《高等几何》习题答案

高 几 习题集及 解答 第一章 仿射几何的基本概念 1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是 仿 射不变性。 证明 ： 设 T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理， T 可使等腰 C）与一般 ABC相对应，设点 D 为线段 中点，则 =， T（ D） =D （图 1）。 T 保留简比不变， 即（ =（ BCD） = D是 BC的中点。因此线段中点是仿射不变性。 在等腰 ， =。 设 T（ ） = ， T（ ） = ， 但一般 ABC中，过 A的中线 AD并不平分 A， 即 B与 一般不等。 角平分线不是仿射不变性。 在等腰 ，设 D 是 中点，则 C，由于 T( ABC（一般三角形）， D仍为 BC的中点。 由于在一般三角形中，中线 AD并不垂直底 边 BC。得下题 2、 两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答 :两直线垂直不是仿射不变性。 3、 证明三角形的中线和重心是仿射不变性。 证明 ： 设仿射变换 T 将 为 ABC， D、 E、 F 分别是 的中点。 由于仿射变换保留简比不变，所以 D =T(D)， E=T(E)， F=T(F)分别是 BC,CA,AB 的中点，因此 AD， BE， CF是 ABC的三条中线（图 2）。 设 G 是 重心，且 G=T(G) G 结合性得 G AD； 又 （ =（ AGD） 即 31 D3311B E B E C F C G E G F G F 同 理 可 得 ： ， G是 ABC的重心。 4、 证明梯形在仿射对应下仍为梯形。 证明 ： 设在仿射对应下梯形 四边形 ABCD相对应， 由于仿射对应保持平行性不变，因此 ABCD，所以 ABCD为梯形。 5、 证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。 证明 ： 设 T 为仿射变换， 两个全等矩形，其面积分别以 2。 )1(图2图由于 T 保留平行性，所以： T（ = 平行四边形 A1B1C1D1, 面积记为 ： S1 T（ = 平行四边形 A2B2C2D2, 面积记为 ： S2， 且 S1=K S2=1 12221S K S S A1B1C1D1 与 A2B2C2D2 是等积的平行四边形 。 6、 经过 A（ 2）和 B（ 6， 1）两点的直线被直线 X+3 截于 P 点 ， 求简 比 （ 解 ： 设 P 点的坐标为（ () A P A P P B （分割比 ）， 003 6 2,11 而 : 且 P 在直线 x+3 上， 3 6 2( ) 3 ( ) 6 011 解 得 =1，即 P 是 点，且（ = 1。 7、 证明直线 y+C=0 将两点 联线段分成 的比是1122A x B y CA x B y C 证明 设分点为 P（ 则分割比 = 1 2 1 200 , ( 1 )11x x y P（ 直线 y+C=0 上， 1 2 1 2( ) ( ) 011x x y C y 1+C+()=0 1122A x B y CA x B y C 8、 证明一 直线上二线段之比是仿射不变量。 证明 ： 若直线 a 上两线段 仿射变换 T 后与直线 a上的两段 AB和 CD对应图 （ 3） ,A B A B B C A B B C A B C C D B C C D C D 得证。 9、 证明图形的对称中心是仿射不变性，图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性？ 证明 ： 设仿射变换 T 将中心对称图形 F 变为图 形 F，点 O 是 F 的对称中心， A， B 为图形 F 上关于点 O 对称的任意一对对称点。 设 T（ O） =O， T（ A） =A T（ B） =B。 T（ F） =F，由结合性，点 A， B在图形 F上； )3(图由简比不变性，（ = (ABO)。 