第一章轮胎模型20100312

第一章 轮胎模型目录1.1 轮胎侧偏特性介绍 .11.2 轮胎纵滑与侧滑下的简化理论模型 .11.2.1 轮胎坐标系 11.2.2 理论模型推导 . 接地印迹不存在滑移的情况 . 接地印迹存在滑移的情况 . 两种特殊载荷分布函数下的轮胎模型 .91.3 轮胎侧偏特性的半经验模型 .121.3.1“统一模型”(Unitire Model) .131.3.2“魔术模型” （Magic Formula Tire Model） .141.4 轮胎的“环模型 ” .161.4.1 坐标系、位移和应变 坐标系的建立 . 任意点的位移 . 应变位移关系 .191.4.2 动力学方程 哈密尔顿原理 . 轮辋轮胎系统的动能 . 非保守力做的功 . 保守力做的功 2 环模型的动力学模型 .2 复习复合函数的变分 .291.5 基于环模型的“swift 模型 ”301第一章 轮胎模型简单说明轮胎分析对车辆动力学特性研究中的作用1.1 轮胎侧偏特性介绍（引入为何要介绍复杂的轮胎模型）1、先介绍为何轮胎在车辆动力学特性分析中的重要作用车辆受到的外力，除了空气阻力和重力外，其它的力都通过轮胎作用于车辆，因此轮胎的特性，很大程度上影响着外力对车辆的作用结果，轮胎好比人脚上所穿的鞋，鞋的特性影响着人的行走效果，例如，不能在该穿跑步鞋的时候穿拖鞋。2、本科阶段所学的知识太过简化，没能反应出真实特性。1.2 轮胎纵滑与侧滑下的简化理论模型1.2.1 轮胎坐标系1、车轮平面，左边的图给出了车轮平面，即垂直于车轮旋转轴的轮胎中分平面；22、X 轴，车轮平面与地面的交线，沿车辆前进方向为正向；3、坐标原点 O，X 轴与车轮旋转轴线在地面投影线的交点。4、Z 轴，过 O 点的垂线，向上为正；5、Y 轴，过 O 点，垂直于 XOZ 的线，方向与 X、Z 轴服从右手螺旋定则。6、侧偏角 ，轮胎运动方向与 X 轴的交角；7、车轮外倾角 ，车轮平面与 XOZ 平面的交角；1.2.2 理论模型推导轮胎的简化物理模型如图 1 所示。假设胎体只能发生 y 方向的平移弹性变形，而绕 z 轴的转角与沿 x 轴的位移均可忽略不计。xyb行 驶 方 向 o附 着 区 滑 移 区行 驶 方 向 附 着 区 滑 移 区 yzRby图 1（a）轮胎的物理模型 图 1（b）轮胎接地印迹为方便推导，将轮胎接地印迹图的坐标变化成如下： xyby行 驶 方 向 o附 着 区 滑 移 区行 驶 方 向 附 着 区 滑 移 区 2aVABCcsVtPx3图 2 新坐标下的轮胎接地印迹图中， 为地面相对轮胎的速度，其方向与车辆的行驶方向相反。当车辆往前V行驶时，接地印迹上的 A 点，将依次经过 B、C，然后退出接地区。在制动（或驱动）与侧偏联合工况下，轮胎印迹的变形如图 2 所示。在没有侧偏时印迹中心线与 OX 轴重合。当轮胎产生侧偏时，地面相对于轮胎的运动速度 v 与轮胎的旋转平面 ox 成一个侧偏角 ，印迹中心线如 ABC 所示。AB为附着区，BC 为滑移区。整个印迹长度为 2a。胎体在侧向力 作用下，产生yP平移变形：（1.2.1）ybPC其中， 为胎体的侧移刚度。胎面上的一点从 A 点开始与地面接触，经byC时间 t 后，滚动到达 P 点。这时，轮胎旋转平面上的对应点，由 O 点转动到 X点。其坐标为：（1.2.2）xRt其中， 轮胎旋转角速度； 轮胎滚动半径。为了计算印迹上的力与力矩，必须先计算印迹上各点的各向剪应力 与xq，而求剪应力则又必须先确定胎面层上的接触印迹内各点的变形。yqx1）胎面层上接触区的变形0cossinsiVtxytgtRt（1.2.3）式中， 为车轮的运动半径。