第8章 数字电路基础

电 子 学 基 础制作：王林炜第八章 数字电路基础 1. 逻辑代数基础 2. 逻辑函数及其表示方法 3. 逻辑函数的化简 4. 逻辑门电路1. 逻辑代数基础 一、数字电路概述二、逻辑代数基础一、数字电路概述在时间上和幅度上离散的信号称为在时间上和幅度上离散的信号称为 数字信号数字信号 ，处理数字信号的电路称为数字电路。所谓处理数字处理数字信号的电路称为数字电路。所谓处理数字信号，就是传输、控制或变换数字信号。信号，就是传输、控制或变换数字信号。数字信号通常只有数字信号通常只有 高电平高电平 和和 低电平低电平 两种状态，两种状态，这两种状态在二进制中可用这两种状态在二进制中可用 1 和和 0 来表示。来表示。数字电路研究的主要对象是电路单元系统的输数字电路研究的主要对象是电路单元系统的输入和输出状态之间的逻辑关系，即电路的逻辑功能。入和输出状态之间的逻辑关系，即电路的逻辑功能。分析这些逻辑关系，使用的基本数学工具是分析这些逻辑关系，使用的基本数学工具是 逻辑代逻辑代数数 ，描述电路逻辑功能的主要方法有：，描述电路逻辑功能的主要方法有： 真值表真值表 、 逻逻辑函数式辑函数式 、 逻辑图逻辑图 和和 卡诺图卡诺图 。逻辑代数逻辑代数 (英国数学家英国数学家 George Boole首先提出首先提出的进行逻辑运算的数学方法，又称布尔代数的进行逻辑运算的数学方法，又称布尔代数 )是分是分析和设计数字电路的基本数学工具，它的基本和析和设计数字电路的基本数学工具，它的基本和常用运算也是数字电路要实现的重要操作，本节常用运算也是数字电路要实现的重要操作，本节主要讲解逻辑代数的基本概念、公式和定理，逻主要讲解逻辑代数的基本概念、公式和定理，逻辑函数的公式化简法和卡诺图化简法，几种常用辑函数的公式化简法和卡诺图化简法，几种常用逻辑函数的表示方法及其相互转换。逻辑函数的表示方法及其相互转换。逻辑代数和普通代数相比，虽然也有变量，逻辑代数和普通代数相比，虽然也有变量，但情况要简单的多，在二值逻辑中，变量取值但情况要简单的多，在二值逻辑中，变量取值只有只有 1 和和 0 ，且此处，且此处 1 和和 0 并不表示数值大小，并不表示数值大小，而是表示两种不同的逻辑状态。例如，用而是表示两种不同的逻辑状态。例如，用 1 和和0 表示一个事件的是与非、真与假，电压的高表示一个事件的是与非、真与假，电压的高与低，电流的有与无，开关的通与断等等。在与低，电流的有与无，开关的通与断等等。在逻辑代数中有些公式与定理与普通代数并无区逻辑代数中有些公式与定理与普通代数并无区别，有些则完全不同。别，有些则完全不同。 二、逻辑代数基础1、数制和代码、数制和代码(1) 数制：数制：多位数码中每一位的构成方法以及计数进位的规则称为多位数码中每一位的构成方法以及计数进位的规则称为数制数制 。常用的数制有十进制、二进制、八进制和十六进制。常用的数制有十进制、二进制、八进制和十六进制。 十进制：十进制：十进制是我们生活实践中最常使用的数制，十进制数的十进制是我们生活实践中最常使用的数制，十进制数的每一位用每一位用 0 9 十个数码来表示，其计数基数是十个数码来表示，其计数基数是 10，大于，大于 9 的数需用多位数表示，其中低位和相邻高位间是逢十进一，的数需用多位数表示，其中低位和相邻高位间是逢十进一，故称十进制。故称十进制。多位十进制数中的数码在不同位置所代表的数值多位十进制数中的数码在不同位置所代表的数值是不一样的。例如：是不一样的。例如：(423.25)10 = 4102 + 2101 + 3100 + 210-1 + 510-2任意一个十进制数均可以表示为任意一个十进制数均可以表示为其中其中 Ki 第第 i 位的系数，它可以是位的系数，它可以是 0 9 十个数码中的十个数码中的任何一个。若整数部分的位数是任何一个。若整数部分的位数是 n，小数部分的位数，小数部分的位数是是 m，则，则 i包含从包含从 n 1到到 0的所有正整数和从的所有正整数和从 1到到 m的所有负整数。式中的所有负整数。式中 10i 称为十进制第称为十进制第 i位的位的 “权权 ”。显。显然一个数每一位的含意不仅取决于该位数码本身然一个数每一位的含意不仅取决于该位数码本身 , 还还取决于该位的权。