所以 F是中心对称图形， 从而 图形的对称中心是仿射不变性。 如果点 A、 B 关于直线 l（平面 ）对称，则线段 1（ ）。 但仿射变换不保留角的度量，所以当 T（ A） =A， T（ B） =B， T（ 1） =1（ T（ ） =）时，线段 AB不一定垂直线 1（平面 ）。 10、在仿射坐标系下，直线方程是一次的。 证明 ： 设在笛氏坐标系下直线方程为： y+C=0 （ 1） （ x,y）为笛氏坐标，（ x， y）为仿射坐标。 笛氏到仿射的变换式为：121 2 01 2 0 120 ( 2 )x x yy x y 设其逆变换为： 121 2 01 2 0 120 ( 3 )a x a y ay b x b y b 将 （ 3） 式代入 （ 1） ，得 A（ +B (+C=0, 即： (b1)x+(b2)y+=0， 记为 ： 0A x B y C 是 x,y的一次式。 其中 A = B = C =0 且 ,，若不然， ， 1 2 1 21 2 1 200a a a ab b b b 与 矛 盾 。 11、 利用仿射变换式，试求在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的？ （从而明确 理 5 所指常数的意义）。 解 ： A1A2A3 的面积分别以 S, S表示， 11223311121x = 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 1 2 2 1 2 31 1 2 1 2 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 31 1 3 1 2 3 1 3 2 1 3 2 2 3 2 311121a x a y a a x a y aa x a y a a x a y aa x a y a a x a y a 1 1 1 1 2 12 2 1 2 2 23 3 1 3 2 31012 11x y a ax y a ax y a a 12 ()S 常 数 这结果与 2 一 致，三角形（从而多边形或曲线形）的面积经仿射变换后乘以一个常数 k，此地 进一步 明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值，仿射变换式不同，这常数也不同。 12、 在等腰梯形中，两底中心，两对角线交点，两腰（所在直线）交点，这四点显然共线（在对称轴上），试用仿射变换于此图形，得出什么推广了的命题？ 解 ： 设 E， F， Q， P 分别是等腰梯形 底，上底的中 点 ，对角线交点，要腰所在直线交点， T 为仿射变换， 则梯形 梯形 ABCD， E T E为 BC中点， F T F为 AD 中点。 （ =（ BDQ） ,(（ ACQ） , （ =（ BAP） ,(CDP) 且 E， Q， F， P 共线， 由结 合 性得 E， Q， F， P 四点共线，但直线 PE已不是对称轴（ 图 4）。由此得出，任意梯形上、下底中 点 ，对角线交点，两腰所在直线交点凡四点共线。 13、 求仿射变换 3442x x yy x y 的自对应点和自对应直线； 解 ： 求自 对应 点 ： 设 x=x, y =y，因此得 2 4 04 3 0解得 自对应点的坐标为 x=y= 求自对应直线，设任意直线 l（ u,v,w）在所给的变换下的像 1 的方程为： ux+vy+w=0 u (3x y+4)+v (4x 2y) +w =0，或（ 3u+4v） x (u+2v)y+4u+w=0。 若 1 为自 对 应直线，则 u=u， v=v， w=w，因此 3 4 0342 2 0 ( 1 )4 4 1 0v uu v v u vu w w 因为 u， v， w不全为零，所以方程组 (1)有非零解。 故 3 4 01 2 0 04 0 1 解 得 1=2， 2= 1， 3=1， 将 1=2 代入方程组 (1)，得 u= 4, v = 1， w =16。 将 2= 1 代入方程组 (1)，得 u=1, v= 1， w= 2。 