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文档简介

“极值法”求数列的最大项数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但是如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例 若数列 的通项公式 ，求 的最大项.na9(1)0nnana解：设 是数列 中的最大项，则 ，即1,(2)na 19(1)(),092.0nn解，得 ， 又 ， 或 9， .89nN8n9881a当 时， ，198510a 的最大项为 .n988对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问 1：为什么要单独讨论 的情况？1n分析：由于 这个不等式中出现了下标 ，而数列中的项1,(2)na 1n应该从 1 开始，因此 ，即 。故应考虑 的情况.n疑问 2：用 这个不等式组求出的 一定是最大项吗？1,(2)na na分析：用 求出的 不一定是最大项，而只是比前后两项都1,()nana不小的项，也就是数列这个特殊函数的极大值.疑问 3：用 这个不等式组求出的项唯一吗？1,(2)na分析：正如一个函数可能有多个极大值一样，一个数列中很有可能存在很多个比前后两项都不小的项，因此这样求出的项不唯一.疑问 4：如果用 这个不等式组求出的 有多个，那么如何处1,(2)na n理？分析：将求出的这些 对应的项比较大小，取最大者，然后与 比较.n 1a疑问 5：为什么要与 比较？1a分析：由于这个不等式组求得的是 时的最大项，因此还需要与 比较，2n1二者最大的即为 的最大项.正如我们在求函数最大值时，采取比较端点值和n极大值的方法，原理是一样 的.疑问 6：若不等式组 无解，又该如何处理？1,(2)na分析：若此不等式组无解，那么此数列无极大项，因此最大项只可能在首项或末项取得.这与当函数无极大值时，最大值必在端点处取得的原理一致.疑问 7：若 求得两个相邻的正整数，也要比较这两项的大小吗？n分析：像本道例题中， 或 9，而我 们发现 ，同 为该数列的最898810a大项.对于一般数列 ，若用这种方法求出两个相邻的正整数 ，则na ,1m.因此，它们对应的项大小相等，不必另行比较.1,ma1m疑问 8：若数列对应的函数具有单调性，也能用这种方法求其最大项吗？分析：若函数具有单调性，则不等式组 无解，问题又回归1,(2)na到疑问 6，最大项即为首项 或末项（若该数列是有穷数列，只需比较首、末两 项，择其大者，即为最大项；若 该数列是无穷数列， 则最大 项要么为首项，要么不存在，视该数列的单调性而定）.通过对上述疑问的一一分析，对其进一步探究，我 们发现：“ 极值法”求数列最大项的原理与“ 极值法”求函数的最大值一致.因此，我们可以得出结论：“极值法”求数列最大 项是求数列最大 项的通法.可见，只要我们对问题深入分析研究，找出各知识点之间的联系，我 们
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