高中三角函数习题解析精选

1三角函数题解1.（2003 上海春，15）把曲线 ycosx+2y1=0 先沿 x 轴向右平移 个单位，再沿 y 轴2向下平移 1 个单位，得到的曲线方程是（ ）A.（1y）sinx+2y3=0 B.（y1）sin x+2y3=0C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.(y+1)sinx+2y +1=01.答案：C解析：将原方程整理为：y= ，因为要将原曲线向右、向下分别移动 个单xcos22位和 1 个单位，因此可得 y= 1 为所求方程 .整理得（y +1）sin x+2y+1=0.)(评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos （x ）+2 （y+1）1=0，即得 C 选项.22.（2002 春北京、安徽，5）若角 满足条件 sin2 0，cos sin 0，则 在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.答案：B解析：sin2 2sin cos 0 sin cos 0即 sin 与 cos 异号， 在二、四象限，又 cos sin 0cos sin 由图 45，满足题意的角 应在第二象限3.（2002 上海春，14）在ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则 ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形3.答案：C解析：2sinAcosBsin （AB）sin （AB ）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，A B4.（2002 京皖春文，9）函数 y=2sinx 的单调增区间是（ ）A.2k ，2k （ kZ） B.2k ，2k （kZ ）3图 452C.2 k ，2k （k Z ） D.2k ，2k （k Z）4.答案：A解析：函数 y=2x 为增函数，因此求函数 y=2sinx 的单调增区间即求函数 y=sinx 的单调增区间.5.（2002 全国文 5，理 4）在（0，2 ）内，使 sinxcosx 成立的 x 取值范围为（ ）A.（ ， ）（ ， ）4B.（ ， ）C.（ ， ）45D.（ ， ） （ ， ）4235.答案：C解法一：作出在（0，2 ）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标 和4，由图 46 可得 C 答案.5图 46 图 47解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选 C.（如图47）6.（2002 北京，11）已知 f（x）是定义在（0，3 ）上的函数，f （x）的图象如图 41所示，那么不等式 f（x）cosx 0 的解集是（ ）A.（0，1）（ 2，3）B.（1， ）（ ，3）图 413C.（0 ，1 ）（ ，3）2D.（0，1 ）（ 1，3）6.答案：C解析：解不等式 f（x）cosx 0 30cos)(cs)(xfxf或 0x 1 或 x3231x或27.（2002 北京理，3）下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间（ ， ）上2为减函数的是（ ）A.y=cos2x B.y2|sinx| C.y( )cosx D.y=cotx317.答案：B解析：A 项：y=cos 2x= ，x= ，但在区间cos1（ ， ）上为增函数.2B 项：作其图象 48，由图象可得 T= 且在区间（ ， ）上为减函数.2C 项：函数 y=cosx 在( ， )区间上为减函数,数 y=（ ） x 为减函数.因此 y=（ ）23131cosx 在（ ， ）区间上为增函数.2D 项：函数 ycotx 在区间（ ， ）上为增函数.28.（2002 上海，15）函数 y=x+sin|x|，x ， 的大致图象是（ ）8.答案：C图 484解析：由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|，x ， 为非奇非偶函数.选项 A、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数.9.（2001 春季北京、安徽，8 ）若 A、B 是锐角ABC 的两个内角，则点P（cosB sin A，sinBcosA ）在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.答案：B解析：A、B 是锐角三角形的两个内角， AB 90，B90A，cosBsin A，sinBcosA，故选 B.10.（ 2001 全国文，1）tan300+cot405的值是（ ）A.1 B.1 C.1 D.1 333310.答案：B解析：tan300cot405tan(360 60)cot(360 45)tan60cot451 .11.（ 2000 全国，4）已知 sin sin ，那么下列命题成立的是（ ）A.若 、 是第一象限角，则 cos cos B.若 、 是第二象限角，则 tan tan C.若 、 是第三象限角，则 cos cos D.若 、 是第四象限角，则 tan tan 11.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除 A、C，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除 B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.12.（ 2000 全国，5）函数 yxcosx 的部分图象是（ ）12.