追本溯源，探寻“讲道理”的数学课堂——《分数初步认识》一课的教学思考

追本溯源，探寻“讲道理”的数学课堂 分数初步认识一课的教学思考【主要内容】“数学是讲道理的！”每一个知识点都有自己的生长方式。常听老师抱怨现在数学怎么难教，其实归根到底是教学的“理”与“法” ， 理不通则法不顺，所以我们应该追本溯源研究教材和学生，追寻“讲道理”的数学课堂。以分数初步认识为例，这是一节典型的种子课，对后续的学习影响非常大。虽然听了不下数十遍，看似热闹，可是教师在教学中往往会忽视一些本质的东西。比方说：分数起点是“量”还是“率”？孩子的认知基点是什么？如何变抽象为直观感知？如何进行教材的挖掘与整合？本文就以这一课为例展开描述，追本溯源，探寻“讲道理”的数学课堂。【 关键词 】认识分数 量与率 活动直观 挖掘整合【 正 文 】“数学是讲道理的！数学是要经历体验的！数学是好玩的!”我想这应该是我们教师教学的准则。 “教材”和“学生”永远是我们研究的两大主题：“数学是讲道理的”细细去研究教材，我们可以发现所有的知识点都有其特定的生长方式，就是要弄明白“它是什么？从哪里来？去哪里？” ，如果自己都弄不明白，那给孩子的将是一笔永远的糊涂账；“数学是要经历体验的！数学是好玩的!” ，要想达到优质高效的教学，研究“学生“是必不可缺的，因为我们面对的群体就是孩子，而且孩子之间有很大的差异性，我们研究他们已有的认知经验或数学经验，研究孩子喜欢的学习方式等等。分数初步认识是一节经典课，吴正宪、俞正强、朱国荣等许多小学数学大能都曾进行精彩的演绎。他们有的注重情境，有的着力探索，有的凸显文化，有的关注基础，有的扣住理解，有的强化应用，可谓是亮点纷呈，各具特色。但他们都有一个共同点，就是抓住了分数的本质。许多一线教师都觉得这一节课内容比较简单，成为教研课的不二之选。真的如此吗？笔者觉得许多观点值得我们商榷。 一、 分数的起点是“量”还是“率”？我们在学习自然数时， “量”与“率”的学习是循序渐进并且泾渭分明的。首先是数的认识，比方说“5” ，可以是 5 支铅笔、5 个人、5 只羊等等，当孩子熟悉自然数“量”的属性之后，再让孩子学习“倍的认识”体会自然数表示“率”的意义，如10 是 2 的 5 倍。而分数本身就是直接是“量”与“率”的混合体，在学习“分数的初步认识”时，许多教师直接从“率”的教学入手，把一个月饼平均分成 2 分，取其中的一份，就是这个月饼的 。这个“ ”表示的是什么？是“率” ，是部分与整体之21间的关系。有的甚至从除法与分数的关系入手，处理得好是另辟蹊径，一旦处理不当又是一笔糊涂账（2 个苹果平均分给 2 个小朋友，每人分到多少个？算式是 22=1； 1 个苹果平均分给 2 个小朋友，每人分到多少个？算式怎么列 12=？列式不难，一问答案学生呆住了，绞尽脑汁）我个人觉得分数的教学，从“量”到“率”应该比较符合逻辑。德国数学家罗克内尔有一句名言：“上帝创造了自然数，其余都是人为的。 ” 我们回溯分数的产生。分数是相对应于整数（或自然数）而言的。当人们不能用整数（或自然数）来表示，必定会创造出相应的数。 “分数”从字面上理解，是“平均分后产生的一个数，分数也应该是从“量”的属性开始。如：5 个人去打猎，猎到了 10 只兔子和一头野猪，先分兔子（10 只兔子每个人分到 2 只），再分野猪（只有 1 头野猪，平均分成 5 份，每人分到 5头野猪） 。另如：测量一个木条有多少长？先设定一个标准长度单位，没有达到或超过些许标准长度单位怎么办？相对自然数而言，分数的起点是非常高的，就是看一个标准单位平均分成几份，每份是几分之一个标准单位。在教学过程中要注意“量”与“率”相结合，两者兼顾。情境过后，在理解分数意义的时候，教师们往往会偏向于分数的“率” ，即“把什么平均分成若干份，取其中的几份，用几分之几表示或是这个整体的几分之几。 ”在教学中我们要适当兼顾分数的“量” 。