高中数学学业水平测试必修1复习课件

知识网络 集合 映射 方程 子集、空集、全集 交集、并集、补集 反函数 函数 基本函数 图象 性质 不等式 y 0 y 0 1、集合的概念： (1)把一些确定的对象看成一个整体，就形成一个集合 素与集合的关系用 或 表示 . (2)集合分为：有限集、无限集、空集 . (3)集合的三大特性：确定性、互异性、无序性 . (4)集合可用列举法、描述法、图示法表示 . (5)注意 N、 Z、 Q、 Q+、 R、 R+等所表示的数集 . 2、集合之间的关系 性质： 若 ， 则 A A C B C A B A A A B (2)若 ，且至少有一个 x B，但 x A，集合 的真子集 或 . A B A B (3)若 且 ，那么这两个集合相等 为 A B. B A A B A C B C A A B 性质： 若 A则 ； 若 ， ，则 (1)子集：若 x A，则 x B，集合 的子集 或 A 方法小结 1、明确集合中元素的确定性、互异性和无序性，并注意此性质在解题中的应用 . 2、熟练掌握集合图形表示（韦恩图）、数轴表示等基本方法 . 3、理解集合的基本概念、相互关系、术语符号等，能正确地表示出一些较简单的集合 . 4、空集 是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题中，若未指明集合非空时要考虑到空集的可能性 . 5、常用的集合元素： 对于集合 A=x|x2+x 1=0中， 对于集合 A=x|x+13 x中， 对于集合 A=y|y=2x+5中， 对于集合 A=(x,y)|y=2x+5中， 为抛物线上所有点组成的集合 . 6、识记以下重要的结论： A B A B AB=A ， A B=B AB=A B A B=AB ， 1、交集： AB=x|x A且 x B 2、并集： A B=x|x A或 x B 3、全集：在研究集合与集合之间的关系时这些集合都是某个集合的子集，这个给定的集合叫做全集 . 4、补集： A=x|x I 且 x A 性质： AA=A， A=， AB=BA 性质： A A=A， A =A， A B=B A 性质： A A=I， A A = , A=A 方法小结 解集合问题的基本思路是：读懂集合，弄清关系，依据概念，结合图形，分步解决： 1、对于集合问题，要首先确定属于哪一类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法 . 2、关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行运算 . 3、含参数的集合问题，多根据集合的互异性来处理有时需进行讨论 . 4、集合的问题常与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通 . 1 1、映射：对于集合 A、 B，存在某种对应法则 f，使得集合 中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合 的映射，记为 f： AB 2、函数： (1)在某种变化过程中存在两个变量 x， y，并且对于 照某个对应法则， 么 (2)设 A、 么 的映射 f：AB 就叫做 的函数，记作 y=f(x) 3、函数的“三要素”：对应法则、定义域、值域 要素”完全相同的两个函数才是同一函数 . 方法小结 1、理解映射的概念 A、 此对应是“一对一或多对一” . 2、理解函数与映射的关系 要素”是对应法则、定义域、值域 要素”完全相同的两个函数才是同一函数 . 3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数 . 4、若 y是 y=f(u)，u=g(x)， x (a， b)， u (m， n)，那么 y=f(g(x)，叫做 f和 3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集 . 2、求函数的定义域的主要依据是：分式的分母不为 0；偶次方根的被开方数非负；对数的真数大于 0；指数、对数函数的底数大于 0且不等于1；指数为 0或负数时，底数不为 0；实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义 . 1、函数的定义域是指自变量的取值范围 . 方法小结 1、求解函数的定义域实际上是转化为求解不等式或不等式组 . 2、已知 f(x)的定义域为 D，求 fg(x)的定义域时，可令 g(x) ，即为fg(x)的定义域；已知 fg(x)的定义域为 D，求 f(x)定义域时，可先由 x D，求出 g(x) 的范围 C，即为 f(x)定义域 . 函数的值域就是在对应法则 变量 方法小结 1、求函数值域的常用方法有： 配方法：求形如 F(x)=x)+bf(x)+要注意 f(x)的取值范围对值域的影响 . 真分式法 :求式函数 f(x)= 形函数的值域， 如 f(x)= 转化为 f(x)=1 求值域 ; 2x 1 2x 3 b d 5 x 3 反函数法 :求式函数 f(x)= 形函数的值域，均可使用反函数法 . b d 判别式法：把函数转化成关于 (x,y)=0,通过方程有实根 ,判别式 0,从而求得原函数的值域 . 形如 y= (a1,)的函数的值域 常用此法但要注意函数的定义域不是 c2 单调性法 :利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域 . 换元法 :运用代数或三角代换 ,将所给函数化成值域容易求出的另一类函数 3、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要告自己积累经验，掌握规律 . 2、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用 . 不等式法 :利用基本不等式求函数值域 ,但要注意其使用的条件“一正、二定、三相等” . 数形结合法 :利用函数所表示的几何意义 ,借助于几何方法求出函数值域 . 1、定义：如果对于函数 f(x)的定义域内的任一个 x,都有 f( x)= f(x)(或 f( x)= f(x)），那么 f(x)是偶函数（或奇函数） . 2、图象特征：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 3、奇偶函数的定义域一定关于原点对称 . 4、函数可分为：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数（ f(x) = 0） . 