第1章_函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续一、 基本内容（一）函数1. 函数的定义设变量 在某个实数集 中取定一数值时,另一变量 按照一定的规则总有一确定xDy的数值与其对应，则称 是 的函数.记为 .称 为自变量， 为因变量，实数yx)(xfyy集 为定义域.D2. 函数的几种特性(1)单调性 (2)有界性(3)奇偶性(4)周期性3. 反函数在函数 中，若将 当作自变量， 当作因变量，则由 确定的函数)(xfyyx)(xfy称为 的反函数.)(x4. 复合函数若 是 的函数 ， ，而 又是 的函数， ， ，且u)(uf1Du)(u2D，则函数 称为由函数 和12)(,xDDxfy),()(ufy复合而成的复合函数，称 为中间变量.)(5. 初等函数幂函数、指数函数、三角函数以及它们的反函数都称为基本初等函数.有常数和基本初等函数经有限复合步骤所形成的，并且可用一个式子表示的函数称为初等函数.（二）极限1. 极限的定义(1)设数列 与常数 有如下关系：对任意给定的正数 ，总存在正整数 ，当 时，nxaNn有 成立，则称数列 收敛于 ，记作 .an nxaaxnlim(2)对任意给定的正数 ，总存在正数 ，当 时， 成立，则称0Axf)(当 时以 为极限，记作 .)(xf0AAfx)(li0(3)对任意给定的正数 ，总存在正数 ，当 时， 成立，则称Xf)(当 时以 为极限，记作 .)(f0 fx)(li02. 极限存在准则(1)单调有界数列必存在极限.(2)设 ， ， 为三个数列 ，若 且 ，则数列nxynz),21(nnnxzyaynnlimli的极限存在，且 .此定理称为夹逼定理. 此定理同样适应于函数的极限.zalim3.两个重要极限(1) ； (2) .1sil0x exx)1(lim4.当 时的等价无穷小量0x； ； ； ；xsinxtathxs； ； ； arcn rcex1； ； ；)1l(21)( 2co.)0(laxx（三）连续1. 函数在一点的连续性设 则称 在 点连续.)(lim00xffx)(f02. 函数的间断点的两种类型：第一类间断点和第二类间断点.3. 初等函数的连续性设 是定义在 上的初等函数，则 在 上连续.)(fI)(xfI4. 闭区间上连续函数的性质设 在 上连续，则有x,ba(1)最值定理 在 上必有最大值和最小值.)(xf,ba(2)介值定理 设 在 上的最小值和最大值分别为 与 ， 是介于 与 之mMcm间的任一确定的数，则在 内至少有一点 ，使 .,cf)(二、练习题1.1 求 f(x)的定义域:(1) ；)ln1()xxf(2) .)34(22x解：(1) (0,2) (2) 2,41.2 设 则 f(-x)=_0,)(2xxf解： )(2f1.3 求 f(x)的反函数 及其定义域 :)(x(1) ；(2) ；exf1)( xf1(3) 0,2xf解：(1) )1,(1ln)(x(2) ),1(),(1)( xx(3) x21.4 设在（ ）上 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且 f(x)与 g(x)都不恒为零，试确定下列函数的奇偶性：(1) ；(2) fg(x)； (3)ff(x)；)(xgf解：(1)奇函数 (2)偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 (5)奇函数1.5 下列函数是否为周期函数，若是则求出周期:(1) ；(2) ； (3) ；(4)32sin(xx2cosxtanxsi解：(1)是周期为 的周期函数 (2)是周期为 的周期函数4(3)不是周期函数 (4)是周期为 的周期函数1.6 f(x)是以 2 位周期的周期函数.且又是偶函数，若已知在0，1上 ，xf2)(则 ._)5(f解： 由已知条件得 431)2()214()52( ffff1.7 设 f(x)在0，1上为单增函数，且 .1)(;0)(;)(;)0(ffffg(x)时 f(x)的反函数.则 g(1)-g(0)的值应是多少？解：由已知条件， 也是-2,1上的单调增函数)(xg0221)3)0(g1)(g3)(11.8 检验下列函数在指定区间是否为单调函数：(1) ；)(,21xeyx(2) ；0(3) ；xy,sin(4) 解：(1)单调增函数 (2)单调增函数 (3)不是单调函数 (4)单调减函数1.9 用 的极限定义，叙述下列极限：,XN(1) ；(2) (3) .1limnx3)(lixfx 4)(lim0xfx解：(1) 对任意给定的 ，存在正整数0N使得当 时，N1n(2) 对任意给定的 ，存在正整数 M使得当 时，Mx3)(xf(3)对任意给定的 ，存在 使得00时， 4f1.10 设数列 单减，数列 单增，且 ，证明这两个数列均nxny0)(limnxy收敛，且 .nylimli证明： 由于已知 单调减少，所以n 1n又由于 ，则在0)(lix nyxz即存在 M0 使得 即znMnyn n由于 单调递增，所以 )1(1yn故 ，即：nx1 xn所以， 是有界的.nx由单调有界原理， 是收敛的n同理可以证明 有界 是收敛的yny由于 ，再由数列极限的四则运算0)(limnnxlilin即 