重庆市南开中学2015-2016年八年级下期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 28 页） 2015年重庆市南开中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、 B、 C、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内 1要使分式 的值为 0，则 x 的值为（ ） A x=1 B x=2 C x= 1 D x= 2 2下列说法正确的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B对角线相等的四边形是矩形 C三条边相等的四边形 是菱形 D三个角是直角的四边形是矩形 3运用分式的性质，下列计算正确的是（ ） A B C D 4一个凸五边形的内角和为（ ） A 360 B 540 C 720 D 900 5根据下列表格对应值，判断关于 x 的方程 bx+c=0（ a 0）的一个解 x 的取值 范围为（ ） x .4 bx+c x x x x 用配方法解方程 x 15=0 时，原方程应变形为（ ） A（ x+3） 2=24 B（ x 3） 2=6 C（ x+3） 2=6 D（ x 3） 2=24 7临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为 4000 元出发时，乙厂有 3 名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到 x 名如果 包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少多少元？则根据题意可列代数式为（ ） 第 2 页（共 28 页） A B C D 8如图，平行四边形 ， 平分线交 E， 55，则 A 的度数为（ ） A 155 B 130 C 125 D 110 9若关于 x 的一元二次方程（ a 1） 2x+2=0 有实数根，则整数 a 的最大值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 10如图，矩形 ，对角线 交于点 O，过点 O 作 已知 ， 面积为 ，则 长为（ ） A B 2 C 11平移小菱形可以得到美丽的 “中国结 ”图案，如图 由 2 个小菱形组成，图 由 8 个小菱形组成，图 由 18 个小菱形组成， ，照图中规律，则第 个图案中，小菱形的个数为（ ） A 76 B 84 C 98 D 102 12如图，在正方形 ， E 是对角线 一点，且满足 C连接 页（共 28 页） 并延长交 点 F，连接 B 点作 点 G，延长 点 H在下列结论中： F； 5； S 四边形 其中正确的结论有（ ） A B C D 二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上 13要使分式 有意义，则 x 的取值范围为 14若一元二次方程 2016=0 有一根为 x= 1，则 a+b= 15如图，在矩形 ，对角线 交于点 O，点 E、 F 分别是 D 的中点，若 16关于 x 的分式方程 有增根，则 m= 17已知等腰 一边长 c=3，另两边长 a、 b 恰是关于 x 的方程 2k+1）x+4（ k ） =0 的两个根，求 周长 18如图， E 为正方形 一点， E=3， 5，则 长为 第 4 页（共 28 页） 三、解答题：（本题共 3 小题， 19 题 10 分， 20 题 10 分， 21 题 10 分，共 30 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 19化简： （ 1） （ 2） 20解方程： （ 1） （ 2） 24x+1=0 21先化简，再求值： （ m+1），其中 m 是方程 x 3=0 的根 四、解答题：（本题共 5 小题， 22 题 8 分， 23 题 10 分， 24 题 8 分， 25 题 10 分，26 题 12 分，共 48 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 22如图，在平行四边形 ， E、 F 为对角线 两点，且满足 E，连接 证：四边形 平行四边形 23今年 3 月 20 日， “2016 重庆国际马拉松赛 ”在南滨路如期举行，马拉松爱好者张老师作为业余组选手也参与了此次马拉松全程比赛专业组选手上午 8 点准时出发， 30 分钟后张老师出发；在冠军选手到达终点一个半小时后，张老师抵第 5 页（共 28 页） 达终点已知马拉松全程约为 42 千米，张老师的平均速度是冠军选手的 （ 1）求冠军选手和张老师的平均速度分别为多少？ （ 2）若明年张老师参加马拉松比赛的起跑时间不变，他计划不超过中午十一点抵达终点，则张老师今年必须加强跑步锻炼， 使明年参加比赛时的平均速度至少比今年的平均速度提高百分之多少才能完成计划？ 24观察下列方程及其解的特征： x+ 的解为 ， ； x+ 的解为 ， ； x+ 的解为 ， ； 解答下列问题： （ 1）根据解的特征，猜测方程 x+ 的解为 ，并写出解答过程； （ 2）直接写出关于 x 的分式方程 2x+ 的解为 25菱形 ，点 P 为 一点，连接 （ 1）如图 1，若 形 长为 10， ，连接 长 （ 2）如图 2，连接对角线 交于点 O，点 N 为 中点，过 P 作 M，连接 判断 形状，并说明理由 26如图 ，矩形 边 别在坐标轴上，点 B 在第二象限，且点B 的横、纵坐标是一元二次方程 m2+m 12=0 的两个实数根把矩形 直线 叠，使点 C 落在 上的点 F 处，点 E 在 上 （ 1）直接填空： B（ ， ）， F（ ， ）； （ 2）如图 ，若 该位置开始，以固定的速度沿 x 轴水平向右移动，直到点 C 与原点 O 重合时停止记 移后为 BCE， BCE与四 边形 页（共 28 页） 重叠部分的面积为 S，请求出面积 S 与平移距离 t 之间的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围； （ 3）如图 ，设点 G 为 点，若点 M 在直线 ，点 N 在 y 轴上，是否存在这样的点 M，使得以 M、 N、 B、 G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 28 页） 2015年重庆市南开中学八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都 给出了代号为 A、 B、 C、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内 1要使分式 的值为 0，则 x 的值为（ ） A x=1 B x=2 C x= 1 D x= 2 【考点】 分式的值为零的条件 【分析】 根据分式值为零的条件可得 x+1=0，且 x 2 0，再解即可 【解答】 解：由题意得： x+1=0，且 x 2 0， 解得： x= 1， 故选： C 2下列说法正确的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B对角 线相等的四边形是矩形 C三条边相等的四边形是菱形 D三个角是直角的四边形是矩形 【考点】 矩形的判定；菱形的判定 【分析】 由矩形和菱形的判定方法得出选项 A、 B、 C 错误，选项 D 正确 【解答】 解： A、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 选项 A 错误； B、 对角线互相平分且相等的四边形是矩形， 选项 B 错误； C、 四条边相等的四边形是菱形， 第 8 页（共 28 页） 选项 C 错误； D、 三个角是直角的四边形是矩形， 选项 D 正确； 故选： D 3运用分式的性质，下列计算正确的是（ ） A B C D 【考点】 分式的基本性质 【分析】 根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个整式，分式的值不变，可得答案 【解答】 解： A、分子分母都除以 A 错误； B、分子分母都除以（ x+y），故 B 错误； C、分子分母都减 x，分式的值发生变化，故 C 错误； D、分子分母都除以（ x y），故 D 正确； 故选： D 4一个凸五边形的内角和为（ ） A 360 B 540 C 720 D 900 【考点】 多边形内角与外角 【分析】 利用多边形的内角和：（ n 2） 180进行计算即可 【解答】 解：根据正多边形内角和公式： 180 （ 5 2） =540， 故选 B 5根据下列表格对应值，判断关于 x 的方程 bx+c=0（ a 0）的一个解 x 的取值范围为（ ） x .4 bx+c x x x x 9 页（共 28 页） 【考点】 估算一元二次方程的近似解 【分析】 仔细看表，可发现 y 的值 接近 0，再看对应的 x 的值即可得出答案 【解答】 解：由表可以看出，当 x 取 间的某个数时， y=0，即这个数是 bx+c=0 的一个根 则 bx+c=0 的一个解 x 的取值范围为 x 故选 