 CDE 绕点 C逆时针旋转 75，点 E 的对应点 N 恰好落在 OA 上，则 的值为（ ）A B C D第 3 页（共 37 页）10如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），C 的圆心坐标为（0，1），半径为 1若 D 是C 上的一个动点，射线 AD 与 y 轴交于点 E，则 ABE 面积的最大值是（ ）A3 B C D4二填空题（共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）温馨提示：填空题应将最简洁最正确的答案填在空格内！11分解因式：x 24= 12数据 a，4，2，5，3 的平均数为 b，且 a 和 b 是方程 x24x+3=0 的两个根，则这组数据的标准差是 13从1，1， 2 这三个数字中，随机抽取一个数，记为 a，那么，使关于 x 的一次函数 y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积为 ，且使关于 x 的不等式组 有解的概率为 14如图，AB 切 O 于点 B，OA=2 ， OAB=30，弦 BCOA，劣弧 的弧长为 （结果保留 ）15将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示图形若 CED=56，则 AED 的大小是 第 4 页（共 37 页）16已知，如图，双曲线 y= （x0）与直线 EF 交于点 A，点 B，且 AE=AB=BF，连结AO，BO，它们分别与双曲线 y= （x0）交于点 C，点 D，则：（1）AB 与 CD 的位置关系是 ；（2）四边形 ABDC 的面积为 三解答题（共 7 题，共 66 分）温馨提示：解答题应将必要的过程呈现出来！17先化简代数式 ，然后选取一个合适的 a 值，代入求值18在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1， 2，3，4 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为 y（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数 y=x1 的图象上的概率；（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数 x、y 满足 yx1 的概率19如图，在ABC 中，AB=AC ，E 是 BC 中点，点 O 在 AB 上，以 OB 为半径的O 经过点 AE上的一点 M，分别交 AB，BC 于点 F，G ，连 BM，此时 FBM=CBM（1）求证：AM 是O 的切线；（2）当 BC=6，OB：OA=1：2 时，求 ，AM，AF 围成的阴影部分面积第 5 页（共 37 页）20已知关于 x 的一元二次方程（a 1）x 2+（2 3a）x+3=0（1）求证：当 a 取不等于 1 的实数时，此方程总有两个实数根；（2）若 m，n（mn）是此方程的两根，并且 直线 l：y=mx+n 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 O在反比例函数 的图象上，求反比例函数 的解析式；（3）在（2）成立的条件下，将直线 l 绕点 A 逆时针旋转角 （0 90），得到直线 l，l 交 y轴于点 P，过点 P 作 x 轴的平行线，与上述反比例函数 的图象交于点 Q，当四边形 APQO的面积为 时，求 的值21如图，在平面直角坐标系中，双曲线 y= 与一次函数 y=kx+b（k0）分别交于点 A 与点 B，直线与 y 轴交于点 C，把直线 AB 绕着点 C 旋转一定的角度后，得到一条新直线若新直线与双曲第 6 页（共 37 页）线 y= 相交于点 E、F，并使得双曲线 y= ，y= ，连线 y=kx+b 以及新直线构成的图形能关于某条坐标轴对称，如果点 A 的横坐标为 1，则当 k 为多少时，点 A、点 E、点 B、点 F 构成的四边形的面积最小最小值是多少？22如图，在菱形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，AC=12cm，BD=16cm动点 P 在线段 AB 上，由 B 向 A 运动，速度为 1cm/s，动点 Q 在线段 OD 上，由 D 向 O 运动，速度为 1cm/s过点 Q 作直线 EFBD 交 AD 于 E，交 CD 于 F，连接 PF，设运动时间为 t（0t8）问：（1）何时四边形 APFD 为平行四边形？求出相应 t 的值；（2）设四边形 APFE 面积为 ycm2，求 y 与 t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使 S 四边形 APFE：S 菱形 ABCD=17：40？