高等数学c1-3.1.2函数的连续性(改）

复习 求极限方法：用极限运算法则； OM；无穷大与无穷小互倒；消去零因子；分母有理化；充要条件等。 求极限类型： 两个重要极限 一、第一个重要极限二、第二个重要极限常用的等价无穷小，当第三节 函数的连续性 一、函数的连续性 二、初等函数的连续性 三、函数的间断点 四、闭区间上连续函数的性质 一 . 函数的连续性函数 f(x) 满足： 则称函数 f(x) 在 x0 处 连续 ，并称 x0为函数差值 u2-u1称为变量 u 在 u1 处的 增量 , 记成定义 ，f(x) 的 连续点 增量 变量 u 从初值 u1 变化到终值 u2, 则u, 即 u=u2-u1变量 u 的增量可以是正数、负数或零 函数的增量当自变量 x在此邻域内的 增量 x (= x- x0)趋于零 时 , 函数的相应 增量 y无限逼近零 ,定义 1 函数 f(x) 在 x0的某一邻域内有定义 , 即 则称函数 f(x) 在点 x0 处 连续.单侧连续定义 若函数 f(x) 在 x0 处 , 有 f(x0+)=f(x0)(或 f(x0-)=f(x0) )， 则称函数 f(x)在 x0处 右 (左 )连续 函数 f(x)在 x0处连续的充要条件是 f(x)在 x0 处左连续且右连续如果函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内的每定义一点都连续 , 则称函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内 连续 如果函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内连续，且在 a 点右连续、在 b 点左连续，则称函数 f(x) 在闭区间 a,b 上连续 函数 f(x)在它的定义域内的每一点都连续 , 则称 f(x)为 连续函数 从几何直观上看，区间上的连续函数的图象是一条不间断的曲线基本初等函数在其定义域内都连续。例 1函数 f（ x） =x+1在 x=2处的连续性解 f（ 2） =3例 2 讨论函数 在 x=0 处的连续性 解 因为所以 f(x) 在 x=0处连续 例 3 讨论函数 在 x= 处的连续性 例 4解右连续但不左连续 ,二、初等函数的连续性 1.连续函数的和差积商的运算 若函数 f(x)、 g(x) 都在 x0 处连续 , 则定理 1函数 f(x)g(x)、 f(x)g(x) 也在 x0 处连续 若函数 f(x)、 g(x) 都在 x0 处连续，定理 2g(x0)0, 则在 x0 处 函数 f(x)/g(x) 也连续 例 5 证明三角函数是连续函数 证 我们只证 cot x的连续性 :任意 x0 R, x0k(k Z), 由 cos x、 sin x都在 x0连续，且 sin x00， 据定理 2, 在 x0 处连续，从而 cot x为连续函数 2.复合函数的连续性 设函数 u=(x) 在 x0 处连续且定理 3函数 y=f(u) 在 u0 处连续，则复合函数 y=f(x)在 x0处连续u0=(x0),注 : 定理 4中 x x0换成 x 等其它情形，结论也成立定理 4 设则 :即极限符号 “lim”与连续的函数符号 “f ”可以交换次序函数 y=f(u) 在 u0 连续,推论 设则 :例 6 求 解 因为 , y=sin u在 u= 处连续，由定理 4的推论得 例 7 求 解 因为 y=cos u在 u=处连续，由定理 4的推论得 = cos= -1 由基本初等函数的连续性，常值函数在任一区间内的连续性，以及本节定理 1、定理 2和定理 3得到以下重要结论： 一切初等函数在其定义区间内连续 因此求初等函数 f(x)在其定义区间内的点 x0处的极限，直接可用 来求 基本初等函数在其定义域内都连续 .例 8 计算例 9 求 解 由于 x0 时，此极限是 “ 设法约去分子、分母的公共零因式，”型，因此要可用 有