试论数学思想在数学实验教学中运用

1初中数学论文试论数学思想在实验教学中运用【摘要】：有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，如何让学生在数学实验教学活动中自主探索，合作交流，建构学习过程，让学生“看到数学建造过程的脚手架而不是简单的现成品”，作为组织 者引导者合作者的数学教师，在新 课程改革 实施过程中， 尝试以整体化，分类讨论，特殊到一般，数形 结合等数学思想来设计指导数学实验教学，不失为一条搞好数学教学促进学生自主学习的有效途径。【关键词】数学实验 操作 整体 分类 特殊到一般 数形结合提起实验教学问题，我们往往都认为是物理化学生物等学科的事情。在传统数学教学上几乎没有实验课。数学家欧拉曾说过：“数学这门科学需要观察，也需要试验。 ”可喜的是“数学试验”近几年来以被越来越多的教育者关注，因为它符合新课程标准提出：有效的数学活动不能单纯的依赖模仿与记忆，而动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学实验教学是指恰当运用数学实验或模拟现实条件，引导学生通过参与实践，动脑动手，自主探索，观察思考与合作交流等过程中，提出猜想，探索及创造性解决问题的方法的一种教学活动。而运用数学思想方法来分析问题、解决问题是形势所趋,特别在近几年运用数学思想方法来解题是中考考查的重点和热点问题，因此在平时的教学中我们要善于挖掘各种概念，性质，定理，习题所蕴涵的数学思想,并进行加工提炼,充分挖掘学生的发散思维能力。本人结合个人教学实践，以常见的整体化，分类讨论，特殊到一般，数形结合等数学思想来设计指导数学实验教学：一、运用整体化的思想设计数学实验教学一道数学题构成一个系统,对系统的处理（解题）要借用系统科学的思想方法.事实上，题目中的所有信息都是一个有机的整体，各部分之间的精彩配合是解题成功的必要前提，有人称之为“整体方法”或“整体策略” ，而实质上是整体思想,它是系统科学中的整体性原理在解题中的应用。【案例】 （幻方填数实验）把“1、 2、3、4、5、6、7、8、9”九个数分别填入图 1的九个空格中，使每行、每列、每条对角线上的 3 个数相加的和都相等。1、 师生解题策略分析：(1) 学生解题策略分析：为了容易表述，现将九个方格子上的数字分别记为 a、b、 、i（图 2） 。首先，从图形及数字的对称性，容易产生直觉，e 处的数字填 5。然后可以发现 a+i=b+h=c+g=d+f，这样就把这八个数分成四组(a,i)、(b,h)、(c,g)、(d,f)，很显然，它们与 (1,9)、(2,8) 、(3,7)、(4,6) 一一对应，从而说明每行每列各数之和是 15。接着尝试实验，取 a=1，则 i=9，由于 b+c=d+g=14，而它们四个数的和的最大值=5+6+7+8=3628，所以 a=1 尝试失败。a b cd e fg h i图 2图 12继续尝试实验，取 b=1，h=9，此时易想到 a、c 对应着 6、8，然后就不难得到九宫格中的各数了。(2) 教师的解题策略分析：首先，不管怎么填，这九个数的和是不变的，等于 45（不变量 1） ，根据每行的和相等，可得每行的和等于 15（不变量 2） 。然后，根据(a+e+i)+(c+e+g)+(b+e+h)+(d+e+f)=415=60，得 45+3e=60，解得 e=5（不变量 3） 。接着再进行上述的尝试。2、 实验步骤设计(1) 给出问题，学生尝试填数。题意简明易懂，学生完全能够自主实验，探索结论。(2) 学生相互交流、讨论。学生之间的差异是客观存在的，让学生进行相互交流讨论，可以发挥出学生的教育资源。(3) 收集学生的答案，逐一比较。各小组之间的答案如下图所示：2 9 47 5 36 1 8图 3 图 42 7 69 5 14 3 8收集学生的答案之后，引导学生对比图 3 与图 4 的两种填法，可以发现将图 3 沿对角线折叠，可得图 4 的结果；再引导学生对比图 3 与图 5 的两种填法，可以发现将图 3 沿顺时针方向旋转就可得到图 5 的结果； (4) 提出问题，引导探索对比了各种答案之后，容易想到，如果把经过旋转、对称变换后完全一致的两种填法视为一种，那么到目前为止，我们只有一种填法。