2017届高考数学第一轮复习押题专练(十七)含答案

法与数乘运算 1平面向量基本定理 如果 么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1 2 其中，不共线的向量 2平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a ( b (则 a b ( a b ( a (x 1，y 1)， |a| (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A( B(则 ( | （ 2（ 2 3平面 向量共线的坐标表示 设 a ( b (则 a b0 高频考点一 平面向量基本定理的应用 例 1、 (1)在梯形 2M， D， 中点，若 ，则 等于 ( ) 2)如图，在 ， 13， P 是 的一点，若 211，则实数 m 的值为_ 答案 (1)D (2)311 【感悟提升】 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法 则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 【变式探究】 (1)在平行四边形 ， 14， 12，则 _.(用 (2)如图，已知 a， b， 3，用 a， b 表示 ，则 _. 答案 (1) 235122)14a 34b 高频考点二 平面向量的坐标运算 例 2、 (1)已知 a (5， 2)， b ( 4， 3)，若 a 2b 3c 0，则 ) A. 1， 83 B. 133， 83 C. 133， 43 D. 133， 43 (2)已知点 A(1,3)， B(4， 1)，则与向量 同方向的单位向量坐标为 _ 答案 (1)D (2) 35， 45 解析 (1)由已知 3c a 2b ( 5,2) ( 8， 6) ( 13， 4) 所以 c 133， 43 . (2) (4， 1) (1,3) (3， 4)， 与 同方向的单位向量为 | 35， 45 . 【感悟提升】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 【变式探究】 (1)已知点 A( 1,5)和向量 a (2,3)，若 3a，则点 ) A (7,4) B (7,14) C (5,4) D (5,14) (2)在 C 上，且 2，点 (4,3)， (1,5)，则 等于 ( ) A ( 2,7) B ( 6,21) C (2， 7) D (6， 21) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)设点 x， y)，则 (x 1， y 5) 由 3a，得 x 1 6，y 5 9， 解得 x 5，y 14. (2) 3 3(2 ) 6 3 (6,30) (12,9) ( 6,21) 高频考点三 向量共线的坐标表示 例 3、 (1)已知平面向量 a (1,2)， b ( 2， m)，且 a b，则 2a 3b _. (2)已知梯形 中 2个顶点 A(1,2)， B(2,1)， C(4,2)，则点 _ 答案 (1)( 4， 8) (2)(2,4) 【变式探究】已知点 A(4,0)， B(4,4)， C(2,6)，则 交点 _ 答案 (3,3) 解析 方法一 由 O， P， 设 (4 ， 4 )，则 (4 4,4 ) 又 ( 2,6)，由 与 共线，得 (4 4)6 4 ( 2) 0，解得 34，所以 34 (3,3)，所以点 3,3) 方法二 设点 P(x， y)，则 (x， y)，因为 (4,4)，且 与 共线，所以 x y. 又 (x 4， y)， ( 2,6)，且 与 共线， 所以 (x 4)6 y( 2) 0，解得 x y 3， 所以点 3,3) 【感悟提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数如果已知 两向量共线，求某些参数的取值时，利用 “ 若 a (x1， b (则 a b 的充要条件是 解题比较方便 (2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a( R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 (3)三点共线问题 A， B， B 与 共线 【举一反三】设 ( 2,4)， ( a,2)， (b,0)， a0， b0， A，B， 1a 1_ 答案 3 2 22 高频考点四、解析法 (坐标法 )在向量中的应用 例 4、给定两个长度为 1的平面向量 和 ，它 们的夹角为 23 为圆心的 运动若 ，其中 x， y R，求 x 【感悟提升】本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出 x 入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法 (坐标法 )解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础 【方法技巧】 1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键 2根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值 1.【 2015高考新课标 1，文 2】已知点 (0,1), (3, 2)量 ( 4, 3) ，则向量 ( ) （ A） ( 7, 4) （ B） (7,4) （ C） ( 1,4) （ D） (1,4) 【答案】 A 【解析】 B =（ 3,1）， B =(4)，故选 A. 1 （ 2014 重庆卷） 已知向量 a (k， 3)， b (1， 4)， c (2， 1)，且 (2a 3b) c，则实数 k ( ) A 92 B 0 C 3 答案】 C 【解析】 2a 3b 2(k， 3) 3(1， 4) (2k 3， 6)，又 (2a 3b) c， (2k 3)2 (6) 0，解得 k 3. 