取决于该位的权。(8.1.1)若用若用 N代替式代替式 (8.1.1)中的中的 10，就得到任，就得到任意进制意进制 (N进制进制 )数展开式的普遍形式数展开式的普遍形式(8.1.2)其中 i 的取值与式 (8.1.1)中的规定相同。 二进制在数字电路中采用的数制是二进制。二进制数在数字电路中采用的数制是二进制。二进制数的每一位仅有的每一位仅有 0 和和 1 两个数码，计数基数是两个数码，计数基数是 2，计，计数规律是数规律是 “逢二进一逢二进一 ”，即，即 1 + 1 = 10 (读做读做 “壹零壹零 ”)。根据式根据式 (8.1.2)可知，任何一个二进制数均可展开为可知，任何一个二进制数均可展开为此处此处 Ki 取值只有取值只有 0 和和 1 两种可能。例如两种可能。例如(1011.11)2 = 123 + 022 + 121 + 120 + 12-1 + 12-2将展开后的数加起来就得到与该二进制数等值的十将展开后的数加起来就得到与该二进制数等值的十进制数，即进制数，即 (1011.11)2 = (11.75)10(8.1.3) 八进制在八进制数中，每一位用在八进制数中，每一位用 0 7 八个数码表示，八个数码表示，计数基数是计数基数是 8，计数规律是，计数规律是 “逢八进一逢八进一 ”，任何一个，任何一个八进制数均可展开为八进制数均可展开为式中式中 Ki 可以是可以是 0 7 八个数码中的任何一个。例如八个数码中的任何一个。例如(37.41)8 = 381 + 780 + 48-1 + 18-2 由于同样一个数用八进制写出的结果要比二进制写由于同样一个数用八进制写出的结果要比二进制写出来的结果简单许多，而且后面会看到，二进制与出来的结果简单许多，而且后面会看到，二进制与八进制的相互转换非常方便。故早期计算机程序常八进制的相互转换非常方便。故早期计算机程序常用到八进制。用到八进制。(8.1.4) 十六进制在十六进制数中，每一位可用在十六进制数中，每一位可用 0 9以及以及 A、 B、C、 D、 E、 F共共 16个数码表示，其中个数码表示，其中 A、 B、 C、 D、E、 F 6个数码依次表示个数码依次表示 1015。计数基数是。计数基数是 16，计，计数规律是数规律是 “逢十六进位逢十六进位 ”，即，即 (4)16+(C)16= (10)16任何一个十六进制数均可展开为任何一个十六进制数均可展开为式中式中 Ki 可以是可以是 0 9以及以及 A、 B、 C、 D、 E、 F十六个十六个数码中的任何一个。例如数码中的任何一个。例如(2A .7F)16 = 2161 + A160 + 716-1 + F16-2 (8.1.5)在早期的微型计算机中多采用在早期的微型计算机中多采用 8位或位或 16位二进制数并行运算，而位二进制数并行运算，而 8位或位或 16位二进制位二进制数可以用数可以用 2 位或位或 4 位十六进制数来表示，所位十六进制数来表示，所以用十六进制编码写程序十分方便。且十六以用十六进制编码写程序十分方便。且十六进制数和二进制数之间的转换非常简单，这进制数和二进制数之间的转换非常简单，这使得十六进制的应用更为广泛。使得十六进制的应用更为广泛。(2) 数制的转换 十进制数转换成二进制数十进制数转换成二进制数一个十进制数一般包括整数和小数两部分，需一个十进制数一般包括整数和小数两部分，需将整数部分和小数部分分别进行转换，再将转换结将整数部分和小数部分分别进行转换，再将转换结果排列在一起就得到完整的转换结果。果排列在一起就得到完整的转换结果。整数部分的转换方法是：整数部分的转换方法是： “除除 2取余法取余法 ”将整数部分连续除以将整数部分连续除以 2直至商为直至商为 0，每次的余数，每次的余数即为二进制数码，最初得到的为整数的最低有效系即为二进制数码，最初得到的为整数的最低有效系数数 K0，最后得到的为整数的最高有效系数，最后得到的为整数的最高有效系数 Kn-1。