若存在，求出相应 t 的值，并求出，P、E 两点间的距离；若不存在，说明理由23如图 1，已知菱形 ABCD 的边长为 2 ，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在坐标原点点 D 的坐标为（ ，3 ），抛物线 y=ax2+b（a 0）经过 AB、CD 两边的中点（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向匀速平移（如图 2），过点 B 作BECD 于点 E，交抛物线于点 F，连接 DF、AF设菱形 ABCD 平移的时间为 t 秒（0t ）是否存在这样的 t，使ADF 与DEF 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；第 7 页（共 37 页）连接 FC，以点 F 为旋转中心，将 FEC 按顺时针方向旋转 180，得 FEC，当 FEC落在 x 轴与抛物线在 x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求 t 的取值范围（写出答案即可）第 8 页（共 37 页）2015 年浙江省杭州市中考数学模拟试卷（六）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）温馨提示：每小题有四个答案，只有一个是正确的，请将正确的答案选出来！1如果 ax2+2x+ =（2x+ ） 2+m，则 a，m 的值分别是（ ）A2，0 B4，0 C2， D4，【考点】完全平方公式【专题】计算题【分析】运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可【解答】解：ax 2+2x+ =4x2+2x+ +m， ，解得 故选 D【点评】本题考查了完全平方公式，利用公式展开，根据对应项系数相等列式是求解的关键2下列命题是真命题的有（ ）对顶角相等；两直线平行，内错角相等；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；有三个角是直角的四边形是矩形；平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧A.1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】命题与定理【分析】根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案第 9 页（共 37 页）【解答】解：对顶角相等正确，是真命题；两直线平行，内错角相等正确，是真命题；两个锐角对应相等的两个直角三角形应该是相似，而不是全等，原命题错误，是假命题；有三个角是直角的四边形是矩形，正确，是真命题；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原命题错误，是假命题，故选：C【点评】本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例3设 a 为 的小数部分，b 为 的小数部分则 的值为（ ）A + 1 B +1 C 1 D + +1【考点】二次根式的化简求值【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出 a、b 对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题【解答】解： = = = ，a 的小数部分= 1； = ，第 10 页（共 37 页）b 的小数部分= 2， = 故选 B【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答4如图，身高为 1.5 米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影 BA 由 B 向 A 走去当走到 C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3 米，CA=1 米，则树的高度为（ ）A3 米 B4 米 C4.5 米 D6 米【考点】相似三角形的应用【分析】标注字母，判断出ACD 和ABE 相似，再利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解【解答】解：如图，由题意得，ACD ABE， = ，即 = ，解得 BE=6，即树的高度为 6 米故选 D第 11 页（共 37 页）【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质5如图，AB 是 O 的直径， AOC=110，则 D=（ ）A25 B35 C55 D70【考点】圆周角定理【分析】由 AB 是 O 的直径， AOC=110，可求得 BOC 的度数，又由圆周角定理，可求得D的度数【解答】解：AB 是O 的直径， AOC=110，BOC=180AOC=70，D= BOC=35故选 B【点评】此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用6如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于 