由一道九年级数学期末抽测题所想

第 1 页 共 8 页ABCDEF图 1123456ABCDEFDEFABCI图 2反 射 三 角 形 探 究由一道九年级数学期末抽测题所想摘要 在试题分析时，如何让学生了解试题命题者的意图、试题的导向功能，对我们进行数学教学特别是九年级的数学复习至关重要如果试题分析仅仅关注学生的解答结果，就不能很好地让学生领会试题所蕴含的思想方法和思维含量，也就没能很好地唤醒学生的知识内容，也就不能体现学生在解题过程中的个性张扬所以在试题分析和复习教学中，应让学生通过自己的思考理解知识之间的相互联系，构建知识网络关键词 反射三角形 探究 思考有效的试题分析对于提高学生的答题能力、答题技巧、明晰答题思路有着重要的作用，对于学生了解命题者的意图和试题的背景是提高学习效率、复习效率的一种有效途径，也是让学生如何运用基本知识、基本技能、基本思想方法及基本活动经验解决问题的重要途径；同时通过试题分析，使学生在思维能力、情感态度与价值观等方面得到可持续发展如果我们平时的试题分析就题论题，仅仅关注学生的解答是否正确，就不能很好地让学生体会试题所蕴含的思想方法和思维方法、结论的得出、方法的归纳、思维的提炼，就没能充分有效地唤醒学生已有的知识，就失去了试题的测试功能，学生也就失去了在数学学习过程中发展能力、体现个性的机会笔者现就我市 2012 学年第一学期期末质量抽测九年级数学卷的第 21 题，谈谈对本题的再探究1 试题再现如图，点 D、E、F 分别在ABC 的边 AB、BC、CA 上，如果12，34，56，则称DEF 为ABC 的反射三角形（1）如图 1，等边三角形 ABC 的三边的中点分别是 D、E、F，请判断DEF 是不是ABC 的反射三角形；答： （直接填写“是”或“不是” ）（2）如图 2，点 A、B、C 分别在 DEF 的三边上，I 是DEF 内一点，且 IA DF，IBDE，ICEF，依次连结 A，B，C 三点，若I 是ABC 的内切圆求证：ABC 是DEF 的反射三角形；（3）判断下列三个命题是否正确（正确的打“” ，错误的打“” ）命题 1：锐角三角形有反射三角形 （ ）初中数学论文第 2 页 共 8 页图 312456ABCDEF命题 2：锐角三角形的反射三角形是锐角三角形 （ ）命题 3：钝角三角形没有反射三角形 （ ）2 试题探究21 命题意图的探究211 考查试题类型探究 从最近几年的台州市中考数学试题以及全国各地的中考数学试题看，出现了很多的新概念型（新学习型）的题目所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中的概念是初中数学中学生没有学过的一些概念、新运算、新符号它要求同学通过自主阅读、自主操作等方式进行即时地学习，然后结合已有知识、能力进行理解，根据“新概念”进行运算、推理、迁移的一种题型总之，这些题目对数学感知、数学表征、数学抽象概括、数学推理计算等数学认知水平进行了全面的考查例如台州市数学中考中 2009 年的第 23 题、2010 年的第 22 题、2011 年的 15、23 两题、2012 年的 16、24 两题（见附题）212 考查知识内容探究本题主要考查的知识内容有三角形的内角和定理、角平分线的意义、三角形内心的性质、垂线的性质、三角形中位线的性质等此题属于稍难题（难度系数 0.80.5） 213 考查基本图形探究基本图形采用人教版九年级上册数学作业本 2 第 25 页【直线与圆的位置关系（三） 】的第 2 题；214 考查数学方法探究转化方法、类比猜想等22 试题解答的探究由反射三角形的定义可知12，34，56，又13A180, 25C180，46B180，AB C180，从而有 1234 56360，135180，所以A 56，类似地我们有：12B，34 C ，故有 ，同理有DEFA2190， 因此为了很好地解决第（3）小题的三个DFE902190判断题，我们在试题分析时可先增设如下几个小题， 第一： 求证 ，E2190类似地你可得出另外两个等式吗？ 第二： 你能否证明DEF 是锐角三角形从而突破了第（3）小题的难点，所以我们在试题分析时，应根据实际问题设计问题引导，铺设思维台阶，引导学生有效思考23 试题拓展的探究231 反射三角形的形状探究第 3 页 共 8 页图 412356ABCDEFxyz 图 3 12456ABCDEF根据前面的分析有 ， ，DEFA2190DFEB2190，如图 3EDFC21900DEF180，0DFE180，0EDF1800A90，0 A90，0A90ABC 是锐角三角形，即只有锐角三角形才有反射三角形，直角三角形与钝角三角形都没有反射三角形同时有如下一些的结论：当锐角ABC 是等腰三角形时，反射DEF 是等腰三角形；当锐角ABC 中有一个角等于 45时，反射DEF 是直角三角形当锐角ABC 中每一个角都大于 45且小于 90时，反射DEF 是锐角三角形当锐角ABC 中有一个角小于 45时，反射DEF 是钝角三角形232 反射三角形的画法探究画法探究一：为了让学生能探究出锐角三角形的反射三角形的画法，结合图 3 教师可铺设如下几个问题进行探究：第一，求证：ADFACB第二，已知锐角ABC 中，已知 AB4，BC 6，AC5，你能求出线段 AF 的长吗？