管理科学基础习题册所有答案详解

第一章 绪论一、 单项选择题1. A P62. C P33. A P54. B P5二、 判断题1. 对 P12. 对 3. 对 P14. 错 P7 通过管理科学方法不一定能够找到系统的最优解三、 填空题1. 管理决策 P32. 数学模型 P4四、 名词解释（略）第二章 线性规划一、 选择题1. A 原问题 max=21+2. 1+2 512 31,2 0可以转换为标准型 max=21+2. 1+2+3 =512+4 =31,2,3,4 0所以初始基本可行解为 =（ 0, 0, 5, 3） 2. C 线性规划问题基的数目是= !()!原问题可以转换为标准型 max=21+2. 31+82+3 =121+2+4 =2 1+5 =3 1,2,3,4 0 m=5,n=3 35= 5!3!(53)!3. A 由题可得可行域如下图4. C 由图可知当目标函数趋势线与可行域的边界线重合时该问题有无穷多个最优解，四条边界线分别为 x1=0,x2=0,-x1+x2=1,-x1+2x2=4。仅当目标函数趋势线与 x1=0 是存在无穷个最优解。5. A 6. B 由图可知可行域不存在，所以该问题无解7. D 图中阴影所示为可行域，所以该问题存在无界解8. A 图中阴影为可行域范围，当目标函数趋势线与可行域相切于 A 点时该问题具有唯一最优解9. B 10. A 11. A 12. B A13. D 14. B 图中阴影为可行域范围，当目标函数趋势线与可行域相切于 A 点时该问题具有唯一最优解15. B 16. D 二、 判断题三、 填空题四、 名词解释五、 计算题1. 写出下列线性规划模型的标准型（1 ）解：令 ,2=2 4=4“4max=212+33+4“4. 12+3+ 4 “4+5 =721+2+53 =8 1 3+242“46 =1 1,2,3,4, “4,5,6 0 （2 ）解：令 , ,=1=1 3=3“3max=212+2(3“3). 12+ 3 “3 =41+2 3+ “3+ 4 =6 1,2,3, “3,4 0 A2. 用图解法求解下列线性规划问题（1 ） 解：设 为横轴， 为纵轴，依据题意作可行域如图中阴影所示。1 2添加目标函数 的趋势线如图中虚线所示。2001+1002将目标函数趋势线沿其法向量（图中实箭线）方向向上平移，当目标函数趋势线与可行域相切于 A 点时，目标函数值最大，即达到最优解。根据题意联立方程组： 1+22 =40 3 1+2 =30 解得 A 点坐标为（4,8）所以该线性规划问题的最优解：x1=4,x2=18目标函数值为：2600（2 ） 解：设 为横轴， 为纵轴，依据题意作图如下。1 2A由图可知，该线性规划问题无可行域，即无可行解。所以该线性规划问题也无最优解。（3 ） （略）（4 ） 解：设 为横轴， 为纵轴，依据题意作可行域如图中阴影所示。1 2添加目标函数 的趋势线如图中虚线所示。71+122将目标函数趋势线沿其法向量（图中实箭线）方向向上平移，当目标函数趋势线与可行域相切于 A 点时，目标函数值最大，即达到最优解。根据题意联立方程组： 41+52 =200 3 1+102 =300 解得 A 点坐标为（20,24 ）A所以该线性规划问题的最优解：x1=20,x2=24目标函数值为：428（5 ） 解：设 为横轴， 为纵轴，依据题意作可行域如图中阴影所示。1 2添加目标函数 的趋势线如图中虚线所示。21+52将目标函数趋势线沿其法向量（图中实箭线）方向向上平移，当目标函数趋势线与可行域相切于 A 点时，目标函数值最大，即达到最优解。可得 A 点坐标为（2,3）所以该线性规划问题的最优解：x1=2,x2=3目标函数值为：19（6 ） 解：设 为横轴， 为纵轴，依据题意作可行域如图中阴影所示。1 2添加目标函数 的趋势线如图中虚线所示。21+22将目标函数趋势线沿其法向量（图中实箭线）方向向下平移，当目标函数趋势线与可行域相切于 A 点时，目标函数值最小，即达到最优解。可得 A 点坐标为（1,0）所以该线性规划问题的最优解：x 1=1,x2=0目标函数值为：2AA3. 找出下列线性规划问题的基本解，并指出哪些是基本可行解，哪些基本解是不可行的（1 ） 解：当， 即 x1,x2 为基变量，x3 为非基变量。=2 11 0所以 x3=0，联立方程组：2x1-x2=1x1=1解得 x1=1,x2=1 即 X*=1,1,0T当， 即 x1,x3 为基变量，x 2 为非基变量。=2 01 1所以 x2=0，联立方程组：2x1=1x1+x3=1解得 x1=1/2,x3=1/2 即 X*=1/2,0,1/2T当， 即 x2,x3 为基变量，x 1 为非基变量。