第1章 函数、极限与连续

医学高等数学医学高等数学数学与计算机教研室数学与计算机教研室韩新焕韩新焕* 1第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续函数、极限与微积分之间的关系* 21.1 函数函数一 .常量与变量在某一变化过程中始终保持相对静止状态的量称为常量；时时处于变化着的量为变量。前者记为 a, b, c等，后者记为 x, y, t等。1.1.1函数的概念函数的概念Date 3二、函数的二、函数的 概念定义 1 设在某个变化过程中存在两个变量 x、y,若对于某一非空数集中的每一个 x值 ,按照某一确定的关系 f都有唯一一个实数 y与之对应 ,则称变量 y是变量 x的函数 , 记作：y f (x)， xD 定义域自变量因变量f (D) 称为值域函数图形：Date 4理解理解 ：函数的定义有两个要素：一、自变量 x必须有明确的定义域 D；二、在定义域范围内 ,变量 x与 y有确定的对应关系 ,这两个要素决定值域 R。如果两个函数相等 ,则这两个要素必须完全相同。思考：思考： 两个函数 y2(x1)与 y2(x21)/(x1)是否相等？Date 5约定：约定：定义域是自变量所能取的使算式有 (实际 )意义的一切实数值。Date 6例 1.1.1 求下列函数的定义域因此 f(x)的定义域为：Date 7例 1.1.2 已知函数 f(x)x21, 求 f(2) , ff(x)。解：Date 8例 1.1.3 已知函数 f(x1)x23x2, 求 f(x)。解： 令 x1t, 则 xt1, 将其代入原式 , 得Date 9函数举例一 例 1.1.4 函数 y2。 定义域 D(,), 值域Rf 2 例 1.1.5 绝对值函数例 1.1.6 判断下面函数是否相同 , 并说明理由 Date 10函数举例二例 1.1.7 符号函数例 1.1.8 狄利克雷函数 例 1.1.9 取整函数 yx,其中 x为不 超过 x的最大整数Date 11邻域邻域是指如果 x0是实数轴上一点 , 为正实数 ,则开区间 x0f(x2)， 则称函数在区间 I上是单调增加（或单调减少）的。单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数。Date 13单调函数图像的特点是：单调函数图像的特点是：单调增加函数对应的曲线随自变量 x的逐渐增大而上升；单调减少函数对应的曲线随自变量 x逐渐增大而下降。Date 14二、奇偶性二、奇偶性设函数 f(x)的定义域为 D,如果对 D内任意一点 x(xD),都满足 f(x)f(x),则称函数 f(x)在D内是偶函数 ;若函数 f(x)对定义域 D内任意一点 x,都满足 f(x)f(x),则称函数在 D内是奇函数。函数 yx2是在其定义域 (,)上是偶函数 ;函数 ysinx是在其定义域 (,)上是奇函数 ;函数 ysinxcosx在其定义域 (,)上非奇非偶。Date 15偶函数的图像是关于 y轴对称奇函数的图像是关于原点对称Date 16函数举例三例 1.1.10 判断函数的奇偶性Date 17函数举例四例 1.1.11 判断函数的奇偶性Date 18三、有界性三、有界性设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在一个正数M,使得对于 D中某一个子区间 I内任意一点 x,总有|f(x)|M (即 Mf(x)M),则称函数在 I上是有界的，否则是无界的。Date 19如 sinx 、 cosx对区间 (,)上任意一点 x,存在 M1,使得 |sinx| M ,|cosx| M所以它们在区间 (,)上都是有界函数。lnx在区间 (0,)上为无界函数 ,因为找不到那样一个正数 M,使 |lnx| M成立。注意：注意：(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的。(2)有界与否是和 I有关的。Date 20如 f(x)1/x在开区间 (0,1)上是无界的 ,但在闭区间 1,2上却是有界函数 ,因为在此区间上能找到 M1,使当 x1,2时 |1/x|M成立。Date 21四、周期四、周期性性设函数的定义域为 D,如果存在一个非零常数 T,使得对于任意一点 xD, f(xT)f(x)恒成立 ,则称 f(x)在 D上为周期函数 ,T称为周期。通常所说的周期是指最小正周期。周期函数的图像特点是在这函数的定义域内 ,每个长度为周期 T的区间上 ,函数所对应的曲线有相同的形状。Date 22课堂练习2.* 用分段函数表示函数 3.* 判别函数的奇偶性 Date 23解 2 用分段函数表示函数 Date 24解 3判别函数的奇偶性 Date 251.1.3 初等函数初等函数一、基本初等函数基本初等函数通常是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。Date 26(1)幂函数 y x是常数 ,取值不同函数的定义域不同Date 27