B 6用配方法解方程 x 15=0 时，原方程应变形为（ ） A（ x+3） 2=24 B（ x 3） 2=6 C（ x+3） 2=6 D（ x 3） 2=24 【考点】 解一元二次方程配方法 【分析】 把常数项 15 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 6 的一半的平方 【解答】 解：移项得， x=15， 配方得， x+9=15+9， 即（ x+3） 2=24， 故选 A 7临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为 4000 元出发时，乙厂有 3 名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到 x 名如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少多少元？则根据题意可列代数式为（ ） A B C D 【考点】 由实际问题抽象出分式方程；分式的加减法 【分析】 关键描述语是：原有的员工每人分担的车费实际每人分担的车费，进而得出答案 【解答】 解：由题意可得： 第 10 页（共 28 页） 故选： D 8如图，平行四边形 ， 平分线交 E， 55，则 A 的度数为（ ） A 155 B 130 C 125 D 110 【考点】 平行四边形的性质 【分析】 由平行四边形的性质得出 角平分线的定义和邻补角关系得出 80 5，再由三角形内角和定理即可得出 A 的度数 【解答】 解： 四边形 平行四边形， 平分线交 E， 55， 80 5， A=180 30 故选： B 9若关于 x 的一元二次方程（ a 1） 2x+2=0 有实数根，则整数 a 的最大值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 根的判别式 【分析】 由一元二次方程（ a 1） 2x+2=0 有实数根，则 a 1 0，即 a 1，且 0，即 =（ 2） 2 8（ a 1） =12 8a 0，然后解两个不等式得到 a 的取值范围，继 而可得整数 a 的最大值 【解答】 解： 一元二次方程（ a 1） 2x+2=0 有实数根， 第 11 页（共 28 页） a 1 0 即 a 1，且 0，即有 =（ 2） 2 8（ a 1） =12 8a 0，解得 a ， a 的取值范围是 a 且 a 1 则整数 a 的最大值为 0， 故选： A 10如图，矩形 ，对角线 交于点 O，过点 O 作 已知 ， 面积为 ，则 长为（ ） A B 2 C 【考点】 矩形的性质 【分析】 首先连接 题意可得 对角线 垂直平分线，可得 E，S ，由三角形的面积则可求得 长，得出 长，然后由勾股定理求得答案 【 解答】 解：连接 图所示： 由题意可得， 对角线 垂直平分线， E， S ， S S B= ， 又 ， ， 在 ，由勾股定理得： = = 第 12 页（共 28 页） 故选： C 11平移小菱形可以得到美丽的 “中国结 ”图案，如图 由 2 个小菱形组成，图 由 8 个小菱形组成，图 由 18 个小菱形组成， ，照图中规律，则第 个图案中，小菱形的个数为（ ） A 76 B 84 C 98 D 102 【考点】 利用平移设计图案；规律型：图形的变化类 【分析】 细观察图形发现第一个图形有 2 12=2 个小菱形；第二个图形有 2 22=8个小菱形；第三个图形有 2 32=18 个小菱形；由此规律得到通项公式，然后代入 n=7 即可求得答案 【解答】 解：解：第一个图形有 2 12=2 个小菱形； 第二个图形有 2 22=8 个小菱形； 第三个图形有 2 32=18 个小菱形； 第 n 个图形有 2小菱形； 第 7 个图形有 2 72=98 个小菱形； 故选： C 12如图，在正方形 ， E 是对角线 一点，且满足 C连接 3 页（共 28 页） 并延长交 点 F，连接 B 点作 点 G，延长 点 H在下列结论中： F； 5； S 四边形 其中正确的结论有（ ） A B C D 【考点】 四边形综合题 【分析】 先判断出 判断 出 判断出 而得到 正确，根据三角形的外角求出 5，得出 正确；连接 断出 S S 出 错误 【解答】 解： 正方形 对角线， 5， C， C， E， 线段 垂直平分线， 在 ， 0 0， 在 ， 第 14 页（共 28 页） 在 ， F， 5，故 正确； 如图，连接 直平分线， G， S E， 5， 5， 0， 5， D， 等腰直角三角形， 垂直 S S S 四边形 S 错误， 正确的是 ， 故选 B 第 15 页（共 