事实上，在图 3 中，根据试题解答的探究过程得出1B，AAADF ACB， ， ADABAF ACFCD同理有 BDBABEBC ，CECBCFCA由得 AB2AF ACBE BC，由得 CB2BE BCAC 2AFACAC 2CB 2AFACBEBC 得 AB2AC 2CB 22AFAC，然后将 AB4，BC6，AC5 代入即得AF0.5这仅说明点 F 是 AC 边上的一个定点，那么点 F 是怎样的一个特殊点呢？我们可由余弦定理得 AB2AC 2CB 22ABACcosA，从而 AF AB cosA，联想锐角三角函数的定义，学生会想到过点 B 作 BGAC 于 G，则 AGABcosA ，从而可得点 F 与点 G 重合，进而可得反射三角形的三个顶点 D、E、F 应是锐角三角形的三条高的三个垂足，这样我们就得到了一个锐角三角形的反射三角形的画法以上是我们教师探究时的思维过程，但由于探究过程中涉及到余弦定理，不属于初中数学学习范围，那么有没有知识不超纲且能证明点 D、E、F 是锐角三角形三条高的三个垂足的方法呢？画法探究二：在图 4 中，同样根据试题解答的探究过程得出1ABC，DAF CAB， ADFACB， ，ABFC如右图，连结 BF、CD，则ACDABE，ACD ABF，再连结 AE，同理可得BAE BCD ，CBF CAE ，为了表述方便，我们不妨记ACDABF=x，BAEBCD=y，CBFCAE=z，然后根据 ABC 的内角和等于 180得第 4 页 共 8 页图 5ABCDFEI图 6AFDBCE图 7ABCDFE12x+2y+2z180，所以 x+y+z=90，从而得 AEBC，BFAC，CDAB，这样我们就得到反射三角形的三个顶点 D、E、F 是锐角三角形的三条高的三个垂足，从而解决了锐角三角形的反射三角形的画法画法探究三：考虑学生平时所积累的基本经验，在试题讲评时，可按如下的问题串对学生铺设思维台阶进行画法探究，以提高学生对该问题的参与度及数学感知能力如图 5，已知 BFAC 于 F，CDAB 于 D（1）求证：ADAB=AFAC；（2）连结 DF，BC，求证：ADFACB，AFDABC；（3）设 CD 与 BF 交于点 I，连结 AI 并延长 AI 交 BC 于点 E，则 AE 与 BC 有何位置关系？再连结 ED、EF，由（1）与（2）你可得出哪些结论？从而解决了如何画一个锐角三角形的反射三角形的问题结合以上的画法探究，我们可进一步解答下面的问题：如图 6，已知 CD、AF 、BE 分别是钝角三角形的三条高，ACB 是钝角，连结DE、EF、FD，求证：点 C 是DEF 的内心根据反射三角形画法的探究过程中可得反射DEF 的三边与原ABC 三边之间有着如下的关系：DF BCcosA ，DE ACcosB，EF ABcosC（如图 3 所示） ，所以一个锐角三角形的反射三角形是唯一的233 反射三角形的周长探究点 D、E、F 分别是 ABC 的边 AB、BC、CA 上的动点，如图 3，我们不妨称DEF为ABC 的滑动三角形，如果12，34，56，则称DEF 为ABC 的反射三角形，同时我们称点 D、E、F 分别为 AB、BC 、AC 边上的反射点，则ABC 的所有滑动三角形中反射三角形的周长最小且是一个定值事实上，如图 7，设DEF 是ABC 的任意一个滑动三角形，作点 F 关于直线 AB 的对称点 F1，连结 EF1 交 AB 于点 D1，连结 D1F、 DF、DF 1，则 DFDF 1，D 1FD 1F1，D 1 是 AB 边上的反射点，此时DEF 的周长D 1EF 的周长，由此可得当点 D、E、F 分别为 AB、BC、AC 边上的反射点时，DEF 是ABC 的反射三角形且其周长是ABC 所有滑动三角形中周长最小的一个其周长是BCcosAACcosBAB cosC 为一个定值3 教学思考第 5 页 共 8 页31 试卷讲评的思考一堂试卷讲评课的结束，不能以试卷上试题评价的终结而结束，我们老师应利用学生的思维惯性，引导学生进一步进行反思和总结，深化扩大试卷的讲评效果，除了要求学生做好试题的订正和错题原因的分析和说明外，还要针对学生在考试中暴露出来的有代表性的共性问题，再精心设计一些相应的逆思路题或变式题让学生再练习、再提高同时对试题中出现的有些题目可进行深层次的挖掘和开发，共同探讨命题者的思路，可能变化的方向，让学生心中有数总之有效的试卷讲评能深化学生对基础知识的理解，能澄清学生在某些知识面上的模糊认识，能发展学生的思维能力和综合运用知识解决实际问题的能力32 