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1三角函数题解1.(2003 上海春,15)把曲线 ycosx+2y1=0 先沿 x 轴向右平移 个单位,再沿 y 轴2向下平移 1 个单位,得到的曲线方程是( )A.(1y)sinx+2y3=0 B.(y1)sin x+2y3=0C.(y+1)sinx+2y+1=0 D.(y+1)sinx+2y +1=01.答案:C解析:将原方程整理为:y= ,因为要将原曲线向右、向下分别移动 个单xcos22位和 1 个单位,因此可得 y= 1 为所求方程 .整理得(y +1)sin x+2y+1=0.)(评述:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解,可直接化为:(y+1)cos (x )+2 (y+1)1=0,即得 C 选项.22.(2002 春北京、安徽,5)若角 满足条件 sin2 0,cos sin 0,则 在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.答案:B解析:sin2 2sin cos 0 sin cos 0即 sin 与 cos 异号, 在二、四象限,又 cos sin 0cos sin 由图 45,满足题意的角 应在第二象限3.(2002 上海春,14)在ABC 中,若 2cosBsinAsinC,则 ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形3.答案:C解析:2sinAcosBsin (AB)sin (AB )又2sinAcosBsinC,sin(AB)0,A B4.(2002 京皖春文,9)函数 y=2sinx 的单调增区间是( )A.2k ,2k ( kZ) B.2k ,2k (kZ )3图 452C.2 k ,2k (k Z ) D.2k ,2k (k Z)4.答案:A解析:函数 y=2x 为增函数,因此求函数 y=2sinx 的单调增区间即求函数 y=sinx 的单调增区间.5.(2002 全国文 5,理 4)在(0,2 )内,使 sinxcosx 成立的 x 取值范围为( )A.( , )( , )4B.( , )C.( , )45D.( , ) ( , )4235.答案:C解法一:作出在(0,2 )区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标 和4,由图 46 可得 C 答案.5图 46 图 47解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C.(如图47)6.(2002 北京,11)已知 f(x)是定义在(0,3 )上的函数,f (x)的图象如图 41所示,那么不等式 f(x)cosx 0 的解集是( )A.(0,1)( 2,3)B.(1, )( ,3)图 413C.(0 ,1 )( ,3)2D.(0,1 )( 1,3)6.答案:C解析:解不等式 f(x)cosx 0 30cos)(cs)(xfxf或 0x 1 或 x3231x或27.(2002 北京理,3)下列四个函数中,以 为最小正周期,且在区间( , )上2为减函数的是( )A.y=cos2x B.y2|sinx| C.y( )cosx D.y=cotx317.答案:B解析:A 项:y=cos 2x= ,x= ,但在区间cos1( , )上为增函数.2B 项:作其图象 48,由图象可得 T= 且在区间( , )上为减函数.2C 项:函数 y=cosx 在( , )区间上为减函数,数 y=( ) x 为减函数.因此 y=( )23131cosx 在( , )区间上为增函数.2D 项:函数 ycotx 在区间( , )上为增函数.28.(2002 上海,15)函数 y=x+sin|x|,x , 的大致图象是( )8.答案:C图 484解析:由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|,x , 为非奇非偶函数.选项 A、D 为奇函数,B 为偶函数,C 为非奇非偶函数.9.(2001 春季北京、安徽,8 )若 A、B 是锐角ABC 的两个内角,则点P(cosB sin A,sinBcosA )在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.答案:B解析:A、B 是锐角三角形的两个内角, AB 90,B90A,cosBsin A,sinBcosA,故选 B.10.( 2001 全国文,1)tan300+cot405的值是( )A.1 B.1 C.1 D.1 333310.答案:B解析:tan300cot405tan(360 60)cot(360 45)tan60cot451 .11.( 2000 全国,4)已知 sin sin ,那么下列命题成立的是( )A.若 、 是第一象限角,则 cos cos B.若 、 是第二象限角,则 tan tan C.若 、 是第三象限角,则 cos cos D.若 、 是第四象限角,则 tan tan 11.答案:D解析:因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反,所以可排除 A、C,在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反,所以排除 B.只有在第四象限内,正弦函数与正切函数的增减性相同.12.( 2000 全国,5)函数 yxcosx 的部分图象是( )12.答案:D解析:因为函数 yx cosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除 A、C,当x(0, )时,yx cosx0.213.