28 页） 二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上 13要使分式 有意义，则 x 的取值范围为 x 3 【考点】 分式有意义的条件 【分析】 根据分式有意义，分母不等于 0 列不等式求解即可 【解答】 解：由题意得， x+3 0， 解得 x 3 故答案为： x 3 14若一元二次方程 2016=0 有一根为 x= 1，则 a+b= 2016 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 由方程有一根为 1，将 x= 1 代入方程，整理后即可得到 a+b 的值 【解答】 解：把 x= 1 代入一元二次方程 2016=0 得： a+b 2016=0， 即 a+b=2016 故答案是： 2016 15如图，在矩形 ，对角线 交于点 O，点 E、 F 分别是 D 的中点，若 2.5 【考点】 矩形的性质；三角形中位线定理 【分析】 根据勾股定理求出 据矩形性质得出 0， C， D，求出 据三角形中位线求出即可 【解答】 解： 四边形 矩形， 0， C， D， 由勾股定理得： C= =10（ 第 16 页（共 28 页） 点 E、 F 分别是 中点， 故答案为： 16关于 x 的分式方程 有增根，则 m= 3 【考点】 分式方程的增根 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，由分式 方程有增根，求出 x 的值，代入整式方程求出 m 的值即可 【解答】 解：去分母得： 2x 4+1 m= x， 由分式方程有增根，得到 x 2=0，即 x=2， 把 x=2 代入整式方程得： 1 m= 2， 解得： m=3， 故答案为： 3 17已知等腰 一边长 c=3，另两边长 a、 b 恰是关于 x 的方程 2k+1）x+4（ k ） =0 的两个根，求 周长 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 根据等腰三角形的性质分两种情况： a=b， c=3； b=c 讨论 解答即可 【解答】 解：（ 1）若 c 为底边，则 a=b，故原方程有两个相等的实数根， 则 （ 2k+1） 2 4 4（ k ） =0， 解答： k= ， 当 k= 时，原方程为 4x+4=0 则 x1=，即 a=b=2， 周长为 7 （ 2）若 c=3 为腰，可设 a 为底，则 b=c=3 b 为原方程的根， 第 17 页（共 28 页） 所以将 b=3 代入原方程得 32 3（ 2k+1） +4（ k ） =0， 解得： k=2， 当 k=2 时，原方程为 5x+6=0， 解得： x=2 或 3， 即 a=2， b=3， 周长为 8 18如图， E 为正方形 一点， E=3， 5，则 长为 3 【考点】 正方形的性质 【分析】 过点 E 作 F，交 G，作 垂直平分线交 点 O，则点 O 是 外心， DG=a，则 D= a， a， BF=a，在 ，利用勾股定理求出 在 ，利用勾股定理求出 可 【解答】 解：过点 E 作 F，交 G，作 垂直平分线交 点O，则点 O 是 外心， 0， D= G= DG=a，则 D= a， a， BF=a， 在 ， 9=（ a+ a） 2+得 ， = = =3 第 18 页（共 28 页） 故答案为 3 三、解答题：（本题共 3 小题， 19 题 10 分， 20 题 10 分， 21 题 10 分，共 30 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 19化简： （ 1） （ 2） 【考点】 分式的混合运算 【分析】 （ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果 【解答】 解：（ 1）原式 = = =x+y； （ 2）原式 = = 20解方程： （ 1） （ 2） 24x+1=0 【考点】 解一元二次方程公式法；解分式方程 【分析】 （ 1）先去分母，再解一元一次方程即可； （ 2） 用公式法解一元二次方程即可 【解答】 解：（ 1）去分母得， x（ x+2） 8=4， 整理得， 2x 8= 4， 解得 x=2， 检验把 x=2 代入 4=0， x=2 不是原方程的解， 原方程无解； （ 2） a=2， b= 4， c=1， =4 4） 2 4 2 1=16 8=8 0， 第 19 页（共 28 页） 原方程有两个不等的实数根， x= = = ， ， 21先化简，再求值： （ m+1），其中 m 是方程 x 3=0 的根 【考点】 分式的化简求值 