nnyli1.11 求下列极限:(1) ；(2) ；1lim3n)4(1li2nn(3) ；5(4) ；2li 22n(5) ；(6) ；6813lixx1lim3x(7) ； (8) ；xcoslim2sectanli2x(9) ；(10) ；xinli0)1(li31xx(11) ； (12) ；tt321limxx102lim(13) ；)(x(14) ；(15) ；x2sin36coliexsinli(16) ；hh)(0(17) ；)1(1lim22nn(18) ； (19) ；)l(7cos30xxxxx10)36(lim(20) ； (21) ；ei lnl(in(22) ； (23) ；)1(limnna )1l(cos(li20xx(24) ； (25)cos(li0xxinlm2解：(1) 31)(1lili 231 nnn(2) 04)(lim2(3) 251lim5)(lim)5li nnnn(4) 121li 22n)(5) 826315limxx(6) 91)1)()(lilili323132131 xxxxx(7) cosinlm2cosn2xx(8) 21sec)(lim1sectanli2 xxxx(9) 231sinlmoin2i3000 xx(10) 12li)1)(1li(2 3233 xxxxx(11) 6)(23lim(li ettttt(12) 21010)()2xxx(13) 3(li(14) 2sin36colim2sin36coli xxx(15) 0lixxe(16) hhcosi)s(0(17) 21)(312lim2nn(18) 1027cos3lim)2ln(ili )1l(7cosli)1l(7cosi020 200xxxxxxxx(19) 326)(x(20) 10ln)l(imlni etetxte(21) 1)(nn(22) atatanlnlogilim)(1(23) 23)1ln(cossi3lm)1ln(cos(i3lm020 xxxx(24) 2)(li0x(25) 12sin)(sinlm)(l222n1.12 试确定下列各题中的参数 a 或 b 之值：(1) ；82li32xbax(2) ；0)1(m(3) )(li ax解：(1) (2) 4ba 1ba(3) 2ln1. 13 试确定 a,b 的值，使 f(x)在 上处处连续：),(1) .0,1si)(2xbxaf ；(2) .0,1arctn,)l()(xbf；解：(1) (2) 任 意0 2ba1.14 求下列各函数的间断点，并指出其类型：（1） ； （2） ；31)(2xf 12)(xf（3） xfsin解：(1) 是可去间断点， 为无穷型间断点12(2) 是跳跃型第一类间断点(3) 为可去间断点，其余为无穷)2,10(nx为 间 断 点 ， 其 中 时0nx型第二类间断点1.15 设 .01;,2)(1xxfx，求 ； ； ；)(lim0fx)(li0fx)(limf)(lixf解： 不存在 1x (limf1)(lim0xf1.16 设 f(x)是连续函数，求证|f(x)|也是连续函数.解：由于已知 是连续函数，则有)(f )li00xffx即对 使得当 时0)(0f)(00xfxf即 ，所以 也连续.)()lim00xffx1.17 试证方程 至少有一个小于 1 的正根.12x解：令 ， 在0,1上连续)(f)(f,则由闭区间上连续函数性质，必有00f0,f使1.18 证明 n 为奇数时，方程 至少有一个实根，其中011axxann是给定的实数.)1,2(ia提示：令 01)xaxpn然后考察 ，由连续函数的性质既得.)(lim(lip与1.19 设函数 f(x)在闭区间0 ，2a上连续，且 f(0)=f(2a),则在0，a上至少存在一点 ，使 .)()aff解：令 上 连 续在 ,0)(axFxF)2(0( f02)(2) Ffa所以 ，于是,即 (aff1.20 某种动物，现仅存一万头，因遭受人类的捕杀，每年以 10%的速率递减，经过 20年，该种动物还有多少头？ 解：该动物有 .)(13502头e测验题（一）1. 填空题：(1) 设 ，则 f(x)=_.xexf42)(2) 函数 f(x)= 的定义域为_.lg1(3) 设 在 x=0 连续，则参数 a 与 b 的关系是_0,sin)(2xbaf，(4) _xxe10lim解：(1) (2)242 10x(3) (4)-1ba2. 单项选择题：(1) 时， 是 的（）0xxcos2A.高阶无穷小 B.等价无穷小C.低阶无穷小 D.同阶非等价无穷小(2) 设 ，则 f(x)为（）2211)( xf A.奇函数 B.偶函数C.无界函数 D. )(limfx(3) 设 ，则下列命题正确的是（）0linyxA.若 发散，则 发散nB.若 无界，则 无界nC.若 有界，则 必为无穷小xnyD.若 为无穷小，则 必为无穷小n1(4) 设 0,)(,0,2)( xfxxg则 .)(xfgA. B. , ,2C. D. 0,2x0,x解： (1) (2) (3) (4) AD3.求下列极限：(1) ； nnn2221lim(2) ；)4(3) ；31coslixx(4) ；x)(lim2(5) .xxsin20解：(1) (2) 2 (3) 0 (4) 1 (5)144. 设