2018北师大版高中数学必修三第3章章末综合检测三含解析

2018 北师大版高中数学必修三第 3 章章末综合检测三含解析章末综合检测(三)(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1给出下列四个命题：“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；“当 x 为某一实数时，可使 x20”是不可能事件；“明天天津市要下雨”是必然事件；“从 100 个灯泡(含有 10 个次品)中取出 5 个，5 个全是次品”是随机事件其中正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3解析：选 C.正确2从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A至少有 1 个黑球与都是红球B至少有 1 个黑球与都是黑球C至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球D恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球解析：选 D.A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件故选 D.3某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表：时间范围 1 年内 2 年内 3 年内 4 年内新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191男婴数 2 716 4 899 6 812 8 590这一地区男婴出生的概率约是( )A0.4 B0.5C0.6 D0.7解析：选 B.由表格可知，男婴出生的频率依次约为 0.49，0.54，0.50，0.50，故这一地区男婴出生的概率约为 0.5.故选 B.4某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( )A.710 B.58C.38 D.310解析：选 B.记“至少需要等待 15 秒才出现绿灯”为事件 A，则 P(A)254058.5为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13 B.12C.23 D.56解析：选 C.从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，共有 6 种选法红色和紫色的花不在同一花坛的有 4 种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为 4623.故选 C.6有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13 B.12C.23 D.34解析：选 A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有 9 个，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有 3 个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为 3913.7任取一个三位正整数 N，则对数 log2N 是一个正整数的概率是( )A.1225 B.3899C.1300 D.1450解析：选 C.三位正整数有 100999，共 900 个，而满足 log2N 为正整数的 N 有27，28，29，共 3 个，故所求事件的概率为 39001300.8在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为( )A.16 B.13C.23 D.45解析：选 C.设|AC|x cm，0x12，则|CB|(12x) cm，要使矩形面积大于 20 cm2，只要 x(12x)20，则 x212x200，2x10，所以所求概率为 P1021223，故选 C.9小明通过做游戏的方式来确定周末的活动，他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽略)，若弹珠到圆心的距离大于 12，则周末去逛公园；若弹珠到圆心的距离小于 14，则去踢足球；否则，在家看书则小明周末不在家看书的概率为( )A.12 B.16C.1316 D.512解析：选 C.由题意画出示意图，如图所示表示小明在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为 （12）2（14）2316，因此他不在家看书的概率为13161316，故选 C.10小莉与小明一起用 A，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的 A 立方体朝上的数字为 x，小明掷的 B 立方体朝上的数字为 y，来确定点 P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点 P(x，y)落在已知抛物线yx24x 上的概率为( )A.16 B.19C.112 D.118解析：选 C.根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有 6 种可能性，则(x，y)的情况有 36种，即 P 点有 36 种可能，而 yx24x(x2)24，即(x2)2y4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共 3 个，因此满足条件的概率为 336112.11如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件 A)的概率为 14，取到方片牌(事件 B)的概率是 13，则取到红色牌(事件 C)的概率和取到黑色牌(事件 D)的概率分别是( )A.712，512 B.512，712C.12，12 D.34，23解析：选 A.因为 CAB，且 A，B 不会同时发生，即 A，B 是互斥事件，所以 P(C)P(A)P(B)1413712.又 C，D 是互斥事件，且 CD 是必然事件，所以 C，D 互为对立事件，则 P(D)1P(C)1712512.12从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是( )A.110 B.310C.35 D.910解析：选 D.记 3 个红球分别为 a1，a2，a3，2 个白球分别为 b1，b2.从 3 个红球、2 个白球中任取 3 个，则所包含的基本事件有a1，a2，a3，a1，a2，b1，a1，a2，b2，a1，a3，b1，a1，a3，b2，a2，a3，b1，a2，a3，b2，a1，b1，b2，a2，b1，b2，a3，b1，b2，共 10 个由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用 A 表示“所取的 3 个球中至少有 1 个白球” ，则其对立事件 A表示“所取的 3 个球中没有白球” ，则事件 A包含的基本事件有 1 个：a1，a2，a3所以 P(A)110.故 P(A)1P(A)1110910.