系统辨识自适应控制

1.1 讨论系统方程为：（信噪比）至少 30%)(1()1() keukbayk为零均值白噪声， ea0.80.6 )(b0.5 (03000.3 (300)要求对系统参数辨识进行讨论（1） 定常系统 a=0.8,b=0.5 参数递推估计（2） 时变系统 取不同值是的不同结果并讨论。（1）取初值 P(0)= I、 （0）=0 选择方差为 1 的白噪声作为输入信号 u（k） ，106 L=300，采用 RLS 算法进行参数估计，代码及仿真结果图如下：clear all;close all;a=1 0.8;b=0.5;d=1; %对象参数na=length(a)-1;nb=length(b)-1; %na、nb为A、B阶次L=300; %仿真长度uk=zeros(d+nb,1); %输入初值：uk(i)表示u(k-i)yk=zeros(na,1); %输出初值u=randn(L,1); %输入采用白噪声序列xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); %白噪声序列theta=a(2:na+1);b; %对象参数真值thetae_1=zeros(na+nb+1,1); %thetae初值P=106*eye(na+nb+1);for k=1:Lphi = -yk;uk(d:d+nb); %此处phi为列向量y(k)=phi*theta + xi(k); %采集输出数据%递推最小二乘法K=P*phi/(1+phi*P*phi);thetae( : ,k)=thetae_1 + K*(y(k)-phi*thetae_1);P=(eye(na+nb+1)-K*phi)*P;%更新数据thetae_1 = thetae( : ,k);for i=d+nb:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);for i=na:-1:2yk(i)=yk(i-1);endyk(1)=y(k);endplot(1:L,thetae); %line(1,L,theta,theta);xlabel(k);ylabel(参数估计 a、b);legend(a_1,b_0);axis(0 L -2 2);图 1-1 递推最小二乘法的参数估计结果（2） ）取初值 P(0)= I、 （0）=0 选择方差为 1 的白噪声作为输入信号106 u（k） ，取 分别为 0.91,0.95,0.98,1.00 时，L=600，采用 FFRLS 算法进行参数估计，代码及仿真图如下所示：clear all;close all;a=1 0.8;b=0.5;d=1; %对象参数na=length(a)-1;nb=length(b)-1; %na、nb为A、B阶次L=600; %仿真长度uk=zeros(d+nb,1); %输入初值：uk(i)表示u(k-i)yk=zeros(na,1); %输出初值u=randn(L,1); %输入采用白噪声序列xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); %白噪声序列thetae_1=zeros(na+nb+1,1); %thetae初值P=106*eye(na+nb+1);lambda=0.98; %遗忘因子范围0.9 1for k=1:Lif k=301a=1 0.6;b=0.3; %对象参数突变endtheta( : ,k)=a(2 : na+1);b; %对象参数真值phi = -yk;uk(d:d+nb); %此处phi为列向量y(k)=phi*theta( : ,k) + xi(k); %采集输出数据%遗忘因子递推最小二乘法K=P*phi/(lambda+phi*P*phi);thetae( : ,k)=thetae_1 + K*(y(k)-phi*thetae_1);P=(eye(na+nb+1)-K*phi)*P/lambda;%更新数据thetae_1 = thetae( : ,k);for i=d+nb:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);for i=na:-1:2yk(i)=yk(i-1);endyk(1)=y(k);endsubplot(1,2,1)plot(1:L,thetae(1:na,:);hold on;plot(1:L,theta(1:na,:),k:);xlabel(k);ylabel(参数估计 a);legend(a_1);axis(0 L -2 2);subplot(1,2,2)plot(1:L,thetae(na+1:na+nb+1,:);hold on;plot(1:L,theta(na+1:na+nb+1,:),k:);xlabel(k);ylabel(参数估计 b);legend(b_0);axis(0 L -0.5 2);图 1-2-1 遗忘因子递推最小二乘法的参数估计结果（ =0.91）图 1-2-2 遗忘因子递推最小二乘法的参数估计结果（ =0.95）图 1-2-3遗忘因子递推最小二乘法的参数估计结果（ =0.98）图 1-2-4 遗忘因子递推最小二乘法的参数估计结果（ =1）由以上可以看出，技术对于参数突变的系统，采用 FFRLS 算法也能够有效地进行参数估计。当取遗忘因子 =1 时，FFRLS 将退化为普通的 RLS 算法，仿真结果如图 1-2-4 所示。可以看出，RLS 对于参数时变系统，即使增加数据长度，也不能有效地跟踪参数的变化。2.2 已知系统方程为：()1.2()0.35(2)()0.4(3)(1.()0.28()ykykukekek其中 e（k ）为白噪声，在输入信号为方波时，分析：1. 系统开环响应情况；2. 在 PID 控制下，系统闭环响应；3. 在最小方差控制下，系统闭环响应。解：（1）系统处于开环情况下，系统的输入 u(k)即为方波信号期望输出为方波，搭建 Simulink 系统方框图如下：图中；Discrete Filter1 模块表示输入白噪声的传递函数 ；Discrete 表（ ）()示输入输出开环传递函数 ；信号发生器发出方波信号。