120，则围成的圆锥模型的高为（ ）Ar B2 rC r D3r【考点】圆锥的计算【分析】首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可第 12 页（共 37 页）【解答】解：圆的半径为 r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出 2r设圆锥的母线长为 R，则 =2r，解得：R=3r根据勾股定理得圆锥的高为 2 r，故选 B【点评】本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键7如图，D、E 分别为ABC 的边 AB、AC 上的点，ACD 与BCD 的周长相等，ABE 与CBE的周长相等，记ABC 的面积为 S若ACB=90，则 ADCE 与 S 的大小关系为（ ）AS=AD CE BSADCE CSADCE D无法确定【考点】勾股定理；三角形的面积【专题】计算题【分析】根据BCD 与ACD 的周长相等，我们可得出： BC+BD=AC+AD，等式的左右边正好是三角形 ABC 周长的一半，即 ，有 BC，AC 的值，那么就能求出 BD 的长了，同理可求出AE 的长；表示出 AEBD，即可找出与 S 的大小关系【解答】解：BCD 与ACD 的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c，BC+BD=AC+AD= ，AD= b= ，同理 CE= ，BCA=90，a2+b2=c2，S= ab，可得 CEAD= = = （c 2a2b2+2ab）= ab，则 S=CEAD第 13 页（共 37 页）故选 A【点评】此题考查了勾股定理，以及三角形面积，通过周长相等得出线段的长是解题的关键8若不等式 ax2+7x12x+5 对 1a1 恒成立，则 x 的取值范围是（ ）A2x3 B 1x1 C 1x1 D2x3【考点】二次函数与不等式（组）【分析】把不等式整理成以关于 a 的一元一次不等式，然后根据一次函数的增减性列出关于 x 的不等式组，然后求解即可【解答】解：由 ax2+7x12x+5 得，ax 2+5x60，当 x=0 时， 60 不成立，x0，关于 a 的一次函数 y=x2a+5x6，当 a=1 时，y= x2+5x6=（x 2）（x3），当 a=1 时，y=x 2+5x6=（x 1）（x+6），不等式对 1a1 恒成立， ，解得 2x3故选 D【点评】本题考查了二次函数与不等式，一次函数的性质，难度较大，确定从一次函数的增减性考虑求解然后列出关于 x 的一元二次不等式组是解题的关键9如图，OAOB，等腰直角三角形 CDE 的腰 CD 在 OB 上，ECD=45，将三角形 CDE 绕点 C逆时针旋转 75，点 E 的对应点 N 恰好落在 OA 上，则 的值为（ ）第 14 页（共 37 页）A B C D【考点】旋转的性质；等腰直角三角形【分析】由旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及邻补角的定义得到OCN=60 ，则 cos60= =【解答】解：由题意知，NCE=75 又ECD=45，NCD=75+45=120，OCN=60，又 OAOB， =cos60= 故选：A【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，旋转性质，邻补角的定义等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但有一定的难度10如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），C 的圆心坐标为（0，1），半径为 1若 D 是C 上的一个动点，射线 AD 与 y 轴交于点 E，则 ABE 面积的最大值是（ ）A3 B C D4【考点】切线的性质；三角形的面积第 15 页（共 37 页）【专题】计算题；压轴题【分析】当射线 AD 与C 相切时，ABE 面积的最大设 EF=x，由切割线定理表示出 DE，可证明CDEAOE，根据相似三角形的性质可求得 x，然后求得ABE 面积【解答】解：当射线 AD 与C 相切时，ABE 面积的最大连接 AC，AOC=ADC=90，AC=AC，OC=CD ，RtAOCRtADC，AD=AO=2，连接 CD，设 EF=x，DE2=EFOE，CF=1，DE= ，CDEAOE， = ，即 = ，解得 x= ，SABE= = = 故选：B第 16 页（共 37 页）【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD 与C 相切时， ABE 面积的最大二填空题（共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）温馨提示：填空题应将最简洁最正确的答案填在空格内！