将 3=1 代入方程组 (1)，得 u=0, v=0， w=1。 就本章内容而言， =1时，自对应直线不存在，故所求自对应直线为： 4x y+16=0 和 x y 2=0。 第二章 欧氏平面的拓广 1、 证明中心投影一般不保留共线三点的简比。 证 ： 设 等腰三角形（ C） ,过 1, 交 （图 5） ，则 A,在中心 S 的投影下分别是 A,B,C)4(图A 的像点 ， （ = 2 而 （ = 11 ， （ （ , 即 中心投影一般不保留共线三点的简比 。 2、 以下面的坐标表示的 直线是怎样的直线？ （ 1）（ 1， 1 1）； （ 2）（ 1， 1， 0）；（ 3）（ 0， 1， 0）。 解 利用点线结合方程 ： . (1) , , 1, x1+，非齐次化为： x+y 1=0. (2) 或 x y=0。（ 3） 或 y=0 是 x 轴的方程。 3、 求联接点（ 1,2, 1）与二直线（ 2,1,3），（ 1， 1， 0）之交点的直线方程。 解 先求二直线（ 2,1,3），（ 1， 1， 0） 的 交点坐标 ： 1 3 3 2 2 1: : 3 : 3 : 3 1 : 1 : 11 0 0 1 1 1 再求两点（ 1， 1， 1），（ 1， 2， 1） 的 联线的坐标 ： 1 1 1 1 1 1: : 1 : 0 : 12 1 1 1 1 2 所求直线方程为： x1+ 或 x+1=0 4、 求直线（ 1, 1,2）与二点（ 3， 4， 1） ,(5, 3,1)之联线的交点坐标。 解 ： 先求二点（ 3， 4， 1）， (5, 3,1)的 联线坐标 ： 4 1 1 3 3 4: : 1 : 8 : 2 93 1 1 5 5 3 再求二直线（ 1, 1,2），（ 1， 8， 29）的 交点坐标 ： 1 2 2 1 1 1: : 4 5 : 3 1 : 78 2 9 2 9 1 1 8 所求交点坐标为（ 45， 31， 27）。 方程 代表什么？ 代表什么？ 解 ： 方程 表点（ 1， 1， 2）的方程 或表示以点（ 1， 1， 2）为中心的线束方程。 u1+（ = 0， u1+ 表示点（ 1， 1， 0）的方程； 表示点（ 1， 1， 0）的方程。 表示两点（ 1， 1， 0）和（ 1， 1， 0）的方程。 6、 将 2x y+1 表示成 3x+y 2， 7x y 的线性组合，这种表达的几何依据何在？ 解 ： 设 2x y+1=（ 3x+y 2） +（ 7x y） =（ 3+7） x+（ ） v 2， 得方程组 3 7 2121 11,22解 得 ： 2x y+1= 12(3x+y 2)+ 12(7x y)。 依据是若令它们为零，所得三直线共点。 7、 将（ 2， 1， 1）表成（ 1， 1， 1）和（ 1， 0， 0）的线性组合，这说明什么几何性质？ 解 ： 设（ 2， 1， 1） =（ 1， 1， 1） +（ 1， 0， 0） （ 1） 则 211 此方程组无解， 即找不到 和 满足 （ 1） 式，这说明它们表示的三点（线）不共线（点） 。 8、 求直线 x 2y+3=0 上的无穷远点的坐标。 解 ： 是无穷 远直线方程 1 2 332 3 00x x 从而 2, 取 , 得 , 所求无穷远点坐标为（ 2, 9、 下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？ 非平行线段的相等； 不垂直的直线； 四边形； 梯形； 菱形； 平行 移 动； 关于点的对称； 关于直线的对称； 绕点的旋转； 面积的相等。 答 ： 欧 氏； 欧氏； 仿射； 仿射； 欧氏； 仿射； 仿射； 欧氏； 欧氏； 仿射。 第三章 一 维射影几何 设 A、 B、 C、 D、 E 为直线上五点，证明 (D)(E) (C)=1。 证明 : (D)(E) (C) 1A C B D A D B E A E B B C A E B D A C B E 2、 证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点。 