第2章 控制系统的数学模型

第 2章 控制系统的数学模型内容提要 本章介绍系统的各类数学模型如微分方程，传递函数，方框图，信号流图的求取以及它们之间的相互关系。知识要点 线性系统的数学模型，拉普拉斯变换，传递函数的定义，方框图的含义及简化，梅逊公式的含义和应用。 1、数学模型： 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。1）动态模型： 描述系统处于暂态过程中各变量之间关系的表达式，它一般是时间函数。如：微分方程，传递函数，差分方程，状态方程等。2）静态模型： 描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数2、建立动态模型的方法1）解析法： 依据系统各变量之间所遵循的定律定理建模。2）实验法： 用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。3、建立动态模型的意义： 找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。 2.1 引言2.2.1 列写系统微分方程的步骤1、分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统 和环节的输入、输出变量，每个环节可考虑列写一个方程；2、根据各变量所遵循的基本定律得出的基本规律，列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化；3、将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；4、将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。 2.2 线性系统的时域数学模型 -微分方程2.2.2 举例例 2-1：设有由电感 L、电容 C和电阻 R组成的电路，如图所示。试求出以输出电压 Uo为输出变量和以输入电压 Ui为输入变量的微分方程。（ 1）确定电路的输入量和输出量解 ：Ui为输入量， Uo为输出量（ 2）依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程（ 3）消去中间变量，得到 U2与 U1的关系方程对（ 2）式求导得 代入（ 3）式并整理得 例 2-2：如图所示为一弹簧阻尼系统。图中质量为 m的物体受到外力 F(t)作用产生位移 y(t).试求该系统的微分方程。解： （ 1）确定输入量和输出量输入量：外力 F（ t) 输出量 :位移y(t)（ 3）消去中间变量，得到 输入与输出的关系方程（ 2）列写原始微分方程其中 阻尼器的粘性摩擦力弹簧的弹力（ 1）将以上各式代入（ 1）式得 （ 4）整理且标准化 令 - 时间常数；- 阻尼比；- 放大系数。 得例 2-3 设有带直流电动机系统，如图所示。试列写系统微分方程。解： （ 1）确定输入输出量 输 入量 ua，设 输出量 n，设 （ 2）列微分方程 等效电路如图所示 电枢回路的微分方程： -电势常数 电动机机械微分方程 （ 2-2）（ 2-1）若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：其中 ，通常忽略不计。电动机电磁转距与电枢电流成正比 （ 3）消去中间变量将（ 2-3）带入（ 2-4）得 （ 2-3）（ 2-5）（ 2-6）则当电机空载时有（ 2-4）将（ 2-5） ,（ 2-6）带入（ 2-1）得 （ 2-7）令： -电动 机 电磁 时间 常数 -电动机机电时间常数 得 （ 2-8）若以 为输入，电动机转角 为输出 将（ 2-9）（ 2-10）（ 2-11）带入（ 2-8）得 （ 2-9） （ 2-10） （ 2-11） （ 2-12） 例 2-4 下图所示为闭环调速控制系统，编写控制系统微分方程。 (2)编写各环节的微分方程解 ： (1)确定系统输入输出量 输入量为给定电压 r(t)=Ug,输出量为电动机转速 c(t)=n. 1）比例放大环节 假定 ，有2）可控硅整流功率放大环节Ud=KsUk ； Ks-电压放大系数 (2-15) (2-16) 3）直流电动机其中 R电动机电枢回路总电阻 4）反馈环节比例系数 (3) 消去中间变量 (2-17) 将式（ 2-15）（ 2-16）代入（ 2-17）经整理得： = (2-18) 令 Ks K1=Kg 正向通道放大系数， Ksf Ks K1/Ce=Kk 开环放大系数 得闭环系统的微分方程式： 1. 设质量弹簧摩擦系统如图所示，图中 为粘性摩擦系数， 为弹簧系数，系统的输入量为力 ，输出量为质量的位移 ，试列出系统的输入输出微分方程。 练习【 解 】 显然 ,系统的摩擦力为 弹簧力为 根据牛顿第二运动定律 移项整理 ,得微分方程为 2. 如图所示为一弹簧阻尼系统。图中质量为 m的物体受到外力F(t)作用产生位移 y(t).试求该系统的微分方程。解： （ 1）确定输入量和输出量输入量：外力 F（ t) 输出量 :位移y(t)（ 3）消去中间变量，得到 输入与输出的关系方程（ 2）列写原始微分方程其中 阻尼器的粘性摩擦力弹簧的弹力（ 1）将以上各式代入（ 1）式得 2.3 线性系统的复域数学模型 -传递函数微分方程式描述线性系统运动的数学模型的基本形式。通过求解微分方程，可以得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。 用微分方程式表示系统的数学模型有如下问题： 1、当微分方程的阶数较高时，求解困难，且计算量较大。 2、对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，更要重视系统的结构、参数与其性能间的关系，微分方程无法实现此问题。 控制工程中，一般不需要精确地求出系统微分方程的解，作出它的输出响应，而是用简单的方法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统的影响。以传递函数为工具的根轨迹法和频率响应法能实现上述的要求。 2.3.1 传递函数的定义传递函数 ： 初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比，称为该系统或元件的传递函数。线性定常系统微分方程的一般表达式 为系统输出量， 为系统输入量。 在初始情况为零时，两端取拉氏变换： 系统的传递函数为 或写为 传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。 传递函数的两种表达形式：= = 1)2)= = 2.3.2 传递函数的性质1. 传递函数只能够适用于线性定常系统；2. 传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其输入信号的形式无关 ，但和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关；3. 线性定常系统或元件的微分方程与传递函数一一对应，它们是在不同域对同一系统或元件的描述；4. 传递函数只反应系统在零初始状态下的动态特性；5. 传递函数是复变量 s的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数 N大于等于分子多项式的次数 M ，即 ；6.两个系统的传递函数结构参数一样，但若输入、输出的物理量不同，则代表的物理意义不同；7.对于多输入、多输出系统，不能用一个传递函数去描述，而是要用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出之间的关系。 例：传递函数求法 输入量 x(t)=u，输出量 y(t)=i。列回路电压方程：即 x(s)=Ry(s)+Lsy(s) 经整理得： =其中 Tl= , 电路的时间常数。 两边取拉氏变换得： u(s)=Ri(s)+ Lsi(s)2.3.3 典型环节的传递函数及暂态特性 1. 比例环节（无惯性环节） 2）传递函数 3) 输入输出变化曲线 4）结构图 1）数学表达式 K 环节放大系数2惯性环节 2）传递函数 特点：只含一个储能元件 ）数学表达式 3) 单位阶跃响应 4) 结构图 3、积分环节 1) 数学表达式 2）传递函数 3) 单位阶跃响应曲线 4）结构图 响应曲线随时间直线增长。输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。 4、微分环节1）数学表达式 2）传递函数 3）变化曲线 4）结构图 5、振荡环节 1）数学表达式 2）传递函数 其中 时间常数 衰减系数（阻尼系数、阻尼比） 对上式变形可写成： 自然振荡角频率 其中3) 阶跃响应曲线输入量单位阶跃信号时，则 对上式拉氏反变换，求输出响应得 4）结构图 6、时滞环节 1）数学表达式 当 时， 当 时， 2）传