0R定义制动滑移率 与驱动滑移率 为：bSdS00coscoscosbdtRtxSVtx推导得：4（1.2.4）1/bbxSytg为了统一制动与驱动的表达式，这里定义纵向滑移率 与侧向滑移率 如下（xSyS与 的定义域为 ）：xSy:/1cos/xbb dy xSVtRttgSg于是： （1.2.5）/1bbxyxt可以看出， 与一般文献上定义的滑移率 的大小相等，但符号相反。xSdS2）胎面层上接触区的剪应力设胎面材料的 x、y 方向的刚度分别为常数 与 ，则附着区内 P 点的相xCy应剪应力为（1.2.6）xxyyqCS 接地印迹不存在滑移的情况注意：所谓接地印迹处没有出现滑移，即表示印迹处的侧向应力侧向附着力。如果胎面接地印迹区内无滑移，则式（1.2.6）对整个印迹范围都适用，合成剪应力为：222xyxyqCSx（1.2.7）其方向可按下式确定： yyxxqStgC可见，在一定的 、 状态下合成应力 的大小与 x 成正比，其方向与 x 无关。xSyqx、y 方向的切力 、 可按下式求得：P5220axxxxyyyyFqdCSK其中： ，2xxKaC2yya、 分别定义为纵滑刚度和侧滑刚度。xy总切向力 F 的大小为：（1.2.8）222xyxyFKS其方向同样可表示为： yyyxxxCtgS这里定义：无量纲纵向力 /xzF无量纲侧向力 yz无量纲总切向力 （1.2.9）/z相对纵滑率 xxzKSF相对侧滑率 /yyz相对总滑移率 2x其中， 轮胎垂直载荷， 轮胎与路面之间的摩擦系数zF所以可得到各切向力的无量纲表达式如下：（1.2.10）2/xyxyxFtg考虑到： ， ，则 x、y 向的切向力和总切向力为：cos/xsiny/xyyF6定义无量纲的相对剪应力 ，无量纲坐标为 ，则在无滑移2/zqaF/uxa条件下，有：（1.2.11）2222xyzzyxzzxyCSxaaFu与：（1.2.12）/2cos/2in/zxxxzyyzqFaquFa回正力矩可根据印迹上的剪应力 与 求得：x（1.2.13）22004/3/3aazbxxxy ybyxybMqdqdFSCCSFD其中定义： 为纵向拖距， 为横向拖距。/xa4/yaS上式两边除以 ，则得到无量纲回正力矩表达式为：zP（1.2.14）/ bzzyxyMFaDa其中： /134xyyDS 接地印迹存在滑移的情况当接地印迹出现滑移时，根据滑移出现的力学条件可得滑移区内的合成应力表达式 。设垂直载荷分布形式的无量纲函数为 ，则垂直载荷zqxF u的一般形式为7（1.2.15）/2zzquFau设起滑点 B 的坐标为 ，对应的无量纲值为 ，则由变形及刚度特性决*x*/xa定的起滑点 B 的总切应力为2*/2xyzquF（1.2.16）其应等于由附着条件决定的切应力*/2zzquFau（1.2.17）联立上两式可得 *zqu进而求得起滑点条件为： */2（1.2.18）上式中，由于 x 的取值区间为 02a，所以 的取值区间为 02。u在已知侧偏角 以及车速 V 时，可求得综合相对滑移率 ，从 2xy而根据上式可以求得起滑点位置 （或 ） 。假定滑移区内的切向力方向与附*x着区内的方向服从相同规律，则接地印迹上的总切向力为* *20/uuzzPaqdFFud其无量纲表达式为： （1.2.19）2014/m其中： *0umd根据假设的滑移区切向力方向与附着区一致，可得：（1.2.20）*20/41/xxx xyyy yFum回正力矩 可由横向应力与纵向应力对原始印迹中心点的力矩求积得到，其表zM8达式为： zyxybMFD其中， 为接地印迹前端点的侧向变形。