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文档简介

一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程的标准形式其中函数 是某一区间 上的连续函数 .当 时 , 方程 化为这个方程称为 一阶齐次线性方程 .相应地 , 方程 (1) 称为 一阶非齐次线性方程 .定义： 如果微分方程中未知函数和未知函数的导数都是 一次 的，则称其为 一阶线性微分方程。分离变量 ,方程 (2)是可分离变量的方程 , 得两端积分得方程 的通解将方程 变形为两边积分 ,若记 则即得下面再来讨论 一阶非齐次线性方程 的通解 .一阶齐次方程 的通解一阶非齐次线性方程 的通解 .将两者通解相比较 , 只需将齐次通解中的 中的常数换为函数 便得到一阶非齐次线性微分方程的通解求解一阶非齐次线性微分方程的 常数变易法：将齐次方程通解 中的常数 变易为待定函数从而设一阶非齐次方程 通解为求导得将 和 代入方程 得积分得从而 一阶非齐次线性方程 的通解为套公式套公式！解 于是所求通解为例 1 求方程 的通解 .解 这是一个非齐次线性方程 . 先求对应齐次方程的通解 .用常数变易法 ,例 2 求方程 的通解 .由把 换成 即令则有两端积分得回代即得所求方程的通解为代入所给非齐次方程得解 于是例 3 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 :将方程标准化为故所求特解为由初始条件 得解 方程变为这个方程不是一阶线性微分方程 , 不便求解 . 如果方程改写为则为一阶线性微分方程 , 于是对应齐次方程为例 4 求方程 的通解 .当将 看作 的函数时 ,将 看作 的函数 ,利用常数变易法 , 设题设方程其中 为任意常数 ,分离变量 ,即并积分
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