答案：D解析：因为函数 yx cosx 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除 A、C，当x（0， ）时，yx cosx0.213.（ 1999 全国，4）函数 f（x）=M sin（ x ） （ 0） ，在区间a，b 上是增函数，且 f（a ） =M，f（b）=M ，则函数 g（x）=M cos（ x ）在a，b上（ ）5A.是增函数 B.是减函数C.可以取得最大值 D.可以取得最小值m13.答案：C解法一：由已知得 M0 ， 2k x 2k （k Z） ，故有 g（x）在a，b上不是增函数，也不是减函数，且当 x 2k 时 g（x）可取到最大值 M，答案为 C.解法二：由题意知，可令 1， 0 ，区间a，b为 ， ，M1，则2g（x）为 cosx，由基本余弦函数的性质得答案为 C.评述：本题主要考查函数 y=Asin（ x ）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用） ；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.14.（ 1999 全国，11）若 sin tan cot （ ，则 （ ）2)A.（ ， ） B.（ ，0） 244C.（0 ， ） D.（ ， ）214.答案：B解法一：取 ， 代入求出 sin 、tan 、cot 之值，易知 适36 6合，又只有 （ ， 0） ，故答案为 B.64解法二：先由 sin tan 得： （ ，0 ） ，再由 tan cot 得:2 （ ， 0）4评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995 年、1997 年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.15.（ 1999 全国文、理，5）若 f（x）sinx 是周期为 的奇函数，则 f（x）可以是（ ）A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x15.答案：B6解析：取 f（x）=cosx，则 f（x）sin x= sin2x 为奇函数，且 T= .21评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.16.（ 1998 全国，6）已知点 P（sin cos ，tan ）在第一象限，则在 0，2 内 的取值范围是（ ）A.（ ， ） （ ， ）24345B.（ ， ）（ ， ）C.（ ， ） （ ， ）243523D.（ ， ）（ ， ）16.答案：B解法一：P（sin cos ，tan ）在第一象限，有 tan 0 ，A、C、D 中都存在使 tan 0 的 ，故答案为 B.解法二：取 （ ） ，验证知 P 在第一象限，排除 A、C，取 （32,4 65， ） ，则 P 点不在第一象限，排除 D,选 B.43解法三：画出单位圆如图 410 使 sin cos 0 是图中阴影部分，又 tan 0 可得 或 ，故选 B.25评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.17.（ 1997 全国，3）函数 y=tan（ ）在一个周期内的图象是（ ）312x17.答案：A7解析：ytan（ ）tan （x ） ，显然函数周期为 T2 ，且 x312x23时，y=0 ，故选 A.32评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.（ 1996 全国）若 sin2xcos2x，则 x 的取值范围是（ ）A.x|2k cos2x 得 sin2x1sin 2x，sin 2x .因此有 sinx 或 sinxcot B.tan cos D.sin cos23.答案：A解法一：因为 为第二象限角，则 2k 2k （k Z） ，即 为第一2象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图 413，所以 tan cot .解法二：由已知得：2k 2k ，k 2k ，k 为奇数时，2n 2n （n Z ） ；453k 为偶数时，2n 2n （nZ） ，都有tan cot ，选 A.图 41311评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本.24.（ 2002 上海春，9）若 f（x）=2sin x（0 1 在区间0， 上的最大值是)3，则 .224.答案： 43解析：0 1 T 2 f （x）在0 ， 区间上为单调递增函数3f（x） maxf（ ）即 2sin 又0 1 解得 34325.（ 2002 北京文，13）sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是 .5265725.答案：cos sin tan6解析：cos 0，tan tan 0 x 时，tanxxsinx05752tan sin 0 tan sin cos25626.（ 1997 全国，18） 的值为_.8sin17cosin26.答案：2 3解析： 8cos15in8si15n)815cos(coi8sin157cosin.320ita评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.27.（ 1996 全国，18）tan20+tan40 + tan20tan40的值是_.31227.答案： 3解析：tan60= ，tan20+tan40 = tan20tan40，40tan21t 3tan20+tan40 + tan20tan40= .3328.（ 1995 全国理，18）函数 ysin （x ）cosx 的最小值是 .628.