by无量纲表达式为（1.2.21）yxbzzyDFaa先考虑上式中的第一个分量 *202203/ayxyxyxayzyyzuFDqdFaCSxdxFaFu 两边除以 ，得：zFa（1.2.22）*3 1/6/2yxyy yDamF其中， 为垂直载荷偏距，表达式为：20zzqxd*10um将式（1.2.22）两边除以 ，并结合式（1.2.20） ，得：yP（1.2.23）*3122/6/4xDuaa结论：由于 是 的函数，且 与 都是 的函数，因此在垂直载荷分布函数*1m0*u一定时， 是综合相对滑移率 的单变量函数，且随 而单调下降的。u/x 为此，当 一定时，增大 可使 增大，从而使 下降，当 时（即代yx/xDa0表滑移区不存在） ，式（1.2.23）与无滑移区情况下的表达式相同。下面来考察 的另一个分量 ：zMxyF（1.2.24）*20 /xaxyxzsFDqddx9其中， 为附着区内胎面的侧向变形； 为滑移区内的胎面侧向变形，yxSsy假设滑移区内的胎面刚度也是 ，则其表达式为：yC1yszyq将式（1.2.24）两边除以 ，并考虑 ，得：zFa/yzKSF*32/6/xyzyxyxFDSuE其中： *2uEd两边除以 ，并结合式（1.2.20） ，得：/xzF（1.2.25）*3220/61/4yyuESDam当 时（即代表不存在滑移区） ，上式与无滑移区时的表达式相同。0 两种特殊载荷分布函数下的轮胎模型（一）均匀载荷分布均匀载荷分布时， ，根据式（1.2.18）可得起滑点条件:1u*1/2u1）当 时，接地印迹不存在滑移区，参看式（1.2.10）可知此时的总切向/2力为： F同时有 x、y 方向的无量纲切向力： xy因此可得回正力矩：/ bzzyxyMFaDa其中： /134xyyDaS102）当 时，接地印迹存在滑移区，参看式（1.2.19）可知此时的总切向力1/为：*201/4/Fum其中： ，所以*0umd*2011/4/4u同时可知： 14xxxyyyF对于均布载荷， ，载荷重心偏至距离 ，同时有u0*2101umd*2*uE将上两式代入纵向与横向拖距表达式可得： 22211644xDa134yySa因此，将上面几式代入无量纲的回正力矩表达式，即可得到无量纲的回正力矩为： yxbzyDMFaa（二）抛物线对称分布的载荷函数11为使载荷分布函数满足力和力矩平衡条件，可取载荷分布函数为： 32,020,uu当当 与根据式（1.2.18）可得起滑点条件:或 *320u*2,330当， 当1）当 时，接地印迹不存在滑移区，参看式（1.2.10）可知此时的总切向力3为： F同时有 x、y 方向的无量纲切向力： xy因此可得回正力矩：/ bzzyxyMFaDa其中： /134xyyDaS2）当 时，接地印迹存在滑移区，参看式（1.2.19）可知此时的总切向0力为：*201/4/Fum其中： ，所以* *230031umddu*201/4/u同时可知：331x xxy yyF 12对于抛物线对称载荷， ，载荷重心偏至距离 ，同时有32u0* *43108umd*2*34*5129520uE将上两式代入纵向与横向拖距表达式可得： *3122/6/4xDaaum*320/yyES因此，将上面几式代入无量纲的回正力矩表达式，即可得到无量纲的回正力矩为： yxbzyDMFaa由此可得著名的 fiala 轮胎模型。小结：理论模型的求解步骤：1）获得垂直载荷分布函数 ；u2）根据侧偏角 ，计算综合相对滑移率 ；3）基于 ，计算起滑位置 ，并判断是否存在滑移区；*4）计算 x、y 方向的切向力 、 ；xFy5）计算沿 x、y 方向的轮胎拖距，并由此求出回正力矩 。zM根据上面分析可知，轮胎侧偏特性求解关键在于获得载荷分布函数 。u1.3 轮胎侧偏特性的半经验模型根据前面的分析可知，利用理论模型进行轮胎特性分析的前提是已经获得了轮胎的载荷分布函数 ，然而由于 具有很强的非线性和随机性，因此uu很难获得 的准确表达式，其给利用理论模型进行求解带来了困难。半经验u模型是在试验数据的基础上，结合理论模型，拟合出轮胎的侧偏特性模型。