教师解题的思考作为一名数学教师，在平时的教学过程中离不开解题，数学教师的解题过程就象音乐家每天的练声一样，需要不断、反复的练习，否则就会生疏，但更主要的是要做好解题研究，熟悉各种基本常规题型和各种解题策略、方法，以使自己在解题中做到化难为易，化繁为简，这是我们数学教师的一个追求和努力方向教师通过解题，才能融合各种资源，才能够在教学过程中做到精选习题和例题，才能够在分析试题时精心设计好为学生解决难题的脚手架，才能够让学生跳一跳能摘到果子，体验成功的乐趣 33 课本作业本资源的思考中考作为与学生升学息息相关的大型区域性考试，从中考数学试题的导向功能来看，命题者都会对区域内所使用的教材和作业给予高度关注，试题中的基础类题目，很多都是课本上的例题、习题经过适当的变化而来的；一些中、低档的综合解答题也是教材中的例题、习题经过交汇、融合而成；即使有些压轴题也不例外例如 2012 年台州市中考数学卷的第 23 题就是改编于教材中的习题；第 24 题它以“距离”这一几何概念为出发点，引进了两线段之间距离这一新概念，同时这一概念与两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离等概念交汇融合，使原本单薄的数学概念变得厚重、充实因此，在数学课堂教学中，用好课本资源，深化课本资源，有效地对例习题进行改编等是提高课堂效率的重要保证在复习教学中，应让学生通过自己的思考理解知识之间的相互联系，构建知识网络同时作为数学教师，更要认真研究课程标准、考试说明和教材，只有教师自身真正触及数学问题的本质，才能引领学生深入理解问题；只有教师自己登高望远，才能使学生在浩瀚的题海中，举重若轻，才能“会当凌绝顶，一览众山小” 参考文献1吴增生坚持标准 关注本质 引领教学J 中学教研（数学） ，2013（1）45-472许雷波对数学教师解题研究的思考J 中学数学研究，2013（2）6-83姜克安深化课本资源 提高课堂效率J 上海中学数学，2013（1-2）66-68第 6 页 共 8 页下附浙江省台州市最近四年的数学中考试题中有关新概念型的题目：附题 1：（2009台州 23）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图 1， ， ，则点 就是四边形PHJIPG的准内点ABCD（1）如图 2， 与 的角平分线 相交于点 AFDEC,FPE求证：点 是四边形 的准内点PB（2）分别画出图 3 平行四边形和图 4 梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假” 任意凸四边形一定存在准内点 （ ）任意凸四边形一定只有一个准内点 （ ）若 是任意凸四边形 的准内点，则PABCDPDCBPA或 ( )CA附题 2：（2010台州 22）类比学习：一动点沿着数轴向右平移 3 个单位，再向左平移 2个单位，相当于向右平移 1 个单位用实数加法表示为 3+（ ）=12若坐标平面上的点作如下平移：沿 x 轴方向平移的数量为 a（向右为正，向左为负，平移 个单位） ，沿 y 轴方向平移的数量为 b（向上为正，向下为负，平移 个单a b位） ，则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量” ；“ 平移量”a，b与“平移量”c，d 的加法运算法则为 dcadcba，解决问题：（1）计算：3，1+1 ，2；1 ，2+3，1 （2）动点 P 从坐标原点 O 出发，先按照“平移量”3 ，1平移到 A，再按照“平移量”1，2 平移到 B；若先把动点 P 按照“平移量”1，2 平移到 C，再按照“平移量”3，1 平移，最后的位置还是点 B 吗? 在图 1 中画出四边形 OABC.证明四边形 OABC 是平行四边形.（3）如图 2，一艘船从码头 O 出发，先航行到湖心岛码头 P（2，3） ，再从码头 P 航行到码头 Q（5，5） ，最后回到出发点 O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程图 1BJIHG DCAP（第 23 题）图 3图 2 图 4FEDCBAPGHJI（第 22 题）yO 图 2Q（5, 5）P（2, 3）yO图 111xx第 7 页 共 8 页附题 3：（2011台州 15）如果点 P（x，y）的坐标满足 x+y=xy，那么称点 P 为和谐点请写出一个和谐点的坐标： 附题 4：（2011台州 23 题）如图 1，AD 和 AE 分别是ABC 的 BC 边上的高和中线，点D 是垂足，点 E 是 BC 的中点，规定： A= 特别地，当点 D、E 重合时，规定：A=0另外，对 B、 C 作类似的规定（1）如图 2，在ABC 中，C=90 ，A=30，求 A、 C；（2）在每个小正方形边长均为 1 的 44 的方格纸上，画一个ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且 A=2，