线性规划中确定平面区域的几种方法

二元一次不等式表示平面区域的判定方法作一简单的归纳和总结。 一、特殊点法 由于将直线 l:Ax+By+C=0 上同一侧的任意一点(x,y) 的坐标代入 Ax+By+C 所得实数的正负情况都相同,因此只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的正负即可判定 Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域。特别地,当 C0 时,常把原点作为特殊点。 我们在利用特殊点判定时,要有辩证思维,即所取的特殊点并不唯一,根据题目需要可以任意选除原点外的特殊点,如选择点(1,0) 、(1,1) 、(-1,0) 等。 二、B 符号判定法 Ax+By+C0 表示的区域为直线l:Ax+By+C=0 下方的区域。上述法则即为 B 符号判断法则 ,其本质是由 Ax+By+C 与 B 的关系判定得出的。用一句话概括,即“同号上,异号下” 。 对于 B=0 的情形,可结合图形具体操作,结论很容易判定。在画不等式所表示的区域时,我们要时刻注意不等号中的等号是否成立,以确定点是否能在直线上,从而决定直线画成实线还是虚线,由于直线方程中的B 容易找出 ,因此 B 符号判定法就成为常用的区域判定方法。 三、A 符号判定法 按照同样的方法我们可以得到下面的结论。当 A0 时,Ax+By+C0 表示的区域为直线 l:Ax+By+C=0右方的区域;Ax+By+C0 表示的区域为直线 l:Ax+By+C=0 左方的区域。上述法则即为 A 符号法则,其本质是由 Ax+By+C 与 A 的关系判定得出的。 用一句话概括,即“同号右,异号左” 。 四、图像判定法 凡涉及可行域问题基本上要画图,不妨就从直线在直角坐标系中经过的象限出发考虑问题,根据经过的象限相同,可行域相同这一原则: 注:(1)图 1 中“+”表示 Ax+By+C0 的区域,“-”表示 Ax+By+C0 由 B 符号判定法可知:2X+Y-100由 A 符号判定法可知:2X+Y-100 表示的区域是直线 2X+Y-10=0 的左下半平面。 (4)由图像法的结合图直接可知如上之结论。 对不等式组确定的平面区域,用上述方法会很快找到,但图像法更简便易行,读者不妨用下面的几个练习试一试。寻求二元一次不等式（组）所表示的平面区域的方法简单线性规划问题是高考必考知识点，而其基础在于研究二元一次不等式（组）所对应的平面区域下面介绍一些方法来快速准确地确定二元一次不等式（组）所表示的平面区域方法一：直线定界，特殊点定域找出一个二元一次不等式（组）在平面直角坐标系内所表示的平面区域的基本方法是：画直线 取特殊点 代值定域 求公共部分画直线作出各不等式对应方程表示的直线（原不等式带等号的作实线，否则作虚线）；取特殊点平面直角坐标系内的直线要么过原点，要么不过原点；当直线过原点时我们选取特殊点 或 （坐标轴上的点），当直线不过原点时我们选取原点 做特殊点；代值定域将选取的特殊点代入所给不等式：如果不等式成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在的区域；如果不等式不成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在区域的另一边求公共部分不等式组所确定的平面区域，是各个二元一次不等式所表示平面区域的公共部分例 1 画出不等式组 所表示的平面区域解析：画直线：不等式 对应的直线方程是 ；不等式 对应的直线方程是 ；在平面直角坐标系中作出直线 与 （如图）取特殊点：直线 过原点，可取特殊点 ；直线 不过原点，可取特殊点将 代入，即 ，不等式 不成立，直线另一侧区域就是不等式所表示的平面区域；将 代入，即 ，不等式 成立，则原点所在区域就是不等式 所表示的平面区域（图一）求公共部分：如图二所示公共部分就是不等式组所表示的平面区域方法二：法向量判定法由平面解析几何知识知道直线 （ 不同时为 0）的一个法向量为 以坐标原点作为法向量的始点，可以利用向量内积证明如下结论：（1）不等式 （ ），不等式表示的平面区域就是法向量指向的区域；（大于同向）（2）不等式 （ ），不等式表示的平面区域就是法向量反向的区域；（小于反向）例 2 画出不等式组 所表示的平面区域解析：不等式 对应的直线方程是 ，法向量 ；不等式对应的直线方程是 ，法向量 ；在平面直角坐标系中作出直线 与及其相应的法向量（如图）由于不等式 （ ），平面区域是法向量 指向的区域（图一）；不等式（ ），平面区域是法向量 反向的区域（图二）然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域方法三：未知数系数化正法直线 （ 不同时为 0）含有两个未知数，于是我们可以将未知数的系数分为两类： 项系数与 项系数来研究（1） 项系数化正法：顾名思义就是利用不等式性质，不等号两边同时 （移项）将 项系数化为正值，然后根据变形后关于 的不等式中的不等号来确定区域位置（规定： 轴正方向所指的区域为直线的上方；反之为下方）有结论：项系数正值化： 上； 下例 3 画出不等式组 所表示的平面区域解析：不等式 对应的直线方程是 ；不等式 对应的直线方程是 ；在平面直角坐标系中作出直线 与 （如图）将不等式组中每个不等式 项系数正值化，得 或 （移项）关于 的不等式（ ）即 （或者 ），直线上方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图一）；关于 的不等式（ ）即 ，直线下方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图二）然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域（2） 项系数化正法：同（1）一样，不等号两边同时 （或移项）将 项系数化为正值，然后根据变形后关于 的不等式中的不等号来确定区域位置（规定： 轴正方向所指的区域为直线的右方；反之