从而自然地引出，这个问题只有一种填法，还是不止这一种填法？显然，学生会对 e 的各种不同情况进行分类讨论，再进行实验，反思。(5) 抓住不变量，整体把握再次引导学生思考：运用分类讨论的思想我们解决了这个问题，但过程很繁琐，本题有无简单易行的解法呢？在实验的时候我们着眼于各个具体的方格，感觉各个位置上的数字都会有许多种可能性，这样的一一判别很繁琐，现在我们换一种方式去思考，能否从整体上进行把握，哪些量是不会改变的？通过老师的逐步引导，学生可以发现其中的不变量，从而解决这个问题。(6) 对比反思，提炼思想最后引导学生对两种解法进行对比，提炼出其中的数学思想。通过学生实验，学生在实验中利用直觉提出猜想，进而检验，得到问题的解，经历了数学探索的第一个历程。正当学生沾沾自喜之际，就地取材，汇总学生答案，对答案进行比较，引起思考，学生就不会满足于仅仅填出答案，激起探索热情。通过问题引导他们进行深入地思考，从而使学生感受到抓不变量的整体化思想。由于前一方法繁琐只关心特解，6 7 21 5 98 3 4图 53而后一方法可从总体上认识问题，使学生产生强烈的对比，就能深刻体会到整体化思想。二、运用分类讨论的思想设计数学实验教学新课标中已提出了“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的，探索性的数学活动中” ；在平时教学中教师要有意识地把信息技术与初中数学实验教学相整合， 利用信息技术为学生提供快速运算功能和图形处理能力，模拟再现问题情境，能引导学生自主探索数学知识、检验数学结论(或假设)的数学活动例如探究圆周角定理的探究：探究圆周角定理的关键是分类讨论。从书本所提供的图形，学生是比较容易发现推理思路的，但却不能解决为什么要分类与怎样分类两个基本问题。打开几何画板，动态演示圆周角的顶点 A 在弦 BC 所对的一条弧上运动，显示出A 的大小不变，与圆心角BOC 比较，前者都等于后者的一半，用推理的方法证实这个猜想并不困难。继续拖动点 A 到另外适当位置（如图右），问：面对这一位置，上面的推理还成立吗？学生就会发现推理过程必须改变。通过动态演示学生很清楚为什么要分类与怎样分类是产生于圆心与A 的位置关系，有三种情况，圆心在A 的一条边上，在A 的内部，在A 的外部。这样，从特殊到一般的分类思想就自然产生了。平时教学中，如果能够坚持不懈，凡提到分类问题时，巧妙地进行一些纵横联想，再介入计算机的实验操作能使问题更明了，条理更清晰。若这样长期的渗透，使学生初步明确分类的每一种意义下都应该有明确的标准，同一种事物按不同的标准则有不同的分类，应该是不重复和不遗漏的，使学生在获得大量感性认识的基础上，对分类的实质在脑中逐步产生“悟化”，培养了学生的思维能力。三运用特殊到一般的思想设计数学实验教学著名数学家和数学教育家 G玻利亚曾精辟地指出: “数学有两个侧面,一方面它是欧几里得式的严谨科学,从这个方面看 ,数学像是一系统的演绎科学 ,但另一方面创造过程中的数学,看起来却像一门实验性的归纳科学 ”.。因此教师需要在数学课堂教学中凭借自己的才智，于平淡中见神奇，去点燃学生好奇的心灵之火，激励他们投入到富有挑战的实验探索之中。例如：已知等腰ABC， A=36。，B=C=72。，将 ABC 分割成三个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形。DE CAB 1DECAB 2DECAB 3DECAB 4OCAB 54学生探索的欲望油然而生，促使他们精神集中，开动脑筋，尝试探寻各种可能的解决方法，突出了学生的主体性，创造的灵感和顿悟也可能由此产生。 （虚线表示分割线段） 你可以 继续 分割，得到更多的等腰三角形 吗？