我们可以模仿特级教师朱国荣老师的精彩片段开展教学。师：分完蛋糕，接着我们来分橙汁。考考你们的眼力。你能用分数来表示吗？师：你能想到哪个分数？和同桌先说一说。师：我们发现非常难估计，给大家一个工具（出示平均分线段图）现在可以了吗？师：谁来说？生：第一个杯子 杯。21师：同意吗？你是怎么想的？生：一杯橙汁平均分成 2 份，其中的一份就是 杯。21师：那第二个杯子呢？第三个杯子呢？二、 孩子认知基点是什么？我们都知道：当孩子学习新知的时候，如果这个新知与原有的经验相吻合的，那么孩子就容易接受；如果这个新知需要另起炉灶的话，孩子学习起来就费劲的多了。北师大教材的编排顺序是“自然数 小数 分数” ，它从学生出发，从数位顺序表出发，前两者是自然对接了，而分数就成了陌生和脱节的知识点。尤其是教学小数计数单位的时候，多数教师忽视了 0.1，0.01 等真正的意义，更是扩大了自然数、小数与分数知识点的代沟。教学前我对两个班的孩子进行了前测，我们可以简单分析一下：纵向比较，人数集中并有研究价值的主要有以下几种情况：知道可以用分数表示的占 18.25%，不知道的占了81.75%，正确书写的为 0，或 4/3 的占了 6.25%，在调34查中发现除了极少数几个孩子在平时的生活中知道有分数外，多数孩子对分数的了解几乎为零；采用小数表示的仅占5%，在交谈当中，我们发现这些孩子，在没有具体数据的情况下，根据估计采用小数表示，虽然有一定的误差，也不失为一种好办法，这起码显示孩子对小数的认识比较深刻；用文字“大半、一半多一点、半个的半个”之类文字表示的孩子占 25%，当孩子发现不能用整数表示，缺少小数的取值，无奈之下只能借助文字形式来表述；用“块数”表示的占 16.25%，虽然印证了数学家华罗庚提出的“数是数出来的” ，但孩子们偷换了概念。孩子的认知基点就是孩子已有的生活经验和学习经验：（生活经验）孩子们在生活中见到分数的情况应该比较少，看到整数、小数、百分数表示的相对较多，分数对某些孩子而言完全是一个陌生的概念。孩子在日常生活中平均分的现象是见过的，比如大伙儿吃西瓜或蛋糕，潜意识里就会尽可能把它们切均匀；去披萨店吃披萨，他们会发现上桌之前的披萨都是平均切好的，习惯选用 6 等份或 8 等份。他们能够感知把一个整体进行了平均分，但压根不会想到，这在他们眼里看似自然而然现象，居然是分数产生的过程，这里面还包括了分数的“量”与“率” 。美国的小学数学教材中，分数的初步认识安排在一年级下册，借助的就是分披萨，通过大量的图片判断随着人数的变化，每人分到几分之几个。（学习经验）根据北师大教材的编排特点，孩子对自然数“量”与“率”的掌握相当成熟，而小数的学习是在自然数的基础上进行的。整数和小数是十进位的，尤其在学习小数时，把标准单位平均分成 10 份，每一级的计数单位是唯一的。而分数的计数单位是不固定的，根据需要可以多选，并且 = = 这是分数所特有的，这21463与孩子以往的学习是完全不同的。许多教师在教学中是这样处理的：4 个苹果平均分成 2 份，每份是多少？2 个苹果平均分成 2 份，每份是多少？1 个苹果平均分成 2 份，每份是多少？你能用一个数表示吗？多数孩子首选 0.5，然后教师一个劲儿地寻找不同的表达方式，使劲地往分数身上靠。孩子的表达方式虽然非常多，可真正用分数表示的绝对没有几个。在未知的情况下叫孩子去原创一种数出来，是非常痛苦的。我们思考的是“分数需不需要孩子去原创构建？”虽然孩子在经过原创构建过程中，逐渐清晰分数的产生，理解分数的意义，但这跟孩子的元认知是严重脱节的。换句话说“我们要认识一个人，你首先得知道他是谁？ 再去认识他、了解他。 ”吴正宪老师说过：“让孩子经历痛苦的体验，才能够刻骨铭心，才能记得牢。 ”但是我们发现孩子在经历原创的过程，时间上不允许我们呀！笔者认为，这样的处理，在学习的逻辑上是相违背的。【教学尝试 1】师：我们认识了很多数，我们来说说这些数你认识吗？