线性规划问题在高考中的应用

专题 线性规划问题在高考中的应用醒民高中数学组 孙鹏飞线性规划是沟通几何知识与代数知识的重要桥梁，是数形结合的集中体现。线性规划问题已成为近几年高考的热点问题，在高考中多以选择题、填空题以及解答题中的小题出现，它往往与不等式、方程、函数等知识相联系。通过对近几年对高考试题研究整理如下：公式回顾1、两点表示斜率2、两点距离公式3、点到直线的距离公式例 .已知实数 x、 y 满足下列条件 ，(1)若目标函数 z = 2x + y，求 z的最大值与最小值题型一：求最值xyo 351例 .已知实数 x、 y 满足下列条件 ，xyo 351题型二：变为斜率学点四 与解析几何中斜率、距离的联系【分析】 由于本题的目标函数不是一次函数，所以它不是线性规划问题，但可以利用 z的几何意义，用类似于线性规划的图解法解问题 .变量 x,y满足 设 z= ,求 z的最大值与最小值 .x-4y+30,3x+5y-250,x1,【解析】 由约束条件x-4y+30,3x+5y-250, 作出点（ x,y）x1,的可行域（如图 3-4-5） .图 3-4-5 z= , z的值即是可行域中的点与 O（ 0,0）点连线的斜率，观察图形可知：zmax=kAO,zmin=kBO.由解得 A ， kAO= .由解得 B（ 5， 2）， kBO= .故 zmax= ,zmin= .x=1,3x+5y-25=0,x-4y+3=0,3x+5y-25=0，【 评析 】 直接求 的最值无从下手，解决这类问题的关键是利用图形的直观性，这就需要：第一，要准确作出可行域；第二，要抓住目标函数 z=f(x,y)中 z的几何意义 .如 z= 中的 z的几何意义就是点 A（ x,y）与原点连线的斜率，当求与之相关的最值问题时，就要观察图中斜率的变化情况 . z= 中 z的几何意义为：点 A（ x,y）与点 B（ x1,y1）连线的斜率 . z= 中 z的几何意义为：点 A（ x,y）与原点的距离 . z= 中 z的几何意义为：点 A（ x,y）与点 C（ a， b）的距离 .z= x2+y2中 z的几何意义为： A（ x,y）与原点距离的平方 .（ 1）实数 x,y满足不等式组 则 = 的取值范围是 （ ）（ 2）已知 x,y满足条件 求 z=x2+y2的最大值和最小值 .y0 ，x-y0 ，2x-y-20 ，x-2y+70 ，4x-3y-120 ，x+2y-30 ，D解： （ 1） D（点（ x,y）在图中阴影部分， = ,即动点（ x,y）与定点 A（ -1,1）连线的斜率 ,l1的斜率 k1=kAB,由得 B点的坐标（ 1， 0）， k1=- ,l2与 x-y=0平行 , .故应选 D.）y=0，2x-y-2=0，（ 2）本题不是线性规划问题，但可以用线性规划知识确定（ x,y）的可行解，然后求取得最值的最优解 .在同一直角坐标系中，作直线 x-2y+7=0， 4x-3y-12=0和x+2y-3=0.再根据不等式组确定可行域 ABC（如图） .把 x2+y2看作点（ x,y）到原点（ 0， 0）的距离的平方 .由 解得点 A的坐标（ 5， 6） . （ x2+y2)max=|OA|2=52+62=61； 原点 O到直线 BC的距离为x-2y+7=0，4x-3y-12=0，例 .已知实数 x