方法小结 1、判断函数的奇偶性必须先考虑定义域是否关于原点对称 . 2、函数奇偶性的可用如下变形判定： 奇函数： f( x) + f(x)=0 或 f( x) f(x) = 1 偶函数： f( x) f(x)=0 或 f( x) f(x) = 1 3、求函数中字母参数满足什么条件能使函数是奇函数或偶函数的方法有：根据恒等式性质，利用待定系数法；利用特殊值法 x=0时有意义必有 f(0)=0. （ f(x)0） 几何意义：增（减）函数图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零 . 3、熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性 . 两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减） 函数；奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性； y=f(x)与 y= f(x)有相反的单调性；当 y=f(x)恒为正或恒为负时， y=f(x)与 y=1/f(x)有相反的单调性 . 4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处： 1、定义：设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量 有 f( f(（ f( f(），那么就说 f(x)在这个区间上是增（减）函数 . 2、注意定义的变形：设 a， b f( f( 0或 ( f( f( 0 f(x)为增函数 f( f( 0或 ( f( f( 0 f(x)为减函数 方法小结 1、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减 . 2、根据定义证明函数单调性的方法： 设 A，且设 作差： f( f(并变形（分解、配方、通分等）；判断差的符号，并作结论 . 3、复合函数单调性的判断方法：设 y=f(u)， u=g(x)，x (a,b),u (m,n)，都是单调函数，则 y=f(g(x)在 a,b上也是单调函数 .若 y=f(u)是 (m , n)上的增（减）函数，则 y=f(g(x)的增减性与 u=g(x)的增减性相同（相反） 增、同减为增，一增一减为减” . 正、反比例函数、一次、二次函数 1、正比例函数： y=k0） x y o k 0 x y o k 0 图象 性质 :1、定义域为 R； 2、值域为 R； 3、是奇函数； 4、单调性： k 0时为增函数 , K 0时为减函数 . 图象 2、反比例函数： y= （ k0） k x x y o k 0 x y o k 0 性质 : 1、定义域： ( ,0) (0, ); 2、值域： ( ,0) (0, )； 3、是奇函数； 4、 k 0时，在 ( ,0)或 (0, ) 上是增函数； k 0在 ( ,0)或 (0, ) 上是减函数 . 3、一次函数： y=b（ k0） x y o k 0 x y o k 0 图象 性质 : 1、定义域为 R； 2、值域为 R； 3、 b=0是奇函数； b0时为非奇非偶函数； 4、 k 0时为增函数 , K 0时为减函数 . 4、二次函数： y=bx+c（ a0） o x y 4、图象开口往上，对称轴为 x= ，有最小值， 在（ ， 为减函数，在 ， +)为增函数 . b 2a b 2a b 2a 4a 性质： 1、定义域： R； 2、值域： ， +); 3、当 b=0时为偶函数，当 b0时为非奇非偶函数 . a 0时的图象与性质 o x y 4、图象开口往下，对称轴为 x= ，有最大值， 在（ ， 为增函数，在 ， +)为减函数 . b 2a b 2a b 2a 4a 性质： 1、定义域： R； 2、值域：（ ， ; 3、当 b=0时为偶函数，当 b0时为非奇非偶函数 . a 0时的图象与性质 0 0 =0 图象 x x1=x2 y o x x1 x2 y o y x o bx+c=0 (a0) bx+c0 (a0) bx+x= x=x2 x= b 2a x|x|时，函数 y=f(x)在区间（ a， b）内一定没有零点吗？ 思考 3:如果函数 y=f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)f(b) 0时，函数 y=f(x)在区间（ a， b）有多少个零点呢？ 思考 1:如果函数 y=f(x)在区间 a， b上的图象是间断的，上述原理适应吗？ 用二分法求方程的近似解 . . . . . . . . . x 0 2 4 6 10 5 y 2 4 10 8 6 12 14 8 7 6 4 3 2 1 9 ( ) l n 2 6f x x x f(2)f(3)0 l n 2 6 0 区 间 (a,b) 中点的值 c f(c)近似值 |精确度 （ 2， 3） 求方程 的近似解 （ 3） （ （ （ （ （ （ 1 1 二分法 ： 对于在区间 a， b上连续不断且 f(a) f(b)0的函数 y=f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 . 一、定义 1、 确定区间 a， b，验证 f(a) f(b)0，给定精确度 ； 2、求区间（ a， b）的中点 c； 3、计算 f(c)； （ 1）若 f(c)=0，则 （ 2）若 f(a) f(c)0，则令 b=c(此时零点 )； （ 3）若 f(c) f(b)0，则令 a=c(此时零点 ). 4、判断是否达到精确度 ：即若 ， 则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复 24. 0 ( , )x a c0 ( , )x c b二、给定精确度 ，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下： 例 1、如图，有一块半径为 划剪成等腰梯形 的下底 底 写出这个梯形周长 求出它的定义域 . 分析：周长（ y） =2D+2x+B 关键是如何把 F=A B C D O E F 要求 在三角形 22 22 A E R A 从而有 y=2x+（ 2 ） +2R 即 y= - +2x+4R （ 0xR） 2 函数应用举例 解决应用性问题的思路和方法，我们 可以用示意图表示为： 分析、联系、 抽象、转化 建立数学模型 （列数学关系式） 数学方法 数学结果 实际结果 回答问题 解决应用性问题的关键是读题 懂题 建立数学关系式 . 实际问题 例 2