=1 00 1所以 x1=0，联立方程组：-X2=1X3=1解得 x2=-1,x3=1 即 X*=0,-1,1T在上述基本解中为1,1,0 T、1/2,0,1/2 T 基本可行解，0,-1,1 T 是不可行的。（2 ） 解：将原问题转换为标准格式如下：Max z=2x1+x2s.t. -x1+x2+x3 =52x1-5x2 +x4=10x10,x20当， 即 x1,x2 为基变量，x 3, x4 为非基变量。=1 12 5所以 x3=0, x4=0，联立方程组：-x1+x2=52x1-5 x2=10解得 x1=-35/3,x2=-20/3 即 X*=-35/3,-20/3,0,0T当， 即 x1,x3 为基变量，x 2, x4 为非基变量。=1 12 0所以 x2=0, x4=0，联立方程组：-x1+ x3=52x1= 10解得 x1=5,x3=10 即 X*=5,0,10,0T当， 即 x1, x4 为基变量，x 2, x3 为非基变量。=1 02 1所以 x2=0, x3=0，联立方程组：-x1 =52x1+ x4= 10解得 x1=-5, x4=20 即 X*=-5,0, 0, 20T当， 即 x2, x3 为基变量，x 1, x4 为非基变量。=1 15 0所以 x1=0, x4=0，联立方程组：x2+ x3=5-5 x2= 10解得 x2=-2, x3=7 即 X*=0,-2,7, 0T当， 即 x2, x4 为基变量，x 1, x3 为非基变量。=1 05 1所以 x1=0, x3=0，联立方程组：x2 =5-5 x2+ x4= 10解得 x1=5, x4=35 即 X*=0,5,0,35T当， 即 x3, x4 为基变量，x 1, x2 为非基变量。=1 00 1所以 x1=0, x2=0，联立方程组：x3=5x4= 10解得 x3=5, x4=10 即 X*=0,0,5,10T在上述基本解中为5,0,10,0 T、0,5,0,35 T、0,0,5,10 T 基本可行解，-35/3,-20/3,0,0T、-5,0, 0, 20T、0,-2,7, 0T 是不可行的。4. 试用单纯形表上作业法，求解下列线性规划问题（1 ） 解：将原问题引入松弛变量 x3，x 4，x 5，得该线性规划问题的标准型如下：max z=5x1+4x2s.t. x1+3x2+x3 =902x1+x2 +x4 =80x1+x2 +x5=45xi0(i=1,2,3,4,5)利用单纯形表上作业法求解上述线性规划问题，具体求解过程如下： 5 4 0 0 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X50X390 1 3 1 0 0 900X480 2 1 0 1 0 400X545 1 1 0 0 1 455 4 0 0 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 0X350 0 5/2 1 -1/2 0 205X140 1 1/2 0 1/2 0 800X5 5 0 1/2 0 -1/2 1 100 3/2 0 -5/2 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 0X325 0 0 1 2 -55X135 1 0 0 1 -14X210 0 1 0 -1 20 0 0 -1 -3Ci j j j因为所有非基变量检验数均小于等于零，即解得最优解 X*=35,10,25,0,0T,此时目标函数 Z*=215（2 ） 解：将原问题引入松弛变量 x3，x 4，x 5，得该线性规划问题的标准型如下：min z=-2x1-x2s.t. x1+x2+x3 =5-x1+x2 +x4 =06x1+2x2 +x5=21xi0(i=1,2,3,4,5)利用单纯形表上作业法求解上述线性规划问题，具体求解过程如下： -2 -1 0 0 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X50X3 5 1 1 1 0 0 50X4 0 -1 1 0 1 00X521 6 2 0 0 1 7/2-2 -1 0 0 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 0X33/2 0 2/3 1 0 -1/6 9/40X47/2 0 4/3 0 1 1/6 21/8-2X17/2 1 1/3 0 0 1/6 21/20 -1/3 0 0 1/3CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 -1X29/4 0 1 3/2 0 -1/40X41/2 0 0 -2 1 1/2-2X11/4 1 0 -1/2 0 1/40 0 1/2 0 1/4 jCi j j因为，所有非基变量检验数均大于等于零，即解得最优解 X*=11/4,9/4,0,1/2,0T,此时目标函数 Z*=-31/4（3 ） 解：由题可知， 选择 x1，x 4，x 6 为基变量=1 0 10 1 00 0 0即利用单纯形表上作业法求解上述线性规划问题，具体求解过程如下： 1 -3 0 0 2 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 X60X1 7 1 3 -1 0 2 0 7/30X412 0 -2 4 1 0 00X610 0 -4 3 0 8 11 -3 0 0 2 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 X6 -3X27/3 1/3 1 -1/3 0 2/3 00X450/32/3 0 10/3 1 4/3 0 50X658/34/3 0 5/3 0 32/3 1 58/52 0 -1 0 4 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 X6 -3X2 4 2/5 1 0 1/9 4/5 00X3 5 1/5 0 1 1/3 2/5 00X61 1 0 0 -1/2 10 11/5 0 0 1/3 2/5 0 j jCi j因为非基变量检验数均大于等于零，即解得最优解 X*=0,4,5,0,0,11T,此时目标函数 Z*=-11（4 ） 解：将原问题引入松弛变量 x3，x 4，得该线性规划问题的标准型如下：max z=2x1+x2s.t. -x1+x2+x3 =52x1-5x2 +x4 =10xi0(i=1,2,3,4)利用单纯形表上作业法求解上述线性规划问题，具体求解过程如下： 2 1 0 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X40X3 5 -1 1 1 00X410 2 -5 0 1 52 1 0 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 0X310 0 -3/2 1 1/22X1 5 1 -5/2 0 1/20 6 0 -1 j jCi 因为当前单纯形表中非基变量 x2 的检验数 ，但相应列上的系数均小2=20于零，所以该问题无有限最优解。5. 用 M 法求解下列线性规划问题：（1 ） 解：在原问题中减去剩余变量 x4，加上松弛变量 x5，加上人工变量 x6，x 7，得：max z=4x1+5x2+x3-Mx6-Mx7s.t. 3x1+2x2+x3-x4 +x6 =182x1+x2 +x5 =4x1+x2-x3 +x7=5xi0(i=1,2,3,4,5,6,7)其中 M 表示一个任意大的正数。据此可列出单纯形表并计算如下： 4 5 1 0 0 -M -MCB XBB-1bX1 X2 X3 X4 X5 X6 X7-M X618 3 2 1 -1 0 1 0 60 X54 2 1 0 0 1 0 0 2-M X75 1 1 -1 0 0 0 1 54M+4 3M+5 1 -M 0 0 0CB XBB-1bX1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -M X612 0 1/2 1 -1 -3/2 1 0 244 X12 1 1/2 0 0 1/2 0 0 4-M X73 0 1/2 -1 0 -1/2 0 1 60 M+3 1 -M -2M-2 0 0CB XBB-1bX1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -M X610 -1 0 1 -1 -2 1 05 X14 2 1 0 0 1 0 0-M X71 -1 0 -1 0 -1 0 1-2M-6 0 1 -M -3M-5 0 0CB XBB-1bX1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1 X310 -1 0 1 -1 -2 1 05 X14 2 1 0 0 1 0 0-M X71 -2 0 0 -1 -3 1 1-2M-5 0 0 -M+1-3M-3 -1 0Ci j j j j在最终单纯形表中，当所有检验数均小于等于零时，添加的人工变量 X7 仍为基变量，所以原问题无可行解。