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13从某校高二年级的所有学生中，随机抽取 20 人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162，148，154，165，168，172，175，162，171，170，150，151，152，160，163，175，164，179，149，172.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm170.5 cm 之间的概率为_(用分数表示)解析：样本中有 8 人身高在 155.5 cm170.5 cm 之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm170.5 cm 之间的概率为 82025.答案：2514在等腰直角三角形 ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，则 AMAC 的概率是_解析：设 CACBm(m0)，则 AB2m，P(AMAC)ABACAB2mm2m122.答案：12215若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为_解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共 6 种甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共 4种所以甲，乙两人相邻而站的概率为 4623.答案：2316袋中含有大小相同的总数为 5 个的黑球、白球，若从袋中任意摸出 2 个球，至少得到1 个白球的概率是 910，则从中任意摸出 2 个球，得到的都是白球的概率为_解析：因为袋中装有大小相同的总数为 5 个的黑球、白球，若从袋中任意摸出 2 个球，共有 10 种情况，没有得到白球的概率为 110，设白球个数为 x，则黑球个数为 5x，那么，可知白球有 3 个，黑球有 2 个，因此可知从中任意摸出 2 个球，得到的都是白球的概率为310.答案：310三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)随机地排列数字 1，5，6 得到一个三位数，计算下列事件的概率(1)所得的三位数大于 400；(2)所得的三位数是偶数解：1，5，6 三个数字可以排成 156，165，516，561，615，651，共 6 个不同的三位数(1)大于 400 的三位数的个数为 4，所以 P4623.(2)三位数为偶数的有 156，516，共 2 个，所以相应的概率为 P2613.18(本小题满分 12 分)现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答试求：(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率；(2)所取的 2 道题不是同一类题的概率解：将 4 道甲类题依次编号为 1，2，3，4；2 道乙类题依次编号为 5，6.任取 2 道题，基本事件为：1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，2，3，2，4，2，5，2，6，3，4，3，5，3，6，4，5，4，6，5，6，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的(1)用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有1，2，1，3，1，4，2，3，2，4，3，4，共 6 个，所以 P(A)61525.(2)用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有1，5，1，6，2，5，2，6，3，5，3，6，4，5，4，6，共 8 个，所以 P(B)815.19(本小题满分 12 分)某河流上的一座水力发电站，每年 6 月份的发电量 y(单位：万千瓦时)与该河上游在 6 月份的降雨量 x(单位：mm)有关据统计，当 x70 时，y460；x每增加 10，y 增加 5.已知近 20 年 x 的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表：近 20 年 6 月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220频率 0.05 0.2 0.1(2)将频率视为概率，试估计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过530 万千瓦时的概率解：(1)在所给数据中，降雨量为 110 mm 的有 3 个，为 160 mm 的有 7 个，为 200 mm 的有3 个故近 20 年 6 月份降雨量频率分布表为：降雨量 70 110 140 160 200 220频率 0.05 0.15 0.2 0.35 0.15 0.1(2)由已知可得 y0.5x425，记“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”为事件 A，则 P(A)P(y530)P(x210)P(x70)P(x110)P(x220)0.050.150.10.3.因此估计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率为 0.3.20(本小题满分 12 分)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选1 人，求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人，故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)，所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P154513.(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共 15 个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共 2 个因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P215.21(本小题满分 12 分)求解下列各题：(1)在区间0，4上随机取两个整数 m，n，求关于 x 的一元二次方程 x2nxm0 有实数根的概率 P(A)；(2)在区间0，4上随机取两个数 m，n，求关于 x 的一元二次方程 x2nxm0 有实数根的概率 P(B)解：方程 x2nxm0 有实数根，则 n4m0，(1)由于 m，n0，4，且 m，n 是整数，因此列举可得 m，n 可能的取值共有 25 组又满足 n4m0 的 m，n 的取值有m0n0，m0n1，m0n2，m0n3，m0n4，m1n4，共 6 组因此，原方程有实数根的概率为 P(A)625.(2)由于 0m40n4 对应的区域(如图中正方形区域所示)面积为 16，而 n4m0(m，n0，4)表示的区域(如图中阴影部分所示)面积为 12142.因此，原方程有实数根的概率为 P(B)S 阴影 S 正方形18.22(本小题满分 12 分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台 60 名