自动控制理论第2版夏德钤　翁贻方第二章控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型本章知识点 ：线性系统的输入输出传递函数描述建立机电系统数学模型的机理分析法传递函数的定义与物理意义典型环节的数学模型框图及化简方法信号流程图与梅逊公式应用非线性数学模型的小范围线性化第一节 线性系统的输入 /输出时间函数描述物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。数学模型 物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。数学建模 从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。建立物理系统数学模型的方法 机理分析法 对系统各部分的运动机理进行分析，按 照它们遵循的物理规律、化学规律列出各物理量之间的数学表达式 ,建立起系统的数学模型。 实验辩识法 对系统施加某种测试信号（如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时间响应、频率响应），估算系统的传递函数。机理分析法建立系统数学模型的步骤确定系统的输入量、输出量；根据物理定律列写原始方程；消去中间变量，写出表示系统输入、输出关系的线性常微分方程。机理分析法建立系统数学模型举例例 2-1:图 2-1为 RC四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量， U2(t)为输出量的网络微分方程。解： 设回路电流 i1、 i2， 根据克希霍夫定律，列写方程组如下U1 R1 R2U2C1 C2图 2-1 RC组成的四端网络(1)(2)(3)(4)(5)机理分析法建立系统数学模型举例由 (4)、 (5)得由 (2)导出将 i1、 i2代入 (1)、 (3)，则得U1 R1 R2U2C1 C2图 2-1 RC组成的四端网络这就是 RC四端网络的数学模型，为二阶线性常微分方程。机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例例 2-2 图 2-6 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压 Ua(t)（ v）为输入量，电动机转速m（ t）（ rad/s）为输出量，列写微分方程。图中 Ra()、 La(H)分别是电枢电路的电阻和电感， Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。图 2-6 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图SM 负载-La RaEamJmf mUaifia机理分析法建立系统数学模型举例解：列写电枢电路平衡方程图 2-6 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图SM 负载-La RaEamJmfmUaifiaEa 电枢反电势，其表达式为Ea=Cem（ t） Ce 反电势系数（ v/rad/s） 由 、 求出 ia(t)，代入 ，同时 亦代入 ，得在工程应用中，由于电枢电路电感 La较小，通常忽略不计，故 可简化为其中 电动机机电时间常数（ s） 如果电枢电阻 Ra和电动机的转动惯量 Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化为电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。 第二节线性系统的输入 输出传递函数描述一、传递函数定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初使条件是指当 t0时 ,系统r(t)、 c(t)以及它们的各阶导数均为零。线性系统微分方程的一般形式为当初始条件均为 0时 ,对上式两边求拉氏变换，得系统的传递函数的根，也即线性微分方程 特征方程的特征值。零点 传递函数分子 s多项式传递函数 G(S)是复变函数，是 S的有理函数。且有mn。极点 传递函数分母 s多项式的根。 传函是由微分方程 在初始条件为零时 进行拉氏变换得到的。 如果已知系统的传递函数和输入信号 ,则可求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式 C(s),对其求拉氏反变换可得到系统的响应 c(t)， 称为系统的零状态响应。 系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传递函数则由系统的结构与参数决定。 传递函数的分母多项式即为微分方程的 特征多项式，为 1+开环传递函数。 同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其 特征多项式 唯一。 在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应，包括两部分系统响应 =零输入响应 +零状态响应零输入响应 在输入为零时，系统对零初始状态的响应；零状态响应 在零初始条件下，系统对输入的响应。