高三数学一轮复习导学案《等差数列及其性质应用》

高三数学一轮复习导学案等差数列及其性质应用【学习目标】1. 通过课前预习，学生理解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系2通过课堂探究，熟练掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式及其性质3通过课堂探究，使学生能用有关知识解决相应的问题【重、难点】1. 等差数列的判断与证明;2. 等差数列的通项公式与前 n 项和公式;3、等差数列的性质及应用课前预习一、 【知识回顾】1等差数列的概念与公式相关名词 等差数列 na的有关概念及公式定义 1na 或 1n (2)n通项公式 前 n 项和公式 ns 等差中项 数列 ,aAb成等差数列的充要条件是 ，其中 A叫做 ,ab的 2. 等差数列的性质 na为等差数列，则 m= n . 为等差数列，若 *,Nqp，且 qpn，则 . n为等差数列，则 ns， n2， s23，仍为等差数列，公差为 .二、 【回扣课本】1、-401 是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？（43 页例 1）2、已知数列 na的通项公式为 qpan,其中 ,为常数，且 0p,那么这个数列一定是等差数列吗? （44 页例 3）3、已知一个等差数列 n前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，有这些条件能确定这个等差数列吗? （50 页例 2）4、已知等差数列 ,743,5的前 n 项和为 ns，求使得 ns最大的序号 的值（51 页例 4）三、 【双基自测】1(教材习题改编)等差数列 na的前 n 项和为 Sn，若 ,3,12a则 4s( )A12 B10 C8 D62已知 na为等差数列， ,1282则 5等于( )A4 B5 C6 D73设数列 n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 ,30256Sa且 则 8s等于( )A31 B32 C33 D344(2012杭州质检)设 Sn是等差数列 n的前 n 项和，已知 ,1,62a则 S7等于( )A13 B35 C49 D635在等差数列 na中， ,6,7253a则 _.高考展示与预测从近两年的高考试题来看，等差数列的判定，等差数列的通项公式、前 n 项和公式以及与前 n项和有关的最值问题等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，主要考查对概念的理解及性质的灵活运用，考查基本运算能力，注重考查函数方程、等价转化、分类讨论等思想方法【预测 2013 年高考会这样考】重点考查运算能力与逻辑推理能力。1考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题2考查等差数列的性质及综合应用【2012 高考山东文 20】已知等差数列 na的前 5 项和为 105，且 1052a.()求数列 na的通项公式；()对任意 *mN，将数列 n中不大于 27m的项的个数记为 mb.求数列 m的前 m 项和 S.【答案】 (I)由已知得： 11505,9(4)da解得 1,7ad,所以通项公式为 7()7nn.(II)由 2mna，得 21m，即 21mb. 211497kb， m是公比为 49 的等比数列， ()(491)18mmS. （课本原型 52 页习题 1（3） ）【2012 高考重庆文 16】已知 na为等差数列，且 13248,aa（）求数列 na的通项公式；（）记 na的前 项和为 nS，若 12,kaS成等比数列，求正整数 k的值。课堂探究考点一：等差数列的判断与证明【例1】 完成下表【例 2】 在数列 na中， ,1 nna2.设 1nab，证明：数列 bn是等差数列【练习 1】 (2012.银川模拟)数列 na中， ,21， ,a 12nna (n2， nN *)，则其通项公式为 na_.方法总结：判断或证明数列 n为等差数列，常见的方法有四种方法：1利用定义：2利用等差中项：3利用通项公式： 11nadnad()()，d 为公差当 d0 时，数列 na的通项公式是关于 的一次函数；d0 时为常数数列，也是等差数列；4利用前 项和公式： 211ns n()， 当 d0 时，数列的前 n 项和 s为关于 n的二次函数且不含常数项，若 d0，则此数列为常数数列。.考点二：等差数列的基本运算【例 3】(2011福建)在等差数列 na中， 3,1a.(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列 的前 k 项和 5ks，求 k的值方法总结：等差数列的通项公式 dnan)1(及前 n 项和公式 ,2)1(2)(11dnans共涉及五个量 ,1nsda 量 ）是 等 差 数 列 的 两 个 基 本和1( 知其中三个就能求另外两个，体现了用方程思想解决问题的方法考点三：等差数列的性质【例 4】设等差数列的前 n 项和为 Sn，已知前 6 项和为 36， Sn324，最后 6 项的和为 180(n6)，求数列的项数 n.式子 结论 通项公式+12nana是等差数列 12na()1nn221()13nna122()nna【练习 2】(1) 在等差数列 na中， 10,a,则 _10(2) (2011重庆高考)在等差数列 中， 373，则 8642aa.(3)等差数列 na、 b的前 n 项和分别为 nTS,，且 ，求 8b的值(4)已知等差数列 n的前 n 项和为 Sn，且 S1010， S2030，则 S30_.方法总结：1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系3. 性质 na为等差数列，若 *,Nqpnm，且 qpm，则 qpnmaa往往与公式 Sn 结合应用。na1 an2考点四: 等差数列前 n 项和的最值【例 5】 在等差数列 a中，已知 ,201前 n 项和为 ns，且 105s，求当 n取何值时， ns取得最大值，并求出它的最大值 方法总结：求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值(2)利用等差数列的前 n 项和 s为二次函数，根据二次函数的性质求最值巩固练习1若 na是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有 ( ) 3 2n na1 n2 naA1 个 B2 个 C3 个 D4 个2.【2012 高考真题辽宁理 6】在等差数列 n中，已知 ,1684则该数列前 11 项和 S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)1763.在等差数列 na中， 0,166473a，求 n的前 项和