答案： 43解析：ysin（ x ）cosx sin（2x ）sin sin（2x ）6161621当 sin（2x ）1 时，函数有最小值，y 最小 （1 ） .6243评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）.29.（ 1995 上海，17）函数 ysin cos 在（2 ，2 ）内的递增区间是 .x29.答案： 2,3解析：ysin cos sin（ ） ，当x42x2k 2k （k Z）时，函数递增，此时44k x 4k （k Z） ，只有 k0 时， ， （2 ，2 ）.3330.（ 1994 全国，18）已知 sin cos ， （0， ） ，则 cot 的值是 .511330.答案： 43解法一：设法求出 sin 和 cos ，cot 便可求了，为此先求出 sin cos 的值.将已知等式两边平方得 12sin cos 251变形得 12sin cos 2 ，即（sin cos ） 2 549又 sin cos ， （0 ， ）1则 ，如图 41423所以 sin cos ，于是57sin ，cos ，cot .434解法二：将已知等式平方变形得 sin cos ，又 （0， ） ，有251cos 0 sin ，且 cos 、 sin 是二次方程 x2 x 0 的两个根，故有cos ，53sin ，得 cot .44评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活.31.（ 2000 全国理，17）已知函数 y cos2x sinxcosx1，xR.13（1 ）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2 ）该函数的图象可由 ysin x（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 ?图 4141431.解：（1 ）y cos2x sinxcosx13 （2cos 2x1） （2sinxcosx ）144 cos2x sin2x35 （cos2x sin sin2 xcos ）216645 sin（2x ） 45y 取得最大值必须且只需 2x 2 k ，kZ，6即 x k ，k Z .6所以当函数 y 取得最大值时，自变量 x 的集合为x| x k ，k Z.6（2 ）将函数 ysin x 依次进行如下变换：把函数 ysinx 的图象向左平移 ，得到函数 ysin （x ）的图象；6把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数21ysin（2x ）的图象；6把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数21y sin（2x ）的图象；16把得到的图象向上平移 个单位长度，得到函数 y sin（2x ） 的图象；45164515综上得到函数 y cos2x sinxcosx1 的图象.13评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.32.（ 2000 全国文，17）已知函数 y sinxcosx，xR .3（1 ）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2 ）该函数的图象可由 ysin x（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 ?32.解：（1 ）y sinxcos x2（sinx cos cosx sin ）2sin（x ） ，xR366y 取得最大值必须且只需 x 2k ，kZ ，即 x 2k ，k Z .3所以，当函数 y 取得最大值时，自变量 x 的集合为x| x 2k ，kZ 3（2 ）变换的步骤是：把函数 ysinx 的图象向左平移 ，得到函数 ysin （x ）的图象；66令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数y2sin（x ）的图象；6经过这样的变换就得到函数 y sinxcosx 的图象.3评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.33.（ 1995 全国理，22）求 sin220cos 250sin20cos50的值.33.解：原式 （1cos40） （1 cos100 ） （sin70sin30）211 （cos100cos40 ） sin70224 sin70 sin30 sin7043116 sin70 sin70 .432143评述：本题考查三角恒等式和运算能力.34.（ 1994 上海，21）已知 sin ， （ ， ） ，tan（ ） ，53221求 tan（ 2 ）的值.34.解：由题设 sin ， （ ， ） ，可知 cos ，tan 543又因 tan（ ） ，tan ，所以 tan2 21 34tan12tan（ 2 ） 24713tan1t 35.（ 1994 全国理，22）已知函数 f（x）=tanx ，x（0， ） ，若 x1、x 2（0 ， ） ，且x1x 2，证明 f（x 1）f（x 2） f（ ）.2135.证明：tanx 1tan x2 2121 cosinsincoisinxx21cos)in()s()(i2121x因为 x1，x 2（0， ） ，x 1x 2，所以 2sin（x 1 x2）0 ，cosx 1cosx20 ，且 0cos（x 1 x2）1 ，从而有 0cos（x 1x 2）cos（x 1x 2）1cos（x 1x 2） ，由此得 tanx1tanx 2 ，)cos(in21所以 （tanx 1tanx 2）tan x17即 f（x 1）f （x 2） f（ ）.221x36.已知函数 12()log(sinc)f x求它的定义域和值域； 求它的单调区间；判断它的奇偶性； 判断它的