13由理论分析可知： ，而其中 是 的函数，因此，对*20/41/Fum*u于特定的轮胎， 是 的函数，即： 在 （即没有纵滑）的特殊情况下， ， ，因此有0xS yFyyyF根据上面的分析可知：在 的特殊情况下，通过 试验数据拟合得到0xSy:的 表达式，也就是在 的条件下无量纲总切向力 与相对总滑移率yFF的表达式 。另外，根据轮胎拖距 、 的表达式可知， 、 也是xDy xDy即 的函数，因此也可通过试验进行获取。这样我们便可利用试验数据直接*u拟合出轮胎特性模型而不需依赖对 的掌握。u1.3.1“统一模型”(Unitire Model)“统一模型”是我国中国工程院院士郭孔辉提出的。“统一模型”是利用指数形式，针对试验数据拟合出轮胎的稳态侧偏、纵滑及纵滑侧偏联合工况下的侧向力、纵向力以及回正力矩的指数模型。其表达式如下： 23112011expexpxxzyyzzxyx yyeycFEMFDDK其中， 为曲率系数， ；1E1122exp/zEFa14为纵向摩擦系数， ；x2123xzzbF为纵向摩擦系数， ；y yzza为相对纵向滑移率， ；x/xxzKs为相对侧向滑移率， ；y yyztgF， ，20123xzzDcF2456ezzDc， ；78ep/z2910xp/z为侧向刚度， 。cyK21cyzzKdF以上公式中出现的参数 均由轮胎试验数2121212abcd、 、 、 、 、 、 、据，利用数学方法进行参数识别获得，其过程如下：1.3.2“魔术模型” （Magic Formula Tire Model）由荷兰 Delft 大学的 Hans B.Pacejka 教授提出的。15“魔术模型”是以三角函数的形式来拟合轮胎试验数据，其是一个能同时表达纵向力、侧向力和回正力矩的轮胎模型，故称为“魔术”模型，其形式如下： sinarctarctnVHyxDCBxEBxYXS cosartnarctntanttzyzt ttttHtzrrrfMFDCBEBS 式中， 可以代表纵向力 或侧向力 ，只是在表示不同力的时候，YXxFy其相应的模型参数都要进行调整；自变量 可以表示轮胎的侧偏角或纵向滑移率。公式主要参数说明：1） 、 分别代表原点的水平偏移量和垂直偏移量，其主要是考虑轮胎HSV制造误差带来的影响；2） 代表峰值因子， 代表形状因子，将模型表达式改为：DC16sinarctarctnyxDCZZBExB由上面第一个方程可知， ，所以 是 的峰值； 为形状mayDyxC因子，它控制着魔术公式中正弦函数的范围，因此它决定了所得曲线的形状，C 值可由曲线峰值 以及稳态值 决定，即 ；pys 12arcsin/C可用来展宽或者收缩 的范围，称为刚度因子。Bx3）BCD 代表平移刚度，B 代表刚度因子系数 B、C 、 D 的乘积对应于原点 处的斜率，当 时，0x0x，此时 ，所以 。当 和 确定后，即可Zxyx0xdyBCDtg由与 的关系式求出 ，即 ，或者 ，所以 也被tg/tgtB称为刚度系数。4） 代表曲率因子E轮胎特性曲线与原始中心对称曲线通常有较大的偏差，为了能够产生这种不对称的轮胎特性曲线而引入了曲率因子 ，其用来控制曲线峰值处的曲率，E， 为峰值处的自变量。/2/arctnpppBxtgCBxxp其它细节参看书Tyre and Vehicle Dynamics ，2002 年出版，作者 Hans B. Pacejka，魔术模型就是由 Pacejka 教授提出的。优缺点说明：此处不对统一模型和魔术模型的优缺点进行评述，由于可调参数太多，同一个模型不同的人调试出来的结果可能都不一样，因此没有最好，只有更好。但应该说明一下，由于魔术模型在商业推广上做的较好，在大型动力学仿真软件 Adams 中的轮胎模型使用的便是魔术模型。