证明 ： 设 C 为线段 中点， D为直线 的无穷远点 ， （ D） 1A C B D B C B C 3、 直线上顺序四点 A、 B、 C、 D 相邻两点距离相等，计算这四点形成的 六个 交比的值。 解 :（ 2 2 43 1 3A C B B C （ 13( , ) 4A B C D(1（ 41133 （ 1 3( , )A C B D （ 311 ( , ) 144A B D C （ 1 4( , )A D B C4、 求四点（ 2， 1， 1） ,（ 1， 1， 1） ,（ 1， 0， 0） ,（ 1， 5， 5）顺这次序的交比。 解 ： 以（ 2， 1， 1）和（ 1， 1， 1）为基底。 则（ 2， 1， 1） +1（ 1， 1， 1） =（ 1， 0， 0） 1 1 1 12 1 1 11 0 0 ； （ 2， 1， 1） +2（ 1， 1， 1） =（ 1， 5， 2 2 2 22 1 1 31 5 5 2 所求交比为 1223 5、 设 2,1， 1， 1） ,（ 1， 1， 1） ,（ 1， 0， 1）且（ =2,求点 坐标。 解 ： 以 基底，则（ 1， 1， 1） +2（ 1， 1， 1） （ 1， 0， 1）。 2 2 2 21 1 1 11 0 1 设 1 是基底 3 的参数，由已知条件（ =122 ，且 2=1， 1=2， 因此， 坐标为（ 1， 1， 1） +2（ 1， 1） =（ 3， 3）。 6、 设 A、 B、 C、 D 为共线四点， O 为 中点，且 A明（ 证明 ： A C O O C，由合分比得 O C O A O B O O A O B O C因此 ,A C C O D O B O D（ 1 ( , ) 1A C C B A C B D A B C D B A D B C ， 即 ：， 7、 设 A、 B、 C、 D 成调和点列 ，即 ( 1， 求证 1 1 1 1( ) C A C B证明 ： 由假设得： (1A C B B C A C B D + B C A D = 0 ( 1 ) D D 入 （ 1） 式得 +=0， 化简得： D B+D A=0， D+B D+A=0 2A=D+D （ 2） 以 B （ 2） 式两边，得： 1 1 1 1( ) C A C B8、 证明在 X 轴 上由方程 和 之根所决定的两个点偶成调和分割的充要条件是 2。 证明 ： 必要 性 ，设两方程的根依次是 x1, x1+2112， x1x 2= 2211 x3+2112， x3x 4= 2211 （ 1） 若 ( 1，即1 3 2 41 4 2 3( ) ( ) 1( ) ( )x x x xx x x x 有 （ +（ =0， 2（ （ =0， （ 2） 将 （ 1） 代入 （ 2） ，得：2 2 2 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 12 2 4 0b a a bb a a b 。 充分 性， 以 11 112 2 的两边，得 2 2 2 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 0b a a bb a a b 将 （ 1） 代入上式后按必要 性 步骤倒推即得 ： ( 1。 9、 试证四直线 2x y+1=0,3x+y 2=0, 7x y=0,5x 1=0 共点，并顺这次序求其交比。 证明 ： 以 2x y+1=0 和 3x+y 2=0 为基线表示 7x y=0， 5x 1=0， 7x y=0 与（ 2x y+1） +1（ 3x+y 2） =0 重合 ， 11 1 17 1 0 1 ;2 3 1 1 2 2 5x 1=0 与（ 2x y+1） +2（ 3x+y 2） =0 重合 . 22 2 25 0 1 1,2 3 1 1 2 所求交比为1212 ，由 于交比存在，所以四直线共点。 10、 试证，一角的两边和它的内外分角线成调和线束。 