传递函数的几点性质 传递函数 G(s)是复变量 s的有理真分式函数， m n， 且所有系数均为实数。 传递函数 G(s)取决于系统或元件自身的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。 传递函数 G(s) 描述了系统输出与输入之间的关系，但它不提供系统的物理结构信息。具有相同传递函数的不同物理系统称为相似系统。传递函数的几点性质 如果系统的传递函数未知，给系统加上某种输入，可根据其输出，确定其传递函数。 系统传递函数是系统单位脉冲响应 g(t)的拉氏变换 Lg(t)。 例 2 3 求例 2 1系统的传递函数。已知其输入输出微分方程U1 R1 R2U2C1 C2图 2-1 RC组成的四端网络设初始状态为零，对方程两边求拉氏变换，得此即为 RC四端网络的传递函数。第三节 非线性数学模型的小范围线性化严格讲，任何实际系统都存在不同程度的非线性。对于非本质非线性 数学模型 ，可采用 小范围线性化方法。设一非线性数学模型如图所示。设 函数 y=f（ x） 在（ x0， y0）点附近 连续 可微 (此即 为 非 线 性系 统 数学 模型线性化的条件） ,则可将函数 f（ x） 在（ x0， y0）附近展开成泰勒级数式中 比例系数 ,是随工作点 A（ x0， y0)不同而不同的常数 具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述方法相似。求线性化微分方程的步骤 按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。 找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。 将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。 消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值用偏差量来表示。注意： （ 1）线性化方程中的常数与选择的 静态工作点 的位置有关 ,工作点不同时 ,相应的常数也不相同。 （ 2）泰勒级数线性化是小范围线性化。当输入量的变化范围较大时，用上述方法建立数学模型引起的误差较大。因此只有当输入量变化较小时才能使用。 （ 3）若非线性特性不满足 连续可微 的条件 ,则不能采用前述处理方法 . （ 4）线性化方法得到的微分方程是增量化方程。 由微分方程直接得出的传递函数是 复变量 s的有理分式。对于实际物理系统，传递函数的分子、分母多项式的所有系数均为实数，而且分母多项式的阶次 n 不低于分子多项式的阶次 m， 分母多项式阶次为 n的传递函数称为 n阶传递函数 ，相应的系统称为 n阶系统 。传递函数可表示成 复变量 s的有理分式 :传递函数可表示成 零、极点 表示：第四节 典型环节的数学模型 系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有 个零值极点 ,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况 ,则传递函数的后两种表示的一般形式为 ：可 见 ，系 统传递 函数是由一些常 见 基本因子 ,如式 上 中的(js+1)、 1/(Tis+1)等 组 成。即系 统传递 函数表示 为 上 式 时 ，系统传递 函数是 这 些常 见 基本因子的乘 积 。 这 些常 见 基本因子代表的 环节 称 为 典型 环节 。任何复 杂 的系 统 都可以用若干典型 环节 构成。具有相同基本因子 传递 函数的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的运 动规 律。从 传递 函数的表示式中可以看到， 传递 函数的基本因子 对应 的典型 环节 有比例 环节 、 积 分 环节 、微分 环节 、 惯 性 环节 、振 荡环节 和延 迟环节 等。 l 比例环节比例 环节 又称 为 放大 环节 ，其 输 出量与 输 入量之 间 的关系 为 固定的比例关系，即它的 输 出量能 够 无失真、无延 迟地按一定的比例关系复 现输 入量。 时 域中的代数方程 为c(t)=Kr(t) t 0 式中 K为 比例系数或 传递 系数，有 时 也称 为 放大系数所以 比例 环节 的 传递 函数 为 ：L-变换 C(S)=KR(S)完全理想的比例环节是不存在的。对某些系统当做比例环节是一种理想化的方法。2惯性环节 惯 性 环节 又称 为 非周期 环节 ，其 输 入量和 输 出量之 间的关系可用下列微分方程来描述 ：式中 K 比例系数 。T 惯 性 环节 的 时间 常数 ，衡量输出量跟随输入量的变化L-变换 TSC(S)+C(S)=KR(S)传递函数 G(S)= C(s)/ R(s) = 3积分环节输 出量与 输 入量的 积 分成比例，系数 为 K。 积 分 环节 的 传递函数 为 ：积 分 环节 的 动态 方程 为 ：积 分 环节 具有一个零 值 极点，即极点位于 S平面上的坐 标原点 处 。 T称 为积 分 时间 常数。从 传递 函数表达式易求得在单 位 阶跃输 入 时 的 输 出 为 ：C（ t） =Kt 上式 说 明，只要有一个恒定的 输 入量作用于 积 分 环节 ，其 输 出量就与 时间 成比例地无限增加。 4振荡环节 振 荡环节 的微分方程是 ：相 应 的 传递 函数 为 ： 式中 T 时间 常数；