1.4 轮胎的“环模型”刚性环模型主要是用于分析轮胎的动态特性。17轮胎横截面如上图所示，依据刚度大小可将轮胎模型简化为三个部分：1、带束层，圆形、薄的环；2、胎侧，由径向与周向弹环组成；3、轮辋，由刚性的，有质量和惯量的圆组成。抽象的环模型1.4.1 坐标系、位移和应变 坐标系的建立这里建立两个坐标系，一个是空间固定的坐标系；另一个是旋转坐标系，旋转坐标系的角速度为车轮的旋转角速度；两个坐标系的原点重合，且原点固定不动。如下图所示。18坐标 用于描述轮辋中心在固定坐标系中的位置；坐标 用于描述,xz *,xz轮辋中心在旋转坐标系中的位置；环上任意点到车轮中心的向量在固定坐标系中描述为 ，在旋转坐标系中描述为 ，其中， ， 为车轮的,r,rt旋转角速度。从任意点的向量长度都是 可知，固定坐标系与旋转坐标系的原点重合。r因此， 与 有关系：,xz*,（1.4.1）*cossinicxtztzt问题：为何要引入两个坐标系？ 任意点的位移设 A 点为圆环中面上的任意点，则在轮胎运动过程中，轮胎上任意点位移可由三部分组成：1）车轮旋转运动引起的；2）车轮平移运动引起的；3）轮胎变形引起的；设旋转坐标系中，圆环中面上任意点为 A，经车轮平动后为 ，经轮胎变A形后为 ，由于是在旋转坐标中，所以可以忽略旋转运动所带来的位移。A则 分别为旋转坐标系中，A 点到 点的径向和切向位移；设,wv 为 点到 点的径向和切向位移，则有如下关系：,r19（1.4.2）*cosinirwxzv *XAA*Z*x*zR因此，在旋转坐标系中，从车轮中心到变形后的 点的向量为：A（1.4.3）rRwnv式中： 为旋转坐标系中，在轮胎变形前沿径向和切向的单位向量； 为rn、 R车轮半径。 应变位移关系设有变形前有两个点 和 ， 的位置用极坐标表示为 ， 的位置为AB,rB，则 到 的距离为：,rd（1.4.4）22dsrd设变形后的点为分别为 、 ，如下图所示：AB则变形后，有关系：20,rAr同理，有： , ,rddBrdB因为， ， ，所以rrrd , ,rr另外，从上图可以看出，（1.4.5）sinrvw2rrrr因此有 、 间的距离为：AB（1.4.6）2222r rdsdd式中：（1.4.7）rrrdd将上式代入到式（1.4.6）得到：（1.4.8）222rrsGGd式中，（1.4.9）22222211rr rrrr rrrG 下图为变形前后的关系图，定义三个应变：切向应变： dsr法向应变： （1.4.10）r21剪应变： 2r根据余弦定义有关系：（1.4.11）22 2cosrrdsds对比式（1.4.8）与（1.4.11）可得到：（1.4.12）22rrsGd将式（1.4.12）代入到式（1.4.10）有（1.4.12）1sincosrr rGG另外，由式（1.4.5）可得到：（1.4.13）2211rrrrrrrrrrvwww将上式代入到式（1.4.9）得到：（1.4.14）2221rrrrrrrrr vvwGwv再将上式代入到式（1.4.12） ，并考虑到环的变形量很小，略去小项后整理得：22（1.4.15）2111rrrrrrrrvwwvv考虑到环的厚度很小，所以认为沿厚度方向的径向变形 都与中面上的,rwyt径向变形 相等，且剪应变与切向应变相比要小很多，对其进行忽略，因此有：rW（1.4.16）0,rrwytyt（1.4.17）r（1.4.18）10rrrvv另外，假设切向变形量沿厚度方向成线性变化，即有关系：（1.4.19）0,rrvytvytt上式中， 为环的横截面的旋转角；是环横截面上距离中面的长度；y、 是中面上的径向与切向变形；0,rwt0,rvyt将（1.4.19）和（1.4.16）代入到（1.4.18）得，（1.4.20）00,1,rrwytvytR为方便描述，以下将 ， 用 、 代替，其已经特指是0,rt0,rtrv中面上的变形。