（2 ） 解：在原问题中减去剩余变量 x4，加上松弛变量 x5，x 6，加上人工变量 x7 得：max z=2x1+x2+x3-Mx6s.t. 4x1+2x2+2x3 x4 +x7=42x1+4x2 +x5 =204x1+8x2-2x3 +x6 =16xi0(i=1,2,3,4,5,6,7)其中 M 表示一个任意大的正数。据此可列出单纯形表并计算如下： 2 1 1 0 0 0 -MCB XBB-1bX1 X2 X3 X4 X5 X6 X7-M X74 4 2 2 -1 0 0 1 10 X520 2 4 0 0 1 0 0 100 X616 4 8 2 0 0 1 0 44M+2 2M+1-2M+1 M 0 0 0CB XBB-1bX1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 2 X11 1 1/2 1/2 -1/4 0 0 1/40 X518 0 3 -1 1/2 1 0 -1/2 360 X612 0 6 0 1 0 1 -1 120 0 0 1/2 0 0 -M-1/2CB XBB-1bX1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 2 X14 1 2 1/2 0 0 1/4 00 X512 0 0 -1 0 1 -1/2 00 X412 0 6 0 1 0 1 -10 -3 0 0 0 -1/2 -MCi j j j由上表可知，最终单纯形表中所有检验数均小于等于零，且基变量中不存在人工变量。又因为存在非基变量 X3 的检验数等于零，所以该问题存在无穷多个最优解。（3 ） 解：在原问题中加上人工变量 x5，x 6，得：max z=x1+2x2+3x3-x4-Mx5-Mx6s.t. x1+2x2+3x3 +x5 =152x1+x2+5x3 +x6 =20x1+2x2+x3 +x4 =10xi0(i=1,2,3,4,5,6)其中 M 表示一个任意大的正数。据此可列出单纯形表并计算如下： 1 2 3 -1 -M -MCB XBB-1b X1 X2 X3 X4 X6 X7-M X615 1 2 3 0 1 0 5-M X720 2 1 5 0 0 1 4-1 X410 1 2 1 1 0 0 103M+2 3M+4 8M+4 0 0 0CB XBB-1b X1 X2 X3 X4 X6 X7 -M X63 -1/5 7/5 0 0 1 -3/5 15/73 X34 2/5 1/5 1 0 0 1/5 20-1 X46 3/5 9/5 0 1 0 -1/5 10/3-M/5+2/57M/5+16/5 0 0 0 -8M/5-4/5CB XBB-1b X1 X2 X3 X4 X6 X7 2 X215/7-1/7 1 0 0 5/7 -3/73 X325/73/7 0 1 0 -1/7 2/7 25/3-1 X415/76/7 0 0 1 -9/7 4/7 5/26/7 0 0 0 -M-16/7-M+4/7CB XBB-1b X1 X2 X3 X4 X6 X7 2 X25/2 0 1 0 1/6 1/2 -1/33 X35/2 0 0 1 -1/2 1/2 01 X15/2 1 0 0 7/6 -3/2 2/30 0 0 -1 -M-1 -MCi j j j j由最终单纯形表的计算结果得：最优解 X*=5/2,5/2,5/2,0,0T,此时目标函数 Z*=15（4 ） 解：令 ，且 0 并在原问题中加上松弛变量 x4，x 5，加上人3=3-“3 3,“3工变量 x6 得：max z=5x1+3x2+ -Mx663-6“3s.t. x1+2x2+ +x4 =183-“32x1+x2+ +x5 =1633-3“3x1+x2+ +x6 =103-“3xi0(i=1,2,4,5,6)x 3,x3” 0其中 M 表示一个任意大的正数。据此可列出单纯形表并计算如下： 5 3 6 -6 0 0 -MCBXBB-1bX1 X2 X3 X3“ X4 X5 X60 X418 1 2 1 -1 1 0 0 180 X516 2 1 3 -3 0 1 0 5.333-MX610 1 1 1 -1 0 0 1 10M+5 M+3 M+6 -M-6 0 0 0CBXBB-1bX1 X2 X3 X3“ X4 X5 X6 0 X438/31/3 5/3 0 0 1 -1/3 0 38/56X316/32/3 1/3 1 -1 0 1/3 0 16-MX614/31/3 2/3 0 0 0 -1/3 1 7M/3+12M/3+1 0 0 0 -M/3-2 0CBXBB-1bX1 X2 X3 