高中物理教学论文：用图像法巧解临界问题

1用图象法巧解临界问题物理图象是形象描述物理状态、物理过程和物理规律的常用工具，是应用数学知识解决物理问题的一个重要方面。正确的物理图象，能给我们分析物理问题时提供直观清晰的物理图景，图象往往能把与问题相关的多个因素同时展现出来，这样，既有助于我们在分析问题时对相关的基本概念、基本规律的理解和记忆，也有助于我们正确地把握相关物理量间的定性关系乃至定量关系，有的问题甚至通过图象便可直接得到解答。图象法在处理临界问题时往往可以把繁杂的数学推导简化，其作用体现得尤为突出。下面就举例说明利用图象法处理几类临界问题，由此来体味其在处理临界问题时的巧妙之处。一、用图象法巧解最大射程问题例题 1：在仰角 30 o 的雪坡上举行跳台滑雪比赛，如图一所示，运动员从高处滑下，能在 O 点借助于器材以与水平方向成角的速度 v 跳起，最后落在坡上 A 点。假如 v 的大小不变，那么以怎样的 角起跳能使 OA 最远？最远距离为多少？解析：将运动员的运动看成与水平成 角的匀速直线运动和一个自由落体运动的合运动，如图二所示，在三角形 OAB 中用正弦定理有：vt/sin（ 90o-） （gt 2/2）/sin （+）L/sin（ 90o-）解上方程组可以得到：Lv 2sin（2 ）sin /gcos 2当 2 90 o 时，也即 45 o /2 时，有最远距离：L mv 2sin1/gcos 2例题 2：在离水平地面高为 h 的地方，以一定的速率 v0 抛出一石子，不计空气阻力，试求应以多大的仰角将石子抛出，才可使其水平射程最远？解：设石子落地时速度大小为 v，则根据机械能守恒定律有：mv02/2 mghmv 2/2 可得：v(v 022gh) 1/2可见不管沿何方向抛出石子，石子落地速度的大小都为同一个确定的值。又设石子在空中运动的时间为 t，则根据运动学公式应有：vv 0gtv、 v0、 gt 三个矢量组成一个封闭三角形，如图三所示，其中 gt 沿竖直向下的方向， 表示 v0与水平方向的夹角。由抛体运动公式可知石子的水平射程为：x v0cost而图三所示的面积为：Sv 0cosgt/2比较以上两式可得：x2S/gvv0gt图三vOAL图一vtOALgt2/2B900-900-图二2显然，要 x 最大，则需 S 最大。由于 v0 和 v 的大小都是确定的，故当两者互相垂直时，它们所围成的三角形面积最大，此时角 应满足：tgv 0/vv 0/(v02 2gh)1/2即当抛射仰角 arctg v 0/(v02 2gh)1/2时，石子的水平射程最远。二、用图象法巧解相遇的临界问题例题 3：一辆邮车以 v10m/s 的速度沿平直的公路匀速行驶。在离此公路 d50m 处有一个邮递员，当他与邮车的连线和公路的夹角 tg 1 （ 1/4）时开始沿直线匀速奔跑，如图四所示。已知他奔跑的最大速度为 5m/s。试问：（1）他应向什么方向跑，才能尽快与邮车相遇？（2）他至少以多大的速度奔跑，才能与邮车相遇？解析：（1）以邮车为参照系，邮递员欲在最短时间内与邮车相遇，其相对速度 v 人地 必须指向邮车，且应以最大速度 v5m/s 奔跑。由相对运动公式可知：v 人地 v 人车 v 车地在图五中的矢量三角形中，v 车地 的大小和方向都是确定的，v 人地 的大小确定（5m/s） 、方向可变，v 人 车 的方向确定（指向车） 、大小可变。以 O 点为圆心，以 v 人地 的大小为半径作圆，与 v 人车 的平行线交于 B、 C 两点，OB 便是 v 人地 的方向。在三角形 AOB 中，用正弦定理有：v 车地 /sinv 人地 /sin 已知 tg1/4，即 sin1/(17) 1/2,代入上式可得：sin 2/(17) 1/2所以当邮递员以最大速度 5m/s，沿着与公路的夹角： tg 1 （1/4）sin 1 (2/17)1/2 的方向奔跑时，就能在最短时间里与邮车相遇。