( 1999 全国,4)函数 f(x)=M sin( x ) ( 0) ,在区间a,b 上是增函数,且 f(a ) =M,f(b)=M ,则函数 g(x)=M cos( x )在a,b上( )5A.是增函数 B.是减函数C.可以取得最大值 D.可以取得最小值m13.答案:C解法一:由已知得 M0 , 2k x 2k (k Z) ,故有 g(x)在a,b上不是增函数,也不是减函数,且当 x 2k 时 g(x)可取到最大值 M,答案为 C.解法二:由题意知,可令 1, 0 ,区间a,b为 , ,M1,则2g(x)为 cosx,由基本余弦函数的性质得答案为 C.评述:本题主要考查函数 y=Asin( x )的性质,兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用(正用逆用) ;解法二取特殊值可降低难度,简化命题.14.( 1999 全国,11)若 sin tan cot ( ,则 ( )2)A.( , ) B.( ,0) 244C.(0 , ) D.( , )214.答案:B解法一:取 , 代入求出 sin 、tan 、cot 之值,易知 适36 6合,又只有 ( , 0) ,故答案为 B.64解法二:先由 sin tan 得: ( ,0 ) ,再由 tan cot 得:2 ( , 0)4评述:本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系,1995 年、1997 年曾出现此类题型,运用特殊值法求解较好.15.( 1999 全国文、理,5)若 f(x)sinx 是周期为 的奇函数,则 f(x)可以是( )A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x15.答案:B6解析:取 f(x)=cosx,则 f(x)sin x= sin2x 为奇函数,且 T= .21评述:本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.16.( 1998 全国,6)已知点 P(sin cos ,tan )在第一象限,则在 0,2 内 的取值范围是( )A.( , ) ( , )24345B.( , )( , )C.( , ) ( , )243523D.( , )( , )16.答案:B解法一:P(sin cos ,tan )在第一象限,有 tan 0 ,A、C、D 中都存在使 tan 0 的 ,故答案为 B.解法二:取 ( ) ,验证知 P 在第一象限,排除 A、C,取 (32,4 65, ) ,则 P 点不在第一象限,排除 D,选 B.43解法三:画出单位圆如图 410 使 sin cos 0 是图中阴影部分,又 tan 0 可得 或 ,故选 B.25评述:本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用,突出考查了转化思想和转化方法的选择,采用排除法不失为一个好办法.17.( 1997 全国,3)函数 y=tan( )在一个周期内的图象是( )312x17.答案:A7解析:ytan( )tan (x ) ,显然函数周期为 T2 ,且 x312x23时,y=0 ,故选 A.32评述:本题主要考查正切函数性质及图象变换,抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.( 1996 全国)若 sin2xcos2x,则 x 的取值范围是( )A.x|2k cos2x 得 sin2x1sin 2x,sin 2x .因此有 sinx 或 sinxcot B.tan cos D.sin cos23.答案:A解法一:因为 为第二象限角,则 2k 2k (k Z) ,即 为第一2象限角或第三象限角,从单位圆看是靠近轴的部分如图 413,所以 tan cot .解法二:由已知得:2k 2k ,k 2k ,k 为奇数时,2n 2n (n Z ) ;453k 为偶数时,2n 2n (nZ) ,都有tan cot ,选 A.图 41311评述:本题主要考查象限角的概念和三角函数概念,高于课本.24.( 2002 上海春,9)若 f(x)=2sin x(0 1 在区间0, 上的最大值是)3,则 .224.答案: 43解析:0 1 T 2 f (x)在0 , 区间上为单调递增函数3f(x) maxf( )即 2sin 又0 1 解得 34325.( 2002 北京文,13)sin ,cos ,tan 从小到大的顺序是 .5265725.答案:cos sin tan6解析:cos 0,tan tan 0 x 时,tanxxsinx05752tan sin 0 tan sin cos25626.( 1997 全国,18) 的值为_.8sin17cosin26.答案:2 3解析: 8cos15in8si15n)815cos(coi8sin157cosin.320ita评述:本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.27.( 1996 全国,18)tan20+tan40 + tan20tan40的值是_.31227.答案: 3解析:tan60= ,tan20+tan40 = tan20tan40,40tan21t 3tan20+tan40 + tan20tan40= .3328.( 1995 全国理,18)函数 ysin (x )cosx 的最小值是 .628.答案: 43解析:ysin( x )cosx sin(2x )sin sin(2x )6161621当 sin(2x )1 时,函数有最小值,y 最小 (1 ) .6243评述:本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性(或值域).29.( 1995 上海,17)函数 ysin cos 在(2 ,2 )内的递增区间是 .x29.