（出示 5，0.5）师：谁来说说看，5 表示可以表示什么意思？生：5 本书、5 个同学师：0.5 呢？师：今天我们来认识一位新朋友。 （出示： ）21师：你认识吗？生：分数，是二分之一。 （大多数学生不知道，少部分学生举手回答。 ）师：你想知道它的什么知识？生：【教学尝试 2】老师家的宝宝昨天生病了，医生开了药，服用方法写在药盒上，你们帮老师看看应该怎么服用吗？出示标签：每天 3 次，每次 包。21这里有哪些数？这个数你见过吗？这个数该怎么读呢？【教学尝试 3】4 个饼平均分成 2 份，每份是多少个？2 个饼平均分成 2 份，每份是多少个？1 个饼平均分成 2 份，每份是多少个？你能用一个数表示吗？（每份是 个）要是把一个西瓜平均分成 2 份，每份是多少个西瓜呢？把一张纸平均分成 2 份，每份是多少张纸呢？把一米平均分成 2 份，每份是多少米呢？从“量”入手，从学生熟悉的生活场景入手，感知分数的产生过程，分数的产生首先是“量”的过程， 个饼、 个西瓜、 张纸、 个蛋糕等等，再从 个延伸到12121个、 张等。最后延伸到部分与整体之间的关系，也就是分数的“率” 。21三、 如何变抽象为直观感知？我们在教学分数初步认识的时候，最喜欢借助的是折纸游戏，通过折纸把一张纸平均分成 2 份、4 份、8 份、16 份，在通过涂色表示相对应的分数。一般采用的三种形式：一是不同形状的纸片表示同一个分数；一种是同一张纸片，用不同的折法表示同一个分数；一是同一张纸不同的折法表示不同的分数。【教学尝试】1. 在书写中理解分数的意义分数的书写其实就是分数产生的过程。师： 这个分数你会写吗？21生：我是先写分子 1，再写分数线，然后写分母 2。生：我是先写分母 2，再写分数线，然后写分子 1。生：我先写分数线，然后写 2，最后写 1。师：分数的书写到底有没有一个大家公认的书写顺序呢？能不能举个例子，看看 是21怎么产生的。生：从中间切开，先平均分。生：平均分成 2 份。生： 就是其中的一份。1师：是呀，有了平均分，才有了 2 份，从 2 份中选 1 份就有了 1。照这样的过程，你们觉得写分数时，怎样的顺序比较好？生：先写分数线，它像平均分的线，然后写分母 2，再写分子 1。师：这样写好在哪里？生：正好与分数产生的顺序相一致。2. 数形结合，对比强化分数的意义数形结合和对比研究是学习数学的最好方法。折纸是学习分数最有效的方法，孩子通过折一折，涂一涂，体验分数产生的过程，数与形的结合，把抽象的分数直观地展示在孩子面前，便于孩子认识原本完全陌生且抽象的概念。孩子在折纸的时候，会出现不同的折法，这时对比研究可以直达教材的核心。以“ ”为例，孩子一般会出现以下几种情况：41图 5 不是平均分不能用“ ”表示。41图 1 到图 4 的相同点都是把这张纸平均分成 4 份，不同点是平均分成 4 份的分法不同。都可以用“ ”表示，都是“ ”张纸。4141又如分批萨过程中，不同分法的分数比较。四、 如何进行教材的挖掘与整合？从三年级下册的“分数的初步认识”开始，到五年级上册的“分数的再认识” ，时间跨度非常大，且四年级一年完全与分数知识无关，两部分衔接也就不够自然，所以非常有必要进行教材的挖掘与整合。“分数初步认识”作为种子课，孩子们了解了分数的产生、分数各部分名称、分数的读写，在这一过程中，我们发现这里面隐藏了分数的分数单位（标准） 、分数大小的比较、除法与分数的关系、分数的加减法，我们是不是可以尝试打破原有建材的编排顺序，进行教材的整合。如：朱乐平老师课上的“除法与分数初步认识的整合” ；朱国荣老师的“分数大小比较和分数初步认识的整合” ；刘松老师的“计数（分数）单位与分数初步认识的整合”等。【结束语】在一次教坛新秀研修班培训互动中，俞正强老师给我们指出：“数学是讲道理的，年轻教师应该静下心来研究教材，先教对的知识，再去想办法教好。 ”是的！作为数学老