X3“ X4 X5 X6 0 X41 -1/2 0 0 0 1 1/2 -5/26X33 1/2 0 1 -1 0 1/2 -1/2 63 X27 1/2 1 0 0 0 -1/2 3/2 141/2 0 0 0 0 -3/2-M-3/2CBXBB-1bX1 X2 X3 X3“ X4 X5 X6 0 X44 0 0 1 -1 1 1 -35 X16 1 0 2 -2 0 1 -13 X24 0 1 -1 1 0 -1 20 0 -1 1 0 -2 -M-1CBXBB-1bX1 X2 X3 X3“ X4 X5 X6 0 X48 0 1 0 0 1 0 -15 X114 1 2 0 0 0 -1 3-6X3“4 0 1 -1 1 0 -1 20 -1 0 0 0 -1 -M-3 jCi j j j j由上表可知，最终单纯形表中所有检验数均小于等于零，且基变量中不存在人工变量。X*=14,0,0,4,8,0,0 T即 x1=14,x2=0,x3=0-4=-4,x4=8,x5=0,x6=0Z*=466. 解：（1 ） 当 d0 时，B 为可行基（2 ） 当 d0，且 h0 时， B 为最优基h=-1-3*（-1）+1*（-2）+4*e=4-4e0e1（3 ） 当 d0，且 h1当 d0，且 h=0 时，存在若干个最优解，即 e=1当 d0，e0，存在无界解当 d0，e0 时无可行解，即 0e0,y20 所以原问题约束条件取严格等式。即：x2+2x3=165x2+3x3=25解得：x2=55/7,x3=57/14,z*=506/7原问题与对偶问题均有最优解。4. 解：根据原问题与对偶问题的对应关系，可知对偶问题如下：min w=20y1+20y2s.t. y1+2y21 2y1+y22 2y1+3y23 3y1+2y24 y1,y20因为 y1=1.2,y2=0.2 可知 式为严格不等式，所以 x1=x2=0又因为 y10,y20，所以原问题约束取严格等式即：x1+2x2+2x3+3x4=202x1+x2+3x3+2x4=20且 x1=x2=0 解得 x3=x4=4所以原问题最优解为 X*=0 0 4 4T,Z*=285. 用对偶单纯形方法求解下列线性规划问题（1 ） 解：将原问题转换成标准型max z=2x1-x2+x3s.t. -2x1-3x2+5x3+x4 =-4x1-9x2+x3 +x5 =-34x1+6x2+3x3 +x6=8x1,x2,x3,x4,x5,x60A根据题意可得初始单纯形表并迭代至最终单纯形表，具体计算过程如下： 2 -1 1 0 0 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 X60 X4 -4 -2 -3 5 1 0 0 20 X5 -3 1 -9 1 0 1 00 X6 8 4 6 3 0 0 1 22 -1 1 0 0 0CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X1 0 0 0 13/2 1 0 1/20 X5 -5 0 -21/2 1/4 0 1 -1/42 X1 2 1 3/2 3/4 0 0 1/40 -4 -1/2 0 0 -1/2CBXBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 X6 2 X1 0 0 0 13/2 1 0 1/20 X510/21 0 1 -1/42 0 -2/21 1/421 X3 9/7 1 0 4/5 0 1/7 2/91 -1 -64/5 -2 -1/7 -1/9Ci j j j最优解 ，=97 10210 0 0 0 =4421（2 ） 解：将原问题转换成标准型max z=-x1-2x2-3x3s.t. -2x1+x2-x3+x4 =-4x1+x2+2x3 +x5 =8-x2+x3 +x6=-2x1,x2,x3,x4,x5,x60根据题意可得初始单纯形表并迭代至最终单纯形表，具体计算过程如下： -1 -2 -3 0 0 0CB XBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 X60 X4 -4 -2 1 -1 1 0 00 X5 8 1 1 2 0 1 00 X6 -2 0 -1 1 0 0 1-1 -2 -3 0 0 0CB XBB-1b X1 X2 X3 X4 X5 X6 -1 X1 2 1 -1/2 1/2 -1/2 0 00 X5 6 0 3/2 3/2 1/2 1 00 X2 -2 0 -1 1 0 0 10 -5/2-5/2-1/2 0 0CB XB