证明 ： 设直线 c、 d 是 a、 b 为边的 角的内外分角线 ， 以直线 1 截 a、 b、 c、 d 分别于 A、 B、 C、 D （ A C B D A C B B C C B A D 1S A S S A （ =（ = 1。 11、 平行四边形，过 A 引 对角线 行，证明 A（ = 1。 证明 ： 设 D=O， D=P（图 7） ， 因此 A（ =（ =（ 1 12、 圆之直径， C 为直径 延 长线上一点，从 C 向圆引切线 明 T 在 的垂直射影 D 是 C 对于 A、 B 的调和共轭点，若 C 在线段 身上，如何作它的调和共轭点？ 证 法 1： 设 O 是 中点， D D 由 本章 6 题结论得（ = 1。 证 法 2： 内外分角线（图 8）， 因此（ =T（ = 1。 如果 C 在线段 部，过 C 作 圆于 T，过 T 作圆的切线交 延长线于 D，则 A， B 调 和分割 C， D， 因为当 C 确定后， T 也确定，所以点 D 唯一确定。 13、 设两点列同底，求一射影对应使 0， 1， 分别变为 1， ， 0 8图6图7图解 ： 设第四对对应点为 x， x， 由于射影对应保留交比不变， 所以（ 01,x） =（ 1， 0x） 由交比性质得：（ 10， x） =(0x， 1) ，即： （ 10x） =（ 0x1）， 展开得： 011 1 0 1 , 1 0110 1 1x xx x x 且14、 设点列上以数 x 为笛氏坐标的点叫做 x，试求一射影对应，使点列上的三点 1,2,3 对 应 于点列 上 三点： （ 1） 4,3,2；（ 2） 1,2,3；（ 3） 1, 2, 3. 解 ： 设第四对对应点 x， x， （ 1） （ 12， 3x） =（ 43， 2x） 152 ( 2 ) 2 ( 3 ) , 5 , 1 001( 1 ) 1 ( 4 )xx 且（ 2） （ 12,3x） =(12,3x)， x=x 为恒等 变 换， 10 1001且（ 3） （ 12,3x） =（ ， x = - x 10 1001 且 15、 当射影对应使一点列上的无穷远点对应于另一点列上 的无穷远点时，证明两点列的 对应线段成定比。 证 法 1： 三对对 应 点 AA ， BB ， CC ，决定射影对应， 设 MM 为任一对对应点，则由（ CM） =（ AB， CM）得： （ =（ ABM）， 即 A M A M A M B M A M B M A B M A M B M A M B M A B 定 比 。证 法 2： 射影变换式为； 0x x d 且 , 或 ： 因为当 x 时， x ， 所以 c=0。 此时射影变换式为： ax ， 或 b=0。 设 x1x 1， x2x 2 为两对对应点，因此 b=0 b=0 式减 式，得 d( =a(1212xx ax x d 定 比 。 16、 圆周上的点和其上二定点相联得两个线束，如果把线束交于 圆周上的两线叫做对应直线，证明这样的对应是射影的。 证明 ： 设 A， A为圆周上二定点， i=1， 2， 3， 4）为圆周上 任意四点（图 9） 9图 A（ =1 3 2 41 4 2 3s i n s i ns i n s i M M A M M A M = 1 3 2 41 4 2 3s i n s i ns i n s i M M A M M A M =A（ 3 。 A（ 3A（ 3 17、 从原点向圆（ x 2） 2+(y 2)2=1 作切线 t1,求 x 轴， y 轴， t1,这次序的交比 。 （设 邻近 x 轴的切线） 解： 设直线 y=圆相切，则22211，两边平方得： 23 8 3 0 ， 解得： = 近 x 轴， 斜率为 47.3斜率为 473， 因此 y 473x=0， 方程为 y 473x=0， 故（ t1,=12 4747 。 18、 设点 A（ 3， 1， 2）， B（ 3， 0）的联线与圆 x2+5x 7y 6=0 相交于两点 ，求交点 C， D 及交比（ 解 ： 圆方程齐次化： 57, 设直线 任一点的齐次坐标是（ 3+3， 1 ， 2） ， 若此点在已知圆上，则 （ 3+3） 2+（ 1 ） 2 5（ 3+3） 2 7（ 1 ） 2+622 =0， 化简得： 102 10=0， 1=1， 2=直线 圆有两个交点 ， 设 1， 2分别对应的交点是 C， D，则 C 的坐标是（ 3,0,1） ， D 的坐标是（ 0,1,1） 且（ =12 = 19、 一圆切于 x 轴和 y 轴，圆的动切线 m 交两轴于 M 及 M，试证 M M。 