第1章 函数-极限-连续

高等数学颜 谨 欢迎你们！计软 2011三班、四班的同学们 !它是学习其它专业课所必须的基础知识， 也是解决科学技术问题的重要工具初等数学 常量数学高等数学 变量数学高等数学是一门基础理论课，高等数学的研究内容：高等数学的特点：以大学本科所学为限，它主要包含： 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。 线性代数：研究如何解线性方法组及有关的问题。 高等代数：研究方程式的求根问题。 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题等。概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理。高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。首先，理解概念。概念反映的是事物的本质 ,弄清楚它是如何定义的、有什么性质。 高等数学的学习方法：其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。 第三 ,在弄懂例题的基础上作适量的习题。 第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，所用的工具是极限，函数的性质 连续。函数 极限 连续微积分研究的对象是函数，微积分的历史：牛顿，莱布尼茨calculus微积分的研究内容：第 1章 函数、极限和连续对给定的数 a及任意的正数 ，称集合为点 a的 邻域，记作1.1 函数1.集合2.区间3.绝对值4.邻域邻域表示方法 :一、基本概念点 a的去心 邻域 :设在某变化过程中有两个变量 x和 y,变量 x在如果对 D中每个确定的 x，给定的数集 D中取值， 变量 y按照一定的法则总有唯一确定的数值1.定义 1.1.1与之对应，则称变量 y是变量 x的函数，记作D:定义域， x自变量， y：因变量二 .函数概念y=f(x)3.单值函数，多值函数2.绝对值函数，分段函数，二 .性质三 .反函数 其定义域为 D,值域为 W， 有界性 、单调性、奇偶性、 周期性记作 x=f-1(y),给定函数 y=f(x)，如果对于 W中任一值 y=y0， 必定在 D中有唯一的 x0,使 f(x0)=y0,我们说在 W上确定了 y=f(x)的反函数，定义 1.1.2四 .初等函数1.基本初等函数 (六种 )（ 1） 常数函数（ 6） 反三角函数（ 3） 指数函数（ 5） 三角函数（ 2） 幂函数（ 4） 对数函数由 F(x,y)=0 确定的函数 y=f(x)6.隐函数2.复合函数若函数 y=f(u)，而 u=g(x)，且 u=g(x)的值域包含在 y=f(u)的定义域内，则通过变量 u ,y就是 x的 函数，记作 y=fg(x), 而 u 称为中间变量称这个函数为 y=f(u)及 u=g(x)复合而成的复合函数 3.初等函数由基本初等函数通过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的且能用一个解析式子表示的函数均为初等函数研究复合函数，经常需要将一个复合函数分解成几个简单函数的形式。例 分解复合函数为几个简单函数的形式2.极坐标方程圆心在 O，半径为 a的极坐标方程： r=a 3.极坐标与直角坐标系的关系五、 极坐标1.极坐标系圆心在（ a,0)，半径为 a的极坐标方程： 1.2 极限1.数列的极限按照一定顺序排列出来的一列数记作称为数列数列中的每一个数叫作数列的项第 n 项 un 叫作通项一、 极限的概念例如一尺之棒， 日取其半， 万世不竭。 庄子天下篇 载一段话即一尺长的木棒 ,每天取下它的一半 ,每天取下它的长度是一个数列 ,当 n 时 , 无限趋于常数 0,但永远不等于 0. 这就是万世不竭 .极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。数学家刘徽 (公元三世纪 )的割圆术 ：通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。首先作圆内接正六边形，把它的面积记为 A1 ；当内接正多边形的边数无限增加时， An也无限接近某一确定的数值 (圆的面积 )，这个确定的数值在数学上被称为数列 A1 ， A2 ， ， An ， 当n 的极限数列的极限的产生 再作圆的内接正十二边形，其面积记为 A2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为 A3 ；依次循下去可得一系列内接正多边形的面积： A1 ， A2 ， ， An ， ：有序数列。定义 1.2.1 则称数列 xn或（ ）记为若数列 xn没有极限，则称数列 xn发散。设 xn是一个数列， a为常数 ，如果对于 任意给定的正数 ，总可以找到正整数 ，使得当 时，恒有当 时以 a为极限，几何意义：总存在着整数 N， 使当 时所有的点 xn都落在点 a的 邻域 之内，而只有有限个（至多 个）落在邻域之外定义 1.2.1 例 证明分析：证例 证明证：因要使若取正整数由定义知结论成立定义 1.2.22. 函数的极限(1).自变量趋于无穷大时函数的极限几何意义例 证明分析由定义知结论成立则得数列极限的定义。特例 数列极限结论当 x 取自然数 n.设函数 f(x)在 x0的某邻域内有定义，记作（ 可除外） a为一常数，(2).自变量趋于有限值时的函数极限定义 1.2.3例 证明证 对于任意给定的正数 因为欲使 只要注 意1） 意为从 x0 两侧无限接近 x02） 即使函数 f(x)在