芝麻开门谈概率中钥匙开门问题

芝麻开门谈概率中钥匙开门问题浙江省镇海中学 杨威在高中概率这一章的学习中，钥匙开门问题是经常碰到的问题，对于这一问题，尤其是求在钥匙放回或不放回这两种情况下第几次将门打开的概率，学生经常出错，本文对这一问题进行归纳、对比.供大家参考。例 1 某人有 5 把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开房门，不幸的是他忘了是那一把，只好随意逐把试开，若每次试过的钥匙不再重复试开.求第 3 次将房门打开的概率.分析 某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于 5 把钥匙的一个排列，由于他每次拿哪一把是任意的，所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同，本题是等可能事件的概率问题 解答 第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙。把五次顺次拿出钥匙的结果相当于 5 把钥匙的一个排列共有 种方法；在 5 把钥匙5A的一个排列中的第 3 把钥匙正好是开房门的钥匙，其它 4 把不能打开房门的钥匙任意排在第 1、2、4、5 的位置上.因此第 3 次打开房门的结果有 种.所以恰4好第三次将房门打开的概率为 .解本题时也可以只考虑前三次的情451()AP况，将前三次顺次拿出钥匙的结果相当于从 5 把钥匙中取出 3 把钥匙的一个排列，共有 种；第三次打开房门即在 3 把钥匙的排列中第 3 把恰好是打开房门35A的钥匙，前面两个位置是从 4 把不能打开房门的钥匙中取 2 把钥匙的一个排列，共有 种。故242351().P说明 此题也可以运用条件概率求解.在 发生的条件下， 发生的概率BA.故由 得：5 把钥匙中只有 1 把能打开房()(|)AB()(|)(PA门，且第三次打开房门说明前两次都没有打开房门.第一次打不开的概率为 ，45由于不放回，第二次仍然打不开的概率为 ，第三次打开的概率为 .所以恰好343第三次将房门打开的概率为 。1()5PA变 1 若每次试过的钥匙又放回，求第 3 次将房门打开的概率。解答 每次试过的钥匙又放回，所以每次从 5 把钥匙中任取 1 把去开门是相互独立的.第三次将房门打开说明第三次在 5 把钥匙中任意取一把且取到的恰好是打开房门的钥匙，于是其概率为 。1综上，把钥匙的把数推广到 则在放回或不放回的条件下，若 把钥匙中恰nn好只有一把可以打开房门的钥匙，那么第 次将房门打开的概率都是 。k1变 2 若每次试过的钥匙又放回，求恰好第 3 次将房门打开的概率。解答 恰好第三次打开房门锁说明前两次都没有打开房门.又每次试过的钥匙放回，所以每次从 5 把钥匙中任取 1 把去开门是相互独立的.恰好取到能打开房门的钥匙的概率为 ，取不到的概率为 .故恰好第 3 次将房门打开的概率为：145。46()52PA说明 变 1 和变 2 的区别在于“恰好”两字.有“恰好” ，说明前面的次都没有将门打开，恰好在第 次将门打开了.也可以把钥匙把数推1(*)kNk广到 ，恰好第 次将房门打开的概率nk 1()knPA例 2 如果 5 把钥匙中有 2 把可以开房门的钥匙，随意逐把试开，且每次试过的钥匙不再重复试开.那么第 3 次打开房门的概率是多少？解答 第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是 2 把房门钥匙中的一把，或者说在 5 把钥匙的一个排列中第 3 把钥匙正好是二把能开房门的钥匙之一. （这里只强调第 3 次取的这把钥匙能开房门，而前面或后面取的钥匙是否能打开房门不去关心） ，故 1425()CAP变 1 如果 5 把内有 2 把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙不再重复试开.那么恰好第 3 次打开房门的概率是多少？解答 恰好第 3 次打开房门，说明前 2 次都没有打开房门，则在 5 把钥匙的一个排列中第 3 把钥匙正好是二把能开房门的钥匙之一，且另一把必须排在第 4 或第 5 把的位置。.1235()CAP变 2 如果 5 把内有 2 把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙又放回.那么第 3 次打开房门的概率是多少？解答 每次试过的钥匙放回，所以每次从 5 把钥匙中任取 1 把去开门是相互独立的.又每次恰好取到能打开房门的钥匙的概率为 ，取不到的概率为 .故2535与例 1 变 1 类似，第 3 次将房门打开的概率为 .变 3 如果 5 把内有 2 把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙又放回.那么恰好第 3 次打开房门的概率是多少？解答 .18()PA综上，设 把形状相同的钥匙中有 把可以打开房门，每次随意任取一把nm试开：（1）若每次试开后不放回，则第 次打开的概率为k或者 （2）若每次试开后不放回，则恰好1().mnCA1().nkCA第 次打开的概率为 或者 （3）若每次试开后k1().mnkP1().kmnCAP放回，则