证明 ： 设圆半径为 r， M（ a,0）， M（ 0， b）， a， b 为参数（图 10） ， 则 m 的方程为 1或 bx+， 由于 m 与圆相切， 因此22b r a r a ， 此式两边平方， 得 22或 22 2212 2022 r 点 M， M的参数间有一个行列式不等于零的双一次函数， 故 M M。 10图20、 x 表直线上 点的 笛氏坐标，这直线上的射影变换 , 0,在什么条件下以无穷远点 作为二重点。 解 ： 设 x=x是无穷远点，因此 x= = 0 所 以 ， 以 无 穷 远 点 作 为 二 重 点 的 射 影 变 换 是, , a x b a b 其 中 21、 设两个重迭一维射影几何形式有两个二重元素 证明它们之间的对应式可以写作1122 ,k 是个常数 。 证明 ： 已知 2， 2，设 1 1 是第三对对元素， 是任一对对应元素 ， 因为三对对应元素 确定 唯一射影对应， （ 1） =（ 1），因而 1 1 2 1 1 21 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )S S S S S 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 22 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S S S S S S S S S 故 ： 其 中 k= 22、 设 对合对应的二重元素，证明这对合可以写作 : 11220 证明 ： 设 是对合对应下任一对对应元素，从而（ ） = 12211 或1122 11220 23、 一直线上点的射影变换是 x= 324，证明这直线上有两点保持不变，且这两点跟任意一对对应点的交比为一常数。 证明 ： 设固定点为 x=x ，所以 x(x+4)=3x+2，即 x2+x 2=0，解得固定点为 x= x=1 设任一对对应点为 x， 324， 交比：（ 1， 2， x 324） = 5 ( 1 ) ( 2 ) 5 ()2 ( 2 ) ( 1 ) 2 常 数24、 试证对合对应的二线束中，一般只有一对互相垂直的对应直线，若有两对互垂的对应直线，则每对对应直线都互垂。 13图证明 ： 取二线束公共顶点为原点，取对应线的斜率为 、 ，则对 合方程为 b(+)+d=0, 且 ， 互垂对应线应满足 = 1， 所以 ( ) 01a b d 2 2 2( ) 0 ( 1 ) ( ) 4 0b a d b a d b 所以 当 方程 （ 1） 有两个不等实根 1， 2时，只有一对互垂对应线， 这是因为 12= 1,因而 1= 11 =2， 2=21 =1。 当方程 （ 1） 有两个相等实根时，必须 a d=0， b=0，这时对合变为 = 1， 每对对应线都互垂。 25、 设 A， A； B， B； C， C是对合的三对对应点，试证（ （ （ =1。 证明 ： 由对合对应的相互交换性，有 AA ， BB ， AA ， CC ， 所以（ AC） =（ AB， 于是得 1A A B C A A B C B C B C A C B A C B A A C B A A C B A A C B A B C C A A B （ （ （ =1 26、 定圆直径，作一组圆 使其中心都在直线 并且都跟定圆正交，证明这组圆跟直线 交点构成一个双曲对合。 证明 ： 设圆 O是与定圆 O 正交的任一圆， T 为一个交点，且圆 O与直线 于点和P（图 11） 已知 OT， P即 P 点 P， P是以 A， B 为二重元素， O 为中心的双曲对合 的一对对应点。 