2 （ 2014 福建卷） 在下列向量组中，可以把向量 a (3， 2)表示出来的是 ( ) A (0， 0)， (1， 2) B ( 1， 2)， (5， 2) C (3， 5)， (6， 10) D (2， 3)， ( 2， 3) 【答案】 B 3 （ 2014 山东 卷） 已知向量 a (m， x)， b (x， n)，函数 f(x) a b，且 y f(x)的图像过点 12， 3 和点 23 ， 2 . (1)求 m， (2)将 y f(x)的图像向左平移 (0 )个单位后得到函数 y g(x)的图像，若 y g(x)图像上各最高点到点 (0， 3)的距离的最小值为 1，求 y g(x)的单调递增区间 【解析】 (1)由题意知， f(x) x x. 因为 y f(x)的图像过点 12， 3 和点 23 ， 2 ， 4 （ 2014 陕西卷） 设 0 2，向量 a ( ， )， b ( ， 1)，若 a b，则 _ 【答案】 12 【解析】因为向量 a b，所以 0，又 0，所以 2 ，故 12. 5 （ 2014 陕西卷） 在直角坐标系 知点 A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)，点 P(x，y)在 含边界 )上 (1)若 0，求 |； (2)设 (m， n R)，用 x， m n，并求 m 6 （ 2013 安徽卷） 在平面 直角坐标系中， 定点 A， | | 2，则点集 P| ， | |1 ， ， R所表示的区域的面积是 ( ) A 2 2 B 2 3 C 4 2 D 4 3 【答案】 D 【解析】由 | | 2，可得点 A， 4上且 60 ，在平面直角坐标系中，设 A(2， 0)， B(1， 3)，设 P(x， y)，则 (x， y) (2 ， 0) (1， 3)，由此得 x 2 ， y 3 ，解得 12x 12 3y，由于 | |1 ， 所以 12x 12 3y 13y 1， 即 | 3x y| |2y|2 3. 3x y0 ，y0 ，3x y2 3或 3x y0 ，y0，3x 3y2 3或 3x y0，y0 ， 3x 3y2 3或 3x y0，y0， 3x y2 以所求区域的面积是 4 3. 7（ 2013 湖南卷） 已知 a， ab 0，若向量 c a b| 1，则 |c|的取值范围是 ( ) A 2 1， 2 1 B 2 1， 2 2 C D 1， 2 2 【答案】 A 8 （ 2013 北京卷） 向量 a， b， c a b( ， R)，则 _ 图 1 3 【答案】 4 【解析】以向量 a和 平方向和竖直方向分别为 a ( 1， 1)， b (6， 2)， c ( 1， 3)，则 1 6 ， 3 2 ， 解得 2， 12， 所以 4. 9 （ 2013 辽宁卷） 已知点 A(1， 3)， B(4， 1)，则与向量 ) A. 35， 45 B. 45， 35 C. 35， 45 D. 45， 35 【答案】 A 【解析】 (3， 4)， 与 方向相同的单位向量为 | 35， 45 ，故选 A. 10（ 2013 天津卷） 在平行四边形 1， 60 ， 1，则 _ 【答案】 12 11 （ 2013 新课标全国卷 已知正方形 ， _ 【答案】 2 【解析】如图，建立直角坐标系， 则 (1， 2)， ( 2， 2)， 2. 12（ 2013 重庆卷） 如图 1 9所示，椭圆的中心为 原点 O，长轴在 心率 e 22 ，过左焦点 ， A 两点， | 4. (1)求该椭圆的标准 方程； (2)取垂直于 ， P ，过 P， P 作圆心为 椭圆上的其余点均在圆 Q 外，若 PQ ，求圆 图 1 9 13 （ 2013 重庆卷） 在平面上， ， | | 1， | 12，则 |的取值范围是 ( ) A. 0， 52 B. 52 ， 72 C. 52 ， 2 D. 72 ， 2 【答案】 D 出下列向量组： 与 ； 与 ； 与 ； 与 ) A B C D 答案 B 解析 中 ， 不共线； 中 ， 不共线 2已知平面向量 a (1,1)， b (1， 1)，则向量 12a 32 ) A ( 2， 1) B ( 2,1) C ( 1,0) D ( 1,2) 答案 D 解析 12a (12， 12)， 32b (32， 32)， 故 12a 32b ( 1,2) 3已知 a (1,1)， b (1， 1)， c ( 1,2)，则 c 等于 ( ) A 12a 32b 32b C 32a 12b D 32a 12b 答案 B 4已知向量 a (1,2)， b (1,0)， c (3,4)若 为实数， (a b) c，则 等于 ( ) C 1 D 2 答案 B 解析 a b (1 ， 2)， c (3,4)， 且 (a b) c， 1 3 24， 12，故选 B. 5已知 | 1， | 3， 0，点 与 的夹角为 30 ，设 (m， n R)，则 ) A 2 C 3 D 4 答案 C 解析 0， ， 以 (1,0)， (0， 3)， (m， 3n) 3 33 ， m 3n，即 3，故选 C. 6已知 A(7,1)， B(1,4)，直线 y 12B 交于点 C，且 2，则实数 a _. 答案 2 解析 设 C(x， y)， 则 (x 7， y 1)， (1 x,4 y)， 2， x 7 x ，y 1 y ， 解得 x 3，y 3. C(3,3)又 y 12 3 12a3 ， a 2. 7已知点 A( 1,2)， B(2,8)， 13， 13，则 的坐标为 _ 答案 ( 2， 4) 8已知向量 (3， 4)， (0， 3)， (5 m， 3 m)，若点 A， B， C 能构成三角形，则实数 _ 答案 m 54 解析 由题意得 ( 3,1)， (2 m,1 m)，若 A， B， ， 不共线，