（ ）()最终仿真结果为：表明，在开环情况下，系统输出震荡极大且严重偏离期望输出值。（2）当系统施加 PID 控制时，使用 Simulink 搭建系统仿真模块如下：图中模块搭建仿照 PID 闭环控制方框图搭建，图中三个增益分别为：Pi、Ki、Kd；因此在仿真过程中只需要对这三个参数进行调节。最终的仿真结果如下。可以看出，施加 PID 控制以后系统的输出得到明显改善，实际输出在期望输出的周围波动。误差明显减少。（3） 对系统施加最小方差控制。由于系统已知即：系统阶次和系统参数 A( )、 B（ ） 、C（ ）皆为已知，1 1 1则最小方差控制： 121200.35835zzzaa12370.zz2.05由上式得：1111112()0.53(.)(0.4).30.4FzzGBzz最小方差控制预测方程为： 21 120.5(2) ()8.8zykukykz预测误差为: 220.控制律为：12112(8)(.503)()34rzyzykukz由此搭建 Simulink 仿真图形可得：输入方波信号得仿真结果如下：从响应图中可以看出普通 PID 设计系统很快就达到了稳定，并且系统调整明显能很快的达到收敛，但它使输入信号的幅值有所减小。采用最小方差调节器构成闭环系统后，稳定后响应的偏差减小，并且使控制过程得到了很大的改善，让系统很快就达到稳定。3.3 进行基于波波夫稳定性理论的 MRAS 设计及算法仿真在应用波波夫超稳定性理论设计自适应系统时,可遵循以下步骤：（1）把模型参考自适应系统等效成非线性时变反馈系统；（2）按照超稳定性理论,分别使等效反馈方块满足波波夫积分不等式和使等效前向方块G(s)为正实传递函数；（3）确定合适的自适应控制规律。如果前向方块传递函数分子与分母的阶差超过1,就不满足严格正实条件,则要在前向方块串联一个补偿器,使原来的前向方块和补偿器串联后的方块的阶差等于1,即为严格正实传递函数。再在此基础上确定自适应控制规律。例如在右图所示自适应控制系统中，参考模型： 21()mmBskAas可调系统： 21()ppss为线性补偿器， 为调节器，可按以下步骤利用超稳定性理论设计自适应Dck控制器：（1）将模型参考自适应控制系统化成一个前向线性模块和一个非线性的反馈方块。由参考模型： ，可调系统： ，21()mmBskAas 21()ppBskAas得，模型微分方程为： 21mykr可调系统微分方程为： ppau其中（1）()cuktr先将模型微分方程化为状态方程，令状态变量： 12,myxk则有如下关系： 12112()/mmxrax写成状态空间方程组形式为： 122212200aammrxyk()mBsA自适应控制律()mskc()Dsr mypyev令 1222100,.ammaAB参考模型可写成：（2）mxABr同理将可调系统写成状态空间方程组形式： 12221 12200ppaapmpxuxykx根据式（1） ，令 1222100,().appcaABt则可调系统变为：（3）ppxAr用状态方程表达的 MRAC 系统可用下图所示。用状态方程表达的 MRAC 系统此时广义状态误差为：（4）mpex对式（4）两边求导得：（5）()()mpmpAxBrxr为使前向模块严格正实，在前面串入一个线形补偿器。使（6）vDe采用 PI 型调节规律：（7）1200(,)(,)(,)tp pBvdvtB其中， 和 是和 同维的矩阵。将上式带入式（5）得到12p （8）mpeAxI（9）1200(,)(,)t pmvdvtBr等价的 MRAC 系统如下图所示。等价 MRAC 系统（2）使反馈方框满足波波夫积分不等式，设计一部分自适应律。现在使 满足波波夫不等式：,v（10）1210(,).(0)tTvdrt其中 是任意一个正数。将式（9）带入上式得：2r（11）1 21200(,)(,)(,)ttT pmvtBdtr将上式分解为：（12）11 12100,.()ttTpmdrt （13）12 22()(,)0tTvdr将 和 分解为列向量：1(,)vt0pmB（14）121 1(,),nt（15）0pmBb假设 可表示为1i（16）1()()i TbiFtvr,.in将式（14） （15） （16）代入（12）得：（17）11 120(,) nttTTjbjjjtrvdbtr 使上式成立的充分条件是求和符号中的每一项满足同样不等式，即：（18）11 120(,)()().(0)j ttTTjbjjjjrFtr我们令（19）jjvrf把 看成一个系统的脉冲响应矩阵，则 表示系统的传递函数矩阵。式()bFt ()bFs（18）中 可以看成同一系统在 时的输出，它等价于某一有限常数向量j 0t为输入信号时的作用的结果0()gt（20）00()jbtFgtd将式（19） （20）代入式（18）：（21）111 10 200(,)()(j ttTjbjtj jtfftgtdr 当 为一个正定积分核时，上式右一项大于等于零。即 假设成立。则()bFt i有（22）1211(,),()()nTbivt Ftvr为了使式（13）成立，可选（23）2(,()Tbttvr（24）20bFr则 12 0(,)()()0tTTbvFtrtd成立。所以（22）12112,()()nbiTbvt tvtrt是一个所需方案。（3）使前向模块为严格正实的，决定第一部分自适应律。（23）1()mGsDIAI必须严格正实。找到对称正定阵 和 ，使PQ（24）1TmB满足上式的解 必然能是式（23）严格正实。D为了使参数得到收敛，除了 外，还应该li()0te（25）,li()pmttAvtB且要求 和 线性独立，即参考模型完全可控、 的每个分量线性独立，且都rpx r要包含有多于 个不同频率的正弦信号所组成。2n（4）确定 和 ，做出自适应系统的结构图。()bFtDsMARC 系统的结构图由式（24）可知， 的取法不是唯一的。设补偿器()Ds 0,1Dd由系统状态空间描述得， 122210,.ammaAB设 ，若选 ，则 Q 显然为正定对称12pP,()aQ阵。根据式（24） ，可求得 。1 2122 1,ppa因此， ，21220maDBa从而得01,()d。的选取：选取方法不同，将得到不同类型的自适应规律，如比例式自,bF适应控制、继电式自适应控制。只要所选取的 满足非负定条