第1章行列式1.4行列式的展开

1.4 行列式按行行列式按行 (列列 )展开展开在在 n 阶阶元素元素一、一、 余子式余子式余下来的余下来的把把 元素元素称为称为的的 代数代数 余子式余子式第第 j 列列为元素为元素所在的所在的 第第 i 行行、阶行列式阶行列式的的 余子式余子式元素元素的的 余子式余子式去掉后去掉后 ,行列式中，行列式中，行列式的行列式的 每个元素每个元素当当 特别特别都有一个都有一个 余子式余子式元素元素 a12的的 余子式余子式元素元素 a44的的 余子式余子式因为因为 一个元素一个元素它的余子式它的余子式 的的 值值所以所以 该元素该元素 的值的值 改变改变 后，后， 一定一定 不会改变不会改变代数代数 余子式余子式 的的 值值 一定一定 不会改变不会改变不在不在 它的余子式内它的余子式内 ，为为 偶数偶数 时时和和 代数余子式代数余子式.定理定理 3那末那末第第 i行行 中中如果行列式的如果行列式的 只有元素只有元素 不不 等于等于 零零 ，乘以乘以 它的它的 代数余子式代数余子式 ， 即即这行列式这行列式 等于等于例如例如特殊情况：特殊情况： 第第 1行行 中中 只有元素只有元素 不不 等于等于 零零 ，例例 1 计算行列式计算行列式例 228页页 7（ 2） 计算解第第 n行减去第行减去第 n-1行行第第 n-1行减去第行减去第 n-2行行第第 4行减去第行减去第 3行行第第 3行减去第行减去第 2行行第第 2行减去第行减去第 1行行其中28页 7（ 3） 计算解例例 5 范德蒙范德蒙 行列式行列式证明证明 略略下面计算下面计算 4阶阶 范德蒙范德蒙 行列式行列式第第 4 行行 减去减去 倍倍第第 3 行的行的第第 3 行行 减去减去 倍倍第第 2行的行的第第 2 行行 减去减去 倍倍第第 1行的行的范德蒙范德蒙 行列式行列式计算计算 4阶阶令令 得到得到课本课本 25页页 1（ 5）的根为的根为课本课本 25页页 1（ 5） 设设27页页 2（ 6） 解解 先将第先将第 四四 行行 减去减去 第第 三三 行的行的 倍倍第第 三三 行行 减去减去 第第 二二 行的行的 a倍倍第第 二二 行行 减去减去 第第 一一 行的行的 倍倍=定理定理二、二、 行列式行列式 按按 行行 （ 列列 ）展开法则）展开法则分别分别 乘以乘以它的它的 任一行任一行它们的它们的 代数代数 余子式，余子式， 再再 相加相加行列式行列式 等于等于 的的 每个元素每个元素推论推论证证:可以为可以为 1、 x、 ai1 令令第第 i 行和第行和第 j 行相同行相同同理同理按第按第 j 行展开行展开代数代数 余子式，余子式，行列式中行列式中 它们的余子式它们的余子式 和和 代数代数 余子式余子式 不会改变不会改变等号等号 左右两边左右两边 的的 aj1相相 加加 之和之和 等于零等于零分别分别 乘以乘以第第 i 行行第第 j 行行行列式行列式表示表示 同一个数同一个数另一行另一行 的的任一行任一行 的的 元素元素第第 i 列元素列元素 第第 j 列代数余子式列代数余子式元素元素 改变改变 后，后，第第 j 行行25页页 1（ 7） 设设Aij表示表示左边左边 =0第第 4列列 的的 代数余子式代数余子式或第或第 4列列 展开展开第第 1列列 的元素的元素元素元素 aij的的 代数余子式代数余子式 ， 则则分别乘以分别乘以22页例页例 7 ,28页页 7（ 4）28页页 7(5)计算计算解解计算行列式的值计算行列式的值解解 按第一行展开按第一行展开原行列式原行列式 =解法二解法二 第二第二 行行 乘以乘以 a加到第一加到第一 行行原式原式 =第二第二 列列 乘以乘以 d加到第三加到第三 列列25页页 1（ 6） 设设 x1,x2,x3则则 行列式行列式是是 x3+px+q=0的的 三个根三个根 ，记记三、小节三、小节行列式行列式 等于等于定理定理 3推论推论那末该行列式那末该行列式 等于等于代数余子式后，代数余子式后，相加相加 之和之和 等于等于 零零第第 i行行 中中另一行另一行 的的 代数代数 余子式余子式 ，如果行列式的如果行列式的定理定理 4aij 即即它的任一行的各元素它的任一行的各元素 分别分别 乘以乘以 它们