答案: 2,3解析:ysin cos sin( ) ,当x42x2k 2k (k Z)时,函数递增,此时44k x 4k (k Z) ,只有 k0 时, , (2 ,2 ).3330.( 1994 全国,18)已知 sin cos , (0, ) ,则 cot 的值是 .511330.答案: 43解法一:设法求出 sin 和 cos ,cot 便可求了,为此先求出 sin cos 的值.将已知等式两边平方得 12sin cos 251变形得 12sin cos 2 ,即(sin cos ) 2 549又 sin cos , (0 , )1则 ,如图 41423所以 sin cos ,于是57sin ,cos ,cot .434解法二:将已知等式平方变形得 sin cos ,又 (0, ) ,有251cos 0 sin ,且 cos 、 sin 是二次方程 x2 x 0 的两个根,故有cos ,53sin ,得 cot .44评述:本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力,方法较灵活.31.( 2000 全国理,17)已知函数 y cos2x sinxcosx1,xR.13(1 )当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合;(2 )该函数的图象可由 ysin x(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 ?图 4141431.解:(1 )y cos2x sinxcosx13 (2cos 2x1) (2sinxcosx )144 cos2x sin2x35 (cos2x sin sin2 xcos )216645 sin(2x ) 45y 取得最大值必须且只需 2x 2 k ,kZ,6即 x k ,k Z .6所以当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为x| x k ,k Z.6(2 )将函数 ysin x 依次进行如下变换:把函数 ysinx 的图象向左平移 ,得到函数 ysin (x )的图象;6把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数21ysin(2x )的图象;6把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得到函数21y sin(2x )的图象;16把得到的图象向上平移 个单位长度,得到函数 y sin(2x ) 的图象;45164515综上得到函数 y cos2x sinxcosx1 的图象.13评述:本题主要考查三角函数的图象和性质,考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.32.( 2000 全国文,17)已知函数 y sinxcosx,xR .3(1 )当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合;(2 )该函数的图象可由 ysin x(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 ?32.解:(1 )y sinxcos x2(sinx cos cosx sin )2sin(x ) ,xR366y 取得最大值必须且只需 x 2k ,kZ ,即 x 2k ,k Z .3所以,当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为x| x 2k ,kZ 3(2 )变换的步骤是:把函数 ysinx 的图象向左平移 ,得到函数 ysin (x )的图象;66令所得到的图象上各点横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数y2sin(x )的图象;6经过这样的变换就得到函数 y sinxcosx 的图象.3评述:本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.33.( 1995 全国理,22)求 sin220cos 250sin20cos50的值.33.解:原式 (1cos40) (1 cos100 ) (sin70sin30)211 (cos100cos40 ) sin70224 sin70 sin30 sin7043116 sin70 sin70 .432143评述:本题考查三角恒等式和运算能力.34.( 1994 上海,21)已知 sin , ( , ) ,tan( ) ,53221求 tan( 2 )的值.34.解:由题设 sin , ( , ) ,可知 cos ,tan 543又因 tan( ) ,tan ,所以 tan2 21 34tan12tan( 2 ) 24713tan1t 35.( 1994 全国理,22)已知函数 f(x)=tanx ,x(0, ) ,若 x1、x 2(0 , ) ,且x1x 2,证明 f(x 1)f(x 2) f( ).2135.证明:tanx 1tan x2 2121 cosinsincoisinxx21cos)in()s()(i2121x因为 x1,x 2(0, ) ,x 1x 2,所以 2sin(x 1 x2)0 ,cosx 1cosx20 ,且 0cos(x 1 x2)1 ,从而有 0cos(x 1x 2)cos(x 1x 2)1cos(x 1x 2) ,由此得 tanx1tanx 2 ,)cos(in21所以 (tanx 1tanx 2)tan x17即 f(x 1)f (x 2) f( ).221x36.已知函数 12()log(sinc)f x求它的定义域和值域; 求它的单调区间;判断它的奇偶性; 判断它的
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