【分析】 先算括号里面的式的减法，再算除法，根据 m 是方程 x 3=0 的根得出 m=3，代入原式进行计算即可 【解答】 解：根据题意知， m 3=0， m=3， 原式 = （ ） = = = = = = 1 四、解答题：（本题共 5 小题， 22 题 8 分， 23 题 10 分， 24 题 8 分， 25 题 10 分，26 题 12 分，共 48 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 22如图，在平行四边形 ， E、 F 为对角线 两点，且满足 E，连接 证：四边形 平行四边形 第 20 页（共 28 页） 【考点】 平行四边形的判定与性质 【分析】 连接 O，因为 以 C， D，再得出 F，所以 F，根据平行四边形的判定可知：四边形 平行四边形 【解答】 证明：连接 O， 四边形 平行四边形， C， D E， E F， C， F 四边形 平行四边形 23今年 3 月 20 日， “2016 重庆国际马拉松赛 ”在南滨路如期举行， 马拉松爱好者张老师作为业余组选手也参与了此次马拉松全程比赛专业组选手上午 8 点准时出发， 30 分钟后张老师出发；在冠军选手到达终点一个半小时后，张老师抵达终点已知马拉松全程约为 42 千米，张老师的平均速度是冠军选手的 （ 1）求冠军选手和张老师的平均速度分别为多少？ （ 2）若明年张老师参加马拉松比赛的起跑时间不变，他计划不超过中午十一点抵达终点，则张老师今年必须加强跑步锻炼，使明年参加比赛时的平均速度至少比今年的平均速度提高百分之多少才能完成计划？ 【考 点】 分式方程的应用；一元一次不等式的应用 【分析】 （ 1）根据题意可以列出相应的方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题； （ 2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题 【解答】 解：（ 1）设冠军选手的速度为 x 千米 /时， 第 21 页（共 28 页） ， 解得， x=21， 经检验 x=21 是原分式方程的解， ， 即冠军选手的速度是 21 千米 /时，张老师的平均速度是 14 千米 /时； （ 2）设张老师明年参加比赛时的平均速度比 今年的平均速度提高 x%， ， 解得， x 25， 即张老师明年参加比赛时的平均速度至少比今年的平均速度提高 25%，才能完成计划 24观察下列方程及其解的特征： x+ 的解为 ， ； x+ 的解为 ， ； x+ 的解为 ， ； 解答下列问题： （ 1）根据解的特征，猜测方程 x+ 的解为 2， ，并写出解答过程； （ 2）直接写出关于 x 的分式方程 2x+ 的解为 ， 【考点】 解分式方程 【分析】 （ 1）根据给出方程及解的特点，得到规律；首先把给出方程转化成类似方程，然后写出其解； （ 2）把给出的方程化简，利用整体的思想，转化为类似方程的形式并计算它的解 第 22 页（共 28 页） 【解答】 解：（ 1）方程 x+ = 的解为 2， 因为方程 x+ = 可方程变形为 x+ = 2 ， 根据此类方程解的特点，其解为 2， ； 故答案为： 2， ； （ 2）方程整理得： 2x+ =a+5+ ， 移项，得 2x 5+ =a+ 2x 5=a 或 2x 5= 解得： ， + 故答案为： ， + 25菱形 ，点 P 为 一点，连接 （ 1）如图 1，若 形 长为 10， ，连接 长 （ 2）如图 2，连接对角线 交于点 O，点 N 为 中点，过 P 作 M，连接 判断 形状，并说明理由 【考点】 菱形的性质 【分析】 （ 1）在 利用勾股定理求出 利用勾股定理求出 可 （ 2）如图 2 中，延长 E先证明 E，再利用三角形中位线定理证明 可 【解答】 解：（ 1）如图 1 中， 四边形 菱形， C=D=10， 23 页（共 28 页） ， ， 0， 在 ， 0， 0， = =8， 在 ， 0， 0， ， = =2 （ 2） 等腰三角形 理由：如图 2 中，延长 E 四边形 菱形， D， = ， E， E， E， E， B， D， P， N， 等腰三角形 第 24 页（共 28 页） 26如图 ，矩形 边 别在坐标轴上，点 B 在第二象限，且点B 的横、纵坐标是一元二次方程 m2+m 12=0 的两个实数根把矩形 直线 叠，使点 C 落在 上的点 F 处，点 E 在 上 （ 1）直接填空： B（ 4 ， 3 ）， F（ 1 ， 3 ）； （ 2）如图 ，若 该位置开始，以固定的速度沿 x 轴水平向右移动，直到点 C 与原点 O 重合时停止记 移后为 BCE，