假设十进制整数为假设十进制整数为 (D)10，它所对应的二进制数为，它所对应的二进制数为(knkn 1k0)，则由，则由 (8.1.3)可知可知将上式两边同除以将上式两边同除以 2，则两边的商和余数必然对应相，则两边的商和余数必然对应相等，所得商为等，所得商为 ( kn2n-1 + kn-12n-2 + + k1)， 所得余数就所得余数就是是 k0。同理，此商又可写成。同理，此商又可写成 显而易见，若将上式两边再同除以显而易见，若将上式两边再同除以 2，则所得余数为，则所得余数为k1。依次类推，便可求出对应的二进制数的每一位系。依次类推，便可求出对应的二进制数的每一位系数。数。小数部分的转换方法是：小数部分的转换方法是： “ 乘乘 2取整法取整法 ”十进制小数转换成二进制小数采用十进制小数转换成二进制小数采用 “乘乘 2取整，顺取整，顺序排列序排列 ”法。具体做法是：用法。具体做法是：用 2乘十进制小数，可以得乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用到积，将积的整数部分取出，再用 2乘余下的小数部乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先度为止。然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。作为低位有效位。假设十进制小数为假设十进制小数为 (D)10，它所对应的二进制小数，它所对应的二进制小数为为 (0.k 1k 2k m)，根据式，根据式 (8.1.3)可得可得将上式两边同乘以将上式两边同乘以 2，得，得即乘积的整数部分就是即乘积的整数部分就是 k 1，同时乘积的小数部分，同时乘积的小数部分 又可又可写成写成 若在上式两边再同乘以若在上式两边再同乘以 2，则可得，则可得所得乘积的整数部分就是所得乘积的整数部分就是 k 2。依次类推，便可求得对。依次类推，便可求得对应的二进制小数每一位的系数。应的二进制小数每一位的系数。得得 (23.125)10 = (10111.001)2例如，将例如，将 (23.125)10转换成二进制数：转换成二进制数： 二进制数与八进制数之间的转换a. 二进制数转换成八进制数二进制数转换成八进制数将二进制数转换成八进制数要分别对整数和小将二进制数转换成八进制数要分别对整数和小数进行转换。整数部分的转换可从最低位起，每数进行转换。整数部分的转换可从最低位起，每 3位分为一组位分为一组 (最后不足最后不足 3位的用位的用 0补足补足 )，每组用，每组用 1位相位相应的八进制数码替代；应的八进制数码替代； 小数部分的转换可从小数点小数部分的转换可从小数点后第一位起，每后第一位起，每 3位分为一组位分为一组 (最后不足最后不足 3位的用位的用 0补补足足 )，将每组二进制数用相应的八进制数码替代即，将每组二进制数用相应的八进制数码替代即可。例如可。例如二进制：二进制： 001110101100.101100110八进制：八进制： 1 6 5 4. 5 4 6b. 八进制数转换成二进制数八进制数转换成二进制数八进制数转换成二进制数，只要将每位八进制八进制数转换成二进制数，只要将每位八进制数用相应数用相应 3位的二进制数来表示即可。位的二进制数来表示即可。例如例如 : (652.31)8 = (110101010.011001)2 二进制数与十六进制数之间的转换a. 二进制数转换成十六进制数二进制数转换成十六进制数将二进制数转换成十六进制数要分别对整数和将二进制数转换成十六进制数要分别对整数和小数进行转换。整数部分的转换可从最低位起，每小数进行转换。整数部分的转换可从最低位起，每4位分为一组位分为一组 (最后不足最后不足 4位的用位的用 0补足补足 )，每组用，每组用 1位位相应的十六进制数码替代；相应的十六进制数码替代； 小数部分的转换可从小小数部分的转换可从小数点后第一位起，每数点后第一位起，每 4位分为一组位分为一组 (最后不足最后不足 4位的用位的用0补足补足 )，将每组二进制数用相应的十六进制数码替，将每组二进制数用相应的十六进制数码替代即可。例如代即可。例如二进制：二进制： 01111011.11101010十六进制：十六进制： 7 B . E Ab. 