将式（1.4.19）和（1.4.20）代入到式（1.4.15）的第一式中，可得：（1.4.21）2222211r rrrrrvwwyvyRyRy 最后，将式（1.4.2）代入上式中，用 和 代替 和 ，消元整理后得到：vrv23（1.4.22）222211vywwvRR另外，根据几何分析，还可推导出一个结论，轮胎变形后沿径向和切向的单位向量 和 与变形前径向和切向的单位向量 的关系为：n rn、（1.4.23）11rrvwnvRRwnn:1.4.2 动力学方程 哈密尔顿原理动力学系统的普遍方程有：拉格朗日方程和哈密尔顿方程。对一个复杂动力学系统而言，要建模首先想到的就是要借鉴这两个方程进行建模。拉格朗日方程是哈密尔顿方程的一个特例，它少了对弹性势能（非保守系统）的描述，由于轮胎具有弹性，必须考虑弹性势能的影响，因此，这里要使用哈密尔顿方程。设 为拉格朗日函数，即LLTVE其中， 为系统的动能， 为非保守力所作的功， 为保守力所作的功；T定义哈密尔顿作用量 ：拉格朗日函数在时间 到 的积分S1t221tLd哈密尔顿原理：对于完整的、有势的力学系统，在相同的时间、相同的起始和终了位置、相同的约束条件下，系统在所有可能的各种运动中，真实运动使哈密尔顿作用量取极值（通常是极小值） 。（1.4.24）2211ttSLdTVEdt满足： ， 为广义坐标。120iiqttiqt哈密尔顿原理也可以理解为：当哈密尔顿作用量的泛函 时，所确定的运0S动为真实运动，以此来求出动力学方程。24当系统是保守系统时， ，此时由式（1.4.24）便可得到拉格朗日LTE方程： 01,2iiditq根据式（1.4.24）可知，要想建立起非保守系统的动力学方程，必须先确定系统的动能、保守力所作的功以及非保守力所作的功 轮辋轮胎系统的动能1）轮胎的动能由于轮胎环厚度很小，因此假设横截面上各点的速度都与中面上的点的速度相同。因此在旋转坐标系中可得轮胎的动能表达式： 2/10hTbRrdy微元质量： dm由式（1.4.3） ，可以推导得到：rRwnvrrn其中， ， ，所以有rnr（1.4.25）rwvnRw将（1.4.25）代入到（1.4.24）得到（1.4.26）2 2210TbAvd式中， ，表示轮胎横截面的面积； 为轮胎的角速度。h2）轮辋的动能25轮辋的运动由平动与转动构成，因此固定坐标系中轮辋的动能为： 2221rrTmxzI上式中， 为轮辋的惯量； 为轮辋角速度相对于轮胎角速度 的波动角速度，rIr上式在旋转坐标系统表示为：（1.4.27）222*21rrTxzxI 非保守力做的功由于轮胎带束层具有弹性，因此轮胎环中非保守力所做的功即为弹性应变能。根据材料力学可知，由材料应变引起的能量表达式为：（1.4.28）2/ 001hVbRdy式中， 为由充气压力引起的带束层沿切向的初始应力， 为由运动产生的0 应力增量。初始应力产生的应变能表达式如下：轮胎环上的微元受力图受力分析：1）轮胎微元受到胎体沿径向的弹性力作用， ， 为胎体沿圆周方向0wkRdwk单位长度的径向弹性刚度， 为胎体沿径向的初始变形；0w2）离心力作用， ；22dmRAd3）胎体内气体的径向作用力， ， 为胎体内气体压力；0pb04）横截面上的切向力 ；0265）横截面上的径向变形力 ，由于 很小， ，且上、下两个截面0rAdcos1d的径向变形力方向相反，为此，径向变形力互相抵消。方向如图所示；根据以上分析，可列出沿径向的力平衡方程： 0 20 02sin/2wdpbRddkR根据，虎克定律有： 0wE其中， 为材料的杨氏模量， 为轮胎中面半径， 为胎体沿径向的初始变形。ER0将上两式结合，消去 整理得到：0w201/wpbRAkE由于 相对较