第二章线性系统的数学模型

教学目的 ：了解建立自动控制系统数学模型的意义、掌握建立数学模型的方法教学重点 ：动态结构框图、传递函数、信号流图教学难点 ：结构图化简本章授课学时 ： 8第二章 线性系统的数学模型第一节 线性系统的时域数学模型 微分方程第三节 线性系统的复域数学模型 传递函数 第四节 结构图第五节 信号流图和梅逊增益公式的应用返回本 章 研 究 内 容数学模型 : 就是描述系统输入、输出变量以及内部其它变量之间关系的数学表达式 。数学模型静态模型动态模型外部描述（ 微分方程，适合单变量系统）内部描述（状态方程， 适合多变量系统）本章返回2.1 线性系统的时域数学模型 微分方程 线性系统特点线性定常微分方程求解列写系统微分方程的一般方法本章返回理论推导：根据各环节所遵循的物理或化学规律编写 （如力学、流体力学、电学、热学等）实验求取：根据实验数据进行整理编写 (系统辨识 ) 方法 理论推导 解析法实验求取 实验法微分方程 c(t)r(t)n(t)(1）确定系统及各环节输入、输出量。(2) 从输入端开始，按信号传递方向，根据物理或化学规律，分别编写每个元件的微分方程。(3) 联立求解，消去中间变量，经整理就可得到只含有输入、输出的系统微分方程。（ 4）标准化， 将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。 本章返回本节返回2.1.1 列写系统微分方程的一般方法例 1：编写如图 RC电路动态微分方程解： 确定输入、输出量输入： r(t) = u1 输出： c(t) = u2 列写原始微分方程u1=iR+u2 i=Cdu2/dt 消去中间变量 i得： RCdu2/dt+u2=u1 Riu1 C u2RC电路微分方程本章返回本节返回同理 RL电路微分方程为：Ldi/dt+iR=uR c(t)=iLr(t)=u结论：不同系统，可以有相似的数学模型即有相同的运动规律 前述 RC电路微分方程为：本章返回本节返回【 例 2.1】 RLC电路，试列写以 ui(t)为输入量，以 u0(t)为输出量的微分方程。解： 为设定的回路电流，根据基尔霍夫定律二阶线性微分方程ud Midn 列写原始微分方程电枢回路的微分方程式转动部分的机械运动微分方程式电枢回路微分方程机械运动微分方程(忽略负载力矩和黏性摩擦力矩 )例 2：编写电枢控制的他励直流电动机的微分方程解： 确定输入、输出量输入量： r(t)= ud，输出量： c(t)= n 本章返回本节返回ed -电动机电枢反电势 n-电动机转速Rd -电动机电枢回路电阻 M-电动机的电磁转矩Ld -电动机电枢回路电感 GD2 -电动机的飞轮惯量id -电动机电枢回路电流 Cm-电动机的转矩常数Ce-电动机电势常数 消去中间变量 id、 ed、 M ， 整理得：令 电磁时间常数 机电时间常数本章返回本节返回 当输入量 r(t)= ud ，输出量 c(t)=时，其微分方程为： 结论：同一系统当研究的问题不同时，其数学模型不同得： 本章返回本节返回例 3：如图为直流电动机转速闭环自动控制系统，试写出其微分方程式。- nud电抗器+-ufR01R02R12K1_+比较放大 K1功率放大 KS解： 确定输入、输出量输入量： r(t) = Ug 给定电压输出量： c(t)= n 电机转速Ug uk本章返回本节返回U 列写各环节微分方程比较放大环节： (当 R01=R02时 )uk= K1(Ug- uf) 其中： K1= R12/ R01 功率放大环节： (忽略时滞环节和非线性因素）ud= Ksuk直流电动机：反馈环节： uf= Ksfn四个方程，五个变量本章返回本节返回 联立方程，消去中间变量： uk, ud, uf，得：标准化 ：令 K1 Ks= Ky， K1 Ks Ksf/ Ce= Kk开环系统的微分方程式为：本章返回本节返回线性定常系统 微分方程式的一般表达式为：用线性微分方程描述的元件或系统称为线性元件或线性系统 2.1.2 线性系统特点 叠加性、均匀性（齐次性）本章返回本节返回2.1.3 线性定常微分方程求解求解步骤如下：(1) 微分方程两边取拉氏变换。(2) 将给定的初始条件与输入信号代入方程 。 (3) 写出输出量的拉氏变换。(4) 拉氏反变换求出系统输出的时间解。经典法 解微分方程拉氏变换法 本章返回本节返回r(t)c(t )【 例 2.2】 有一 RC网络如图 2.2所示，在开关 S闭合前，电容上有初始电压 uc(0)。求：当开关瞬时闭合后，电容的端电压 uc(t)。解：当开关 S瞬时闭合时，相当于有阶跃电压 u01(t) 输入，微分方程为 :本章返回本节返回两端进行拉氏变换： 输出的拉氏变换： 部分分式分解： 本章返回本节返回零状态响应特解零输入响应通解0 tuc(t)u0uc(0)本章返回本节返回两端进行拉氏反变换： 典型环节的传递函数传递函数的定义第三节 线性系统的 复 域数学模型 传递函数 传递函数的性质传递函数的表示方法求传递函数本章返回建立系统微分方程 分析系统的性能解微分方程，求 c(t) 根据 c(t)曲线传递函数 数学模型借助传递函数的 零点和极点 在复平面的分布 间接方法 分析和设计系统本章返回本节返回设系统的初始条件为零 （即输出及其各阶导数均为零）对微分方程两边取拉氏变换（由拉氏变换定理）得：(sn+a1sn-1+-+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+-+bm-1s+bm)R(s) 式中： C(s) -输出拉氏变换 C(s) = Lc(t)R(s) -输入拉氏变换 R(s) =Lr(t)s -拉氏变换算子则：G(s)2.3.1 传递函数的定义本章返回本节返回 初始条件为零G(s) 传递函数G(s)R(s) C(s)则： C(s)= G(s) R(s) 输出 C(s)是 R(s)经 G(s) 传递所得 传递函数： 在线性系统中，当初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比称为传递函数。 令 传递函数的分母 =0 系统的 特征方程分母中 s的最高次数 系统的 阶数2.3.2 传递函数的性质 只适用于 线性定常系统 传递函数反映系统本身的性质，只与系统本身的结构、参数有关。 只反应零状态特性（初始条件为零） 传递函数一般为复变量 s的有理真分式，即本章返回本节返回特征方程： 特征方程： s2(s+2)(s+4)=0 ， 4阶 s2+2ns+n2 = 0， 2阶 只能表示一个输入与一个输出之间的关系 两个系统传递函数相似 具有相似的运动规律 本章返回本节返回q1q2阀 1阀 2hR2 C惯性环节c(t)tRiu1 c u2本章返回本节返回2.3.3 传递函数的表示方法时域法频域法Ti 、 Tj 时间常数 K 系统的 放大系数 或 增益 或 传递系数本章返回本节返回根轨迹法zj 系统的零点 ， 共有 m个零点pi 系统的极点 ， 共有 n个极点K* 系统根轨迹增益