十六进制数转换成二进制数十六进制数转换成二进制数十六进制数转换成二进制数，只要将每位十六十六进制数转换成二进制数，只要将每位十六进制数用相应的进制数用相应的 4位二进制数来表示即可。位二进制数来表示即可。例如例如 : (2A.7D)16 = (00101010.01111101)22、二进制代码用二进制数表示文字、符号等信息的过程叫做用二进制数表示文字、符号等信息的过程叫做 编码编码 ，进，进行编码之后的二进制数称为行编码之后的二进制数称为 二进制代码二进制代码 。若对若对 N 项信息进行编码，则需要使用的二进制代码的位项信息进行编码，则需要使用的二进制代码的位数数 n 应满足以下关系：应满足以下关系： 2nN在数字电路中，二进制数实现比较容易在数字电路中，二进制数实现比较容易 (高电平表示高电平表示 1，低电平表示低电平表示 0)，故在编码中广泛使用二进制数。下面介绍两，故在编码中广泛使用二进制数。下面介绍两种常用的十进制数种常用的十进制数 0 9十个数码的二进制编码十个数码的二进制编码 (BCD码码 )。BCD 是是 Binary Coded Decimal code的缩写。的缩写。有权有权 BCD码，如：码，如： 8421(最常用最常用 )、 2421、 5421 无权无权 BCD码，如：余码，如：余 3码、格雷码码、格雷码 8421码十 进制数8421码B3 B2 B1 B001234567890000000011000011110000110011000101010101权 8 4 2 18421码是取码是取 4位二进制数前位二进制数前 10种码组种码组 00001001来表示来表示 09这这 10个十进制个十进制数码，其余数码，其余 6 种组码为禁种组码为禁用码。可以看出这种编码用码。可以看出这种编码中的每一种代码的中的每一种代码的 4位二位二进制数，其位权依次是进制数，其位权依次是 8、4、 2、 1，且每个代码的，且每个代码的十进制数值，恰好就是它十进制数值，恰好就是它所表示的十进制数码。所表示的十进制数码。 余 3码十 进制数余 3码B3 B2 B1 B001234567890000011111011110000110011001101010101010余余 3码是在码是在 8421码基础上，每一个码基础上，每一个 8421代码加代码加上上 0011，即每一个余，即每一个余 3码的码的 4位二进制数的十进制数位二进制数的十进制数值要比它编码对应的十进值要比它编码对应的十进制数码多余制数码多余 3，故称余，故称余 3码。码。从编码表中可以看出，从编码表中可以看出， 0和和9、 1和和 8、 2和和 7、 3和和 6、 4和和 5的码组互为反码，即余的码组互为反码，即余3码具有互补性。码具有互补性。其它几种其它几种 BCD码参见教材码参见教材 P380 表表 8.1.1十进制数二进制数8421码2421码 A2421码 B4221码5421码 余 3码 格雷码余 3循环码0 0000 0 0 0 0 0 01 0001 1 1 1 1 1 12 0010 2 2 2 2 2 3 03 0011 3 3 3 3 3 0 24 0100 4 4 4 4 1 7 45 0101 5 5 2 6 36 0110 6 6 4 3 4 17 0111 7 7 5 4 5 28 1000 8 5 5 159 1001 9 6 6 1410 1010 7 7 12 911 1011 5 8 8 1312 1100 6 6 8 9 8 513 1101 7 7 9 614 1110 8 8 8 11 815 1111 9 9 9 10 7几种几种 BCD码码鉴于信息交换的重要及为统一文字符号的编码标准，让鉴于信息交换的重要及为统一文字符号的编码标准，让不同品牌机型的计算机皆能使用同一套标准化的信息交换码，不同品牌机型的计算机皆能使用同一套标准化的信息交换码，于是美国国家标准局特别制定了于是美国国家标准局特别制定了 ASCII码码 (America StandardCode for Information Interchange， 美国国家信息交换标准字符美国国家信息交换标准字符码码 ) 作为数据传输的标准码。早期的作为数据传输的标准码。早期的 ASCII码采用码采用 7位二进制代位二进