27、 O 是笛氏正交坐标的原点， A 是 y 轴上一定点，以 A 为顶点的直角绕 A 旋转，证明直角两边被 x 轴所 截的点偶构成一个椭圆型对合。 证明 ： 设直角边交 x 轴的任意两个位置为 12） 设 k，则 A2=k， 因为 x 轴上的位置为一正一负， 故 0， 因而 在 x 轴上构成椭圆型对合 第四章 代沙格定理、四点形与四线形 1、 设 顶点， A， B， C 分别在共点的三直线 ， ， 上移动， 11图12图且直线 别通过定点 P 和 Q，求证 通过 一个定点 （ 图 13）。 证 ： 设 上的一个定点， 于 于 则 13）。若 R 是定直线 Q 的交点，从而 R 是 的定点，若 合于条件的， 因为在 点， 根据代沙格定理， P， Q 及 C 共线，即 过 Q=R（ 定 点）。 2、 二顶点 A 与 B 分别在定直线 和 上移动，三边 别过共线的定点 P， Q，R，求证顶点 C 也在一定直线上移动。 证 ：设 =0（定点）， 满足条件的定三 角 形， 满足条件的任意三角形。 C=Q， C=R。由代沙格定理逆定理得， 三线 点 O，即 C 在定直线 移动（图 14）。 3、 设 P， Q， R， S 是完全四点形的顶点， A=R， B=S， C=S， 证明 CAB点共线。 证 ： 在 （图 15）， 点 S。 对应边的交点 BAC点共线。 4、 已知线束中的三直线 a， b， c 求作直线 d 使（ = 1。 解 ： 设线束中心为 S，以直线 1 分别截 a,b， c 于 A， B， c 上 任意取一点 Q，联 d 于 R，联 a 于 P，联 1 交于 D （图 16），则直线 所求。 因为， 成一完全四点形， （ = 1， 从而（ =（ = 1。 14图15图16图 5、 设 三高线， C=D，求证（ D） = 1， 在等腰三角形 C 的情况，这命题给出什么结 论？ 证明 ： 设 P 为 垂心，由完全四点形 17）的性质， 得（ = 1。 在等腰 ，若 C， D 为垂足， 因而 D 为 中 点 。 （ = 1， 所以 D为 线上的无穷远点， 因而 即在等腰三角形中，底边的顶点到两腰的垂足的联线平行于底边。 第五章射影坐标系和射影变换 1、 将一维笛氏坐标与射影坐标的关系 ： , 0 ( 1 ) 以齐次坐标表达。 解 设一维笛氏坐标系中，一点的坐标为 x，则齐次坐标为（ 且 x12 一点的射影坐标为 ，齐次坐标为（ 1,2）且 =12 ，将 和 x 代入关系式（ 1） 有112122 ， 化简得：121 2 1 21 ( 0 )x x x x 令 1 1 22 1 20 且 为 齐 次 变 换 式 。 2、 在直线上取笛氏坐标为 2， 0， 3 的三点作为射影坐标系的 2, E， (i)求此直线上任一点 P 的笛氏坐标 x 与射影坐标 的关系；（ 有没有一点，它的两种坐标相等？ 解 ：笛 氏 坐标 0 2 3 x 射影坐标： E （ i）由定义 =（ =（ 2 0， 3x） = ( 3 2 ) ( 0 )( 2 ) ( 3 0 ) 3 6 10 603636 故 ： ， 且( 若有一点它的两种坐标相等，即 x=则有36xx x ，即 37x=0， 17图 当 x=0 及 x=73时两种坐标相等。 3、 在二维射影坐标系下，求直线 方程和坐标。 解 ： 坐标三角形顶点 1， 0， 0） ,0， 1， 0） ,0， 0， 1）和单位点 E（ 1， 1，1） 设 P（ 直线 任一点，其方 程为： 1 2 31 0 0 01 1 1x x x 即 ， 线坐标为（ 0， 1, 1） 直线 方程为： 1 2 30 1 0 01 1 1x x x ， 即 ，线坐标为（ 1， 0， 1）； 直线 方程为： 1 2 30 0 1 01 1 1x x x ， 即 ，线坐标为（ 1， 1， 0） 4、 写出分别通过坐标三角形的顶点 直线方程。 解 ： 设平面上任意直线方程为 ， 过点 ， 0， 0)时 ，即为 ， 过点 ， 1， 0)时 ，即为 ， 过点 ， 0， 1)时 ，即为 。 5、 取笛氏坐标系下三直线 x y=0， x+y 1=0， x 2=0 分别作为 坐标三角形的边