11分解因式：x 24= （x+2）（x2） 【考点】因式分解-运用公式法【专题】因式分解【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可【解答】解：x 24=（x+2）（x2）故答案为：（x+2）（x 2）【点评】本题考查了平方差公式因式分解能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反12数据 a，4，2，5，3 的平均数为 b，且 a 和 b 是方程 x24x+3=0 的两个根，则这组数据的标准差是 【考点】标准差；解一元二次方程-因式分解法；算术平均数【分析】根据数据 a，4，2，5，3 的平均数为 b，其中 a，b 是方程 x24x+3=0 的两个根，建立关于a，b 方程组，求出 a，b 的值，再根据标准差的公式计算出标准差即可【解答】解：数据 a，4，2，5，3 的平均数为 b，其中 a，b 是方程 x24x+3=0 的两个根， ，解得 ；这组数据的标准差是 =；故答案为： 第 17 页（共 37 页）【点评】本题考查了方差与标准差，解题的关键是根据题意建立方程组求出 a，b 的值以及熟练掌握标准差的求法公式，本题属于统计中的基本题13从1，1， 2 这三个数字中，随机抽取一个数，记为 a，那么，使关于 x 的一次函数 y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积为 ，且使关于 x 的不等式组 有解的概率为 【考点】概率公式；解一元一次不等式组；一次函数图象上点的坐标特征【专题】探究型【分析】将1， 1，2 分别代入 y=2x+a，求出与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积，将 1，1，2 分别代入 ，求出解集，有解者即为所求【解答】解：当 a=1 时，y=2x+a 可化为 y=2x1，与 x 轴交点为（ ，0），与 y 轴交点为（0，1），三角形面积为 1= ；当 a=1 时，y=2x+a 可化为 y=2x+1，与 x 轴交点为（ ，0），与 y 轴交点为（0，1），三角形的面积为 1= ；当 a=2 时，y=2x+2 可化为 y=2x+2，与 x 轴交点为（ 1，0），与 y 轴交点为（0，2），三角形的面积为 21=1（舍去）；当 a=1 时，不等式组 可化为 ，不等式组的解集为 ，无解；当 a=1 时，不等式组 可化为 ，解得 ，解集为 ，解得x=1第 18 页（共 37 页）使关于 x 的一次函数 y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积为 ，且使关于 x 的不等式组有解的概率为 P= 故答案为： 【点评】本题考查了概率公式、解一元一次不等式、一次函数与坐标轴的交点，有一定的综合性14如图，AB 切 O 于点 B，OA=2 ， OAB=30，弦 BCOA，劣弧 的弧长为 （结果保留 ）【考点】切线的性质；含 30 度角的直角三角形；弧长的计算【专题】计算题【分析】连接 OB，OC，由 AB 为圆的切线，利用切线的性质得到三角形 AOB 为直角三角形，根据 30 度所对的直角边等于斜边的一半，由 OA 求出 OB 的长，且 AOB 为 60 度，再由 BC 与 OA平行，利用两直线平行内错角相等得到OBC 为 60 度，又 OB=OC，得到三角形 BOC 为等边三角形，确定出BOC 为 60 度，利用弧长公式即可求出劣弧 BC 的长【解答】解：连接 OB，OC，AB 为圆 O 的切线，ABO=90，在 RtABO 中，OA=2， OAB=30，OB=1，AOB=60，BCOA，OBC=AOB=60，又 OB=OC，BOC 为等边三角形，BOC=60，则劣弧 长为 = 第 19 页（共 37 页）故答案为： 【点评】此题考查了切线的性质，含 30 度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键15将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示图形若 CED=56，则 AED 的大小是 62 【考点】翻折变换（折叠问题）【专题】压轴题；操作型【分析】易得DED 的度数，除以 2 即为所求角的度数【解答】解：CED=56 ，DED=18056=124，AED=AED，AED= DED=62故答案为：62【点评】考查翻折变换问题；用到的知识点为：翻折前后得到的角相等16已知，如图，双曲线 y= （x0）与直线 EF 交于点 A，点 B，且 AE=AB=BF，连结AO，BO，它们分别与双曲线 y= （x0）交于点 C，点 D，则：（1）AB 与 CD 的位置关系是 ABCD ；（2）四边形 ABDC 的面积为 第 20 页（共 37 页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）首先过点 A 作 AMx 轴于点 M，过点 D 作 DHx 轴于点 H，过点 B 作 BNx 轴于点 N，由双曲线 y= （x0）与直线 EF 交于点 A、点 B，且 