（2）如图五可知，当 OB 与 AB 垂直时，OB 具有最小值，当 90 o 时 v 人地 具有最小值。最小值为： v 人地 v 车地 sin5/(17) 1/2（m/s）所以，当邮递员沿着与公路的夹角：90 o90 otg 1 （1/4）的方向奔跑时，他能以最小速度 5/(17)1/2（m/s）与邮车相遇。例题 4：从地面上以初速度 2v0 竖直上抛物体 A，相隔t 时间后再以初速度 v0 竖直上抛物体 B，要使 A、B 在空中相遇， t应满足什么条件？解析：依题意作出两物体竖直上抛运动的 s - t 图，如图六所示。实线 A：表示 A 物体从 0 时刻开始竖直上抛，经 t14v 0 /g落回地面；实线 B：表示经t 时间后 B 开始竖直上抛。两物体要相遇的条件是相同时刻两物体具有相同的位移，即两实线要有交点。由于 B 物体在空中运动的时间 t22v 0 /g，依此作出两虚线：表示 B 要想与 A 相遇的临d图四tsOA2v0/g 4v0/g 6v0/gt 图六BO AB v车地v 人地v 人车图五3界条件，即 B 在 t2v 0 /g 时刻上抛，在落地时与 A 相遇，和 B 在 t4v 0 /g 时刻上抛，在抛出时与 A 相遇。由图像可直接看出t 满足关系式 2v0 /g t 4v0 /g 时，A、B 可在空中相遇。三、用图象法巧解力的平衡的临界问题例题 6： 如图七所示，横梁（自重不计）的一端用铰链固定在墙壁上的 A 点，另一端 B 用绳子悬挂在墙壁上的 C 点，当重为 G 的物体由挂在 B 处逐渐向 A 移动的过程中，横梁始终保持静止，问此过程中，A 点处的铰链对横梁的作用力 F 和 CB 绳的拉力 T 将如何变化？F 的最小值为多少？解析：横梁受三个力作用，即：悬挂重物的绳对它的拉力G，BC 绳对它的拉力 T 和铰链对它的作用力 F，由于此三力互相平衡，则此三力必共点。G 与 T 的作用线必交在 BC 线上，则 F 也必然指向这一交点，当G 由 B 移向 A 时，上述交点则沿绳 BC 由 B 移向 C，对应的 F 的方向则是由水平向右逐渐向竖直向上靠拢。作出表示横梁所受三力的矢量组成的封闭三角形如图八所示，由上分析可知，当所挂重物由 B 逐渐移至 A 时，铰链对横梁的作用力 F 可依次用图中的矢量 F1、F 2、 F3、F 4表示，由图可见，CB 绳对横梁的拉力 T则是由大一直变小，其方向总是沿 BC 方向；在这一变化的过程中，铰链对横梁的作用力是先变小后变大，其方向是由水平逐渐变为竖直，当此力的方向与 BC 垂直时，此力的值最小，最小FminG sin。四、用图象法巧解最短时间问题例题 7：在一竖直平面内有一圆环及一点 A，如图九所示，今有一质点自 A 点由静止出发沿一光滑斜面滑至环上，问斜面应沿何方向架设才可使质点滑行的时间最短？解析：假设有某一倾角为 的斜面 AB，如图九所示，并作 AB 延长线交环周于另一点C，再过 C 点作水平线与 A 点的竖直线交于 D 点。作切线 AG，G 为切点，则 AG 为恒量。设质点由 A 滑至 B 所用的时间为 t，质点下滑的加速度为 a，则：agsinABat 2/2所以：t 22AB/ gsin2ABAC/ gAD由圆的切割线定理有：ABACAG 2可得：t 22AG 2/gAD可见要 t 最小，即需 t2 最小，其条件是 AD 应尽可能大。由图可知，D 点的极端位置对应于将 C 点移至圆环的最低点 F 而得，由此得知，应将此斜面沿 AF 连线方向架设，才可使质点滑行的时间最短。A BCG图七七TGF1F2F3F4图八ABC DE图九GF4五、用图象法巧解光路行进问题例题 8：如图十所示，人在地面上的 A 点，其前面有一堵墙，现要求人以大小为 V 的走向墙壁