在第一次实验成功的情况下，同学们情绪高昂，开始动手操作，并且积极开展同学之间的讨论、研究。得到了许多的分割图形。 从这 个问题 中，你得到了什么结论？学生通过自己实验、验证或举 反例后，最后得出 结果：对于方案 1，方案 2，方案 3，方案4，由于经过分割后又出现了 360、720、720 的等腰三角形，所以可以继续进行分割，甚至可以分割出 n 个等腰三角形。但是，由于方案 5 破坏了 360、720 的特殊关系，所以不能继续进行分割。 你能提出 类 似的问题吗？在对特殊的等腰三角形进行分割，得到结论后，学生提出其他等腰三角形是否可以分割成三个等腰三角形呢？再次对图形进行操作、猜想、作图、验证，发现利用方案 5 的分割方法，锐角等腰三角形都可以分割为三个等腰三角形；直角等腰三角形也可以分割，甚至它可以分割出 n 个等腰三角形；但是钝角等腰三角形不可以进行分割，即当等腰三角形的顶角度数不小于底角度数时，可以分割出三个等腰三角形。注：通过观察、操作、分析等各种形式的实验活动，培养了学生从特殊到一般的数学思想，同时学生进一步深刻认识了图形及其性质，丰富了几何的活动经验，发展了学生的空间想象力。学生自己动手活动掌握了知识，学到了方法，体验到了成功的乐趣，兴致大增，主动参与的热情进一步提高，学生是学习的主人这一理念也充分得到了体现。通过不同内容中对不同学具的有目的、有计划、有步骤的实际动手操作，使学生在获取知识的同时，数学思维能力也随之得到了提高，部分学生的创造性思维得到了发展，学习数学的兴趣日趋浓厚。这类设计的模式是：四运用数形结合的思想设计数学实验数、 形 结 合 是 重 要 的 一 类 教 学 思 想 ， 如 何 让 学 生 有 这 方 面 真 切 的 的 体 会 ， 是 教 师 苦 苦寻 求 的 一 个 目 标 。 在 数 学 实 验 中 ， 我 设 计 了 这 样 一 个 常 见 的 例 子 ： 如 下 图 :如图 1，在 RtABC 中，C90，BC 8 厘米，点 D 在 AC 上，CD3 厘米点 P、Q 分别由 A、C 两点同时出发，点 P 沿 AC 方向向点 C 匀速移动，速度为每秒 k 厘米，行完 AC 全程用时 8 秒；点 Q 沿 CB 方向向点 B 匀速移动，速度为每秒 1 厘米设运动的时间为 x 秒，DCQ 的面积为 y1 平方厘米，PCQ 的面积为 y2 平方厘米0x问题 矛盾 转化条件 新问题 结论图 1C Q BDAP 图 2G2 4 6 8 10 12108642yO x5求 y1 与 x 的函数关系，并在 图 2 中画出 y1 的图象；如图 2，y2 的图象是抛物线 的一部分，其 顶点坐标是（4，12），求点 P 的速度及 AC 的长；在图 2 中，点 G 是 x 轴正半轴上一点（0OG6，过 G 作 EF 垂直于 x 轴，分别交y1、y2 于点 E、F说出 线段 EF 的长在图 1 中所表示的实际意义；当 0 x 时，求线段 EF 长的最大值这里的第（2）小题求点 P 的速度及 AC 的长对中下学生来说颇具难度，在直角坐标系，当x4 时，PCQ 面积为 12，通过结合左图PCQ 的位置，此时PCACAP8k4k4k，CQ4。把PCQ 的变化过程在右图的函数图像上显示出来，再把面积 y2的变化在 y 轴上显示出来，使学生感觉这两个图形的数值都可以在坐标系中表示，然后建立 x、 y 之间的关系。通过这样的实验，使学生确信PCQ 的变化它是一个二次函数的关系，而且其自变量的取值范围是一目了然。当我们再分析几何图形性质，寻找确定的函数关系式时，学生的兴趣之高以及对问题判断的标准之准，是平时教学中难以达到的。综上所述，数学实验教学让学生在创设的问题情境中自主探索、合作交流，亲历从直观想象到发现猜想，然后给出验证及理论证明的数学构建过程，让学生“看到了数学建造过程的脚手架，而不是简单的现成品” 这正是“新课标”所倡导的教育理念。计算机的介入，使得数学实验有了质的飞跃，其迅速的图文处理功能，为抽象的数学思维提供了直观的动态背景，使静态的数学结构表现为时空的动态过程，