AE=AB=BF，可设点 A 的坐标为（m， ），得到点 B 的坐标为：（2m， ），则可由 SOAB=SOAM+S 梯形 AMNBSOBN，求得AOB 的面积，易得ODHOBN，可得（ ） 2= = ，继而可得 = ，所以 ABCD （2）由 = ，COD= AOB 则可证得COD AOB，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案【解答】解：（1）如图，过点 A 作 AMx 轴于点 M，过点 D 作 DHx 轴于点 H，过点 B 作BNx 轴于点 N，AMDHBNy 轴，设点 A 的坐标为：（m， ），AE=AB=BF，OM=MN=NF，点 B 的坐标为：（2m， ），SOAB=SOAM+S 梯形 AMNBSOBN=2+ （ + ）（2mm ）2=3，DHBN，ODHOBN， = = ，DHOH=2，BN ON=4，（ ） 2= = ，第 21 页（共 37 页）同理：（ ） 2= ， = ，ABCD 故答案为：ABCD （2） = ， COD=AOB，CODAOB， =（ ） 2= ，SCOD= ，S 四边形 ABDC= 故答案为： 【点评】此题考查了反比例函数中 k 的几何意义以及相似三角形的判定与性质此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用三解答题（共 7 题，共 66 分）温馨提示：解答题应将必要的过程呈现出来！17先化简代数式 ，然后选取一个合适的 a 值，代入求值【考点】分式的化简求值【专题】计算题；开放型【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算要注意的是 a 的取值需使原式有意义第 22 页（共 37 页）【解答】解：方法一：原式=a2+4；方法二：原式=a（a2）+2 （a+2）=a2+4；取 a=1，原式=5（注：答案不唯一如果求值这一步，取 a=2 或2，则不给分）【点评】考查学生分式运算能力这类题也是一类创新题，有利于培养同学们的发散思维，其结论往往因所选 x 值的不同而不同，但要注意所选 x 的值要使 a240，即 x218在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1， 2，3，4 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为 y（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数 y=x1 的图象上的概率；（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数 x、y 满足 yx1 的概率【考点】列表法与树状图法；一次函数的性质【分析】（1）首先根据题意画出表格，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图，即可求得小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数y=x1 的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案；（3）由（1）中的树状图，即可求得小强、小华各取一次小球所确定的数 x、y 满足 yx1 的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）画树状图得：第 23 页（共 37 页）1 2 3 41 （1 ， 1） （2 ， 1） （3 ， 1） （4 ， 1）2 （1 ， 2） （2 ， 2） （3 ， 2） （4 ， 2）3 （1 ， 3） （2 ， 3） （3 ， 3） （4 ， 3）4 （1 ， 4） （2 ， 4） （3 ， 4） （4 ， 4）则共有 16 种等可能的结果；（2）小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数 y=x1 的图象上的有：（1 ， 2），（ 2，3），（ 3，4），小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数 y=x1 的图象上的概率为： ；（3）小强、小华各取一次小球所确定的数 x、y 满足 y x1 的有：（1， 1），（2，1），（2 ， 2），（ 3，1），（ 3，2），（3， 3），（4，1），（4， 2），（4，3），（ 4，4），小强、小华各取一次小球所确定的数 x、y 满足 yx1 的概率为： = 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率=所求情况数与总情况数之比19如图，在ABC 中，AB=AC ，E 是 BC 中点，点 O 在 AB 上，以 OB 为半径的O 经过点 AE上的一点 M，分别交 AB，BC 于点 F，G ，连 BM，此时 FBM=CBM（1）求证：AM 是O 的切线；（2）当 BC=6，OB：OA=1：2 时，求 ，AM，AF 围成的阴影部分面积第 24 页（共 37 页）【考点】切线的判定；勾股定理；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质【专题】计算题【分析】（1）连接 OM，由 AB=AC，且 E 为 BC 中点，利用三线合一得到 AE 垂直于 BC，再由OB=OM，利用等边对等角得到一对角相等，由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到 OM 与 BC 平行，可得出 OM 垂直于 AE，即可得证；（2）由 E 为 BC 中点，求出 BE 的长，再由 OB 与 OA 的比值，以及 OB=OM，得到 OM 与 OA 的比值，由 OM 垂直于 AE，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半，得到此直角边所对的角为30 度得到MAB=30 ， MOA=60，阴影部分的面积=三角形 AOM 面积扇形 MOF 面积，求出即可【解答】解：（1）连结 OM，AB=AC，E 是 BC 中点，BCAE，OB=OM，OMB=MBO，FBM=CBM，OMB=CBM，OMBC，OMAE，AM 是O 的切线；（2）E 是 BC 中点，BE= BC=3，OB：OA=1：2，OB=OM，OM：OA=1：2，第 25 页（共 37 页）OMAE，MAB=30， MOA=60，OA：BA=1：3，OMBC，AOMABE， = = ，OM=2，AM= =2 ，S 阴影 = 2 2 =2 【点评】此题考查了切线的判定，涉及的知识有：圆周角定理，弧，弦及圆心角之间的关系，平行线的性质，扇形面积求法，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键20已知关于 x 的一元二次方程（a 1）x 2+（2 3a）x+3=0（1）求证：当 a 取不等于 1 的实数时，此方程总有两个实数根；（2）若 m，n（mn）是此方程的两根，并且 直线 l：y=mx+n 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 O在反比例函数 的图象上，求反比例函数 的解析式；（3）在（2）成立的条件下，将直线 l 绕点 A 逆时针旋转角 （0 90），得到直线 l，l 交 y轴于点 P，过点 P 作 x 轴的平行线，与上述反比例函数 的图象交于点 Q，当四边形 APQO的面积为 时，求 的值第 26 页（共 37 页）【考点】根的判别式；根与系数的关系；坐标与图形性质；反比例函数的图象；旋转的性质【专题】综合题【分析】（1）由方程（a1）x 2+（2 3a）x+3=0 为一元二次方程，所以 a0；要证明方程总有两个实数根，即证明当 a 取不等于 1 的实数时， 0，而=（23a） 24（a1）3=（3a4） 2，即可得到0（2）先利用求根公式求出两根 3， ，再代入 ，可得到 a=2，则 m=1，n=3，直线l：y=x+3 ，这样就可得到坐标原点 O 关于直线 l 的对称点，代入反比例函数 ，即可确定反比例函数 的解析式；（3）延长 PQ，AO交于点 G，设 P（0，p），则 Q（ ，p）四边形 APQO的面积=S APGSQGO= ，这样可求出 p；可得到 OP，PA，可求出 PAO=60，这样就可求出 【解答】（1）证明：方程（a1）x 2+（2 3a）x+3=0 是一元二次方程，a10，即 a1=（2 3a） 24（a 1）3=（3a4） 2，而（3a 4） 20，0第 27 页（共 37 页）所以当 a 取不等于 1 的实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：m， n（mn）是此方程的两根，m+n= ，mn= ， = ， = ，a=2，即可求得 m=1，n=3y=x+3，则 A（3，0），B （0，3），ABO 为等腰直角三角形，坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 O的坐标为（ 3，3），把（3，3）代入反比例函数 ，得k=9，所以反比例函数的解析式为 y= ；（3）解：设点 P 的坐标为（0，p），延长 PQ 和 AO交于点 GPQx 轴，与反比例函数图象交于点 Q，四边形 AOPG 为矩形Q 的坐标为（ ，p），G（ 3， P），当 045 ，即 p3 时，GP=3，GQ=3 ，GO=p3， GA=p，S 四边形 APQO=SAPGSQGO= p3 （3 ） （p3）=9 ， =9 ，p= （合题意）P（ 0， ）则 AP=6，OA=3 ，第 28 页（共 37 页）所以PAO=60 ， =6045=15；当 =45时，直线 l 于 y 轴没有交点；当 4590，则 p 3，用同样的方法也可求得 p= ，这与 p3 相矛盾，舍去所以旋转角度 为 15【点评】题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0，a，b，c 为常数）的根的判别式=b 2