高中数学论文：浅谈反思性学习在数学学习中的作用

1“三思”而致远浅谈反思性学习在数学学习中的作用摘要：由于数学对象的抽象性,数学活动的探索性, 数学推理的严谨性和数学语言的特殊性,决定了正处于思维发展阶段的高中学生不可能一次性地直接把握数学活动的本质, 必须要经过多次地反复思考、深入研究、自我调整,即坚持反思性数学学习, 才可能洞察数学活动的本质特征。关键词：课堂；解题；作业；反思性学习1、反思性数学学习的背景和概念 新课程标准把“反思”这一数学理念提高到应有的高度 ,指出要重视学生反思性学习习惯的养成。当代建构主义学说认为学习不是被动的接受, 不是单纯地复制与同化, 它要求学生在活动中进行建构,要求学生对自己的话动过程不断地进行反省、慨括和抽象。反思是个体在分析自我经验、监控和评价自我行为的基础上，依据某种标准对自身的经验和行为所进行的批判性的思考。反思性数学学习是指的对己完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，是对己形成的数学思想、方法和知识从另一角度以另一方式进行再认识，以求得新的深入认识或提出疑问作为新的思考起点的一种数学学习方式。荷兰著名数学家弗赖登塔尔指出:“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力”。 2、反思的途径和作用2.1 课后反思 提炼思想大部分学生感叹到：上课老师讲得我都听得懂，而且感觉我全都学会了，但下课后什么都不知道了或做作业时同类题型就不知道如何下手了。这种原因主要是同学们下课后没有认真地去反思课堂，应该认真去对今天上课的知识点、数学方法、数学思想方法和典例的解题思路等内容进行反思。下面就以高三数学复习专题：向量方法求空间角和距离为例，谈谈如何进行课堂后反思。1、反思知识点反思本节课学习中空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角以及它们的文字定义、各种角的图形定义、各种角的范围。并把这几种角的概念和范围进行比较，通过对比反思加深对概念和范围的理解，避免混淆这几种角的图形定义和角的范围。反思空间距离有哪些？我们知道构成空间的点、线、面之间有七种距离，而本节着重学习了异面直线间的距离、点面距离、线面距离；面面距离求法，同时回忆这些距离的定义。通过回忆我们就更加明确了各种距离的定义，不至于在以后的解题中出现张冠李代。2、反思数学方法和数学思想方法反思本节课空间角和距离如何用向量去求的。学生可以在纸上简单的去罗列各种求法。如空间角的求法：高中数学论文2（） 利用向量去求两条异面直线所成的角方法设 、 分别为异面直线 、 的方向向量，则两条异面直线所成解abab barcos（）利用向量去求线面所成角的方法设 是斜线 的方向向量， 是平面 的法向量，斜线 与平面 的所成角llnlnlarcsi（）利用向量去求二面角的方法 法一、在 内 ，在 内 ， ，则二面角 的平面角lalblbarcos法二、设 ， 是二面角 l的两个半平面的法向量，其方向一个指向内1n2侧，另一个指向外侧，则二面角 的平面角l 21arcosn反思空间角向量求法的同时学生们应积极地去反思空间角的其他求法，在这里就不一一列举了。通过这样的回顾既可以掌握本节课空间角的解法，又可以掌握空间角的其他求法，同时去对比这些求法，从中找出适合自己认识水平的解法和最优的解法，从而达到解题的精确度和最优化。3、反思典例的解题思路反思典例的解题思维过程，分析解题的关键点和切入点，归纳总结解题方法，寻找一类题的解题规律。例如图，在棱长为的正方体 1DCBA中，E、F 分别是棱 的中点 11BAD和（）求异面直线 所成的角；C和（II）求 和面 EFBD 所成的角；1B（III）求 到面 EFBD 的距离反思、遇到正方体、长方体等特殊几何体，空间角和距离的向量求法易于理解反思 2、对于特殊的几何体可建立空间直角坐标系，无论求角、距离还是证明平行、垂直都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧.3反思 3、立体几何题用传统方法去做，也是可行的，甚至有的还较为简单，但有些题有传统方法去解需要很多的技巧性。但用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性向量法可操作性强运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工具反思是一种习惯和意识，不断反思，才会不断进步。而课后反思，它既使学生轻松地对所学知识有进一步认识，并能解决许多疑难问题，从中提炼出应用范围广泛的数学思想，提高了学生的个人体验和创造力，也让学坚定了“一份耕耘，一份收获”的信念，从而认真主动去学习。2.2 解后反思 掌握方法解后反思是指解完一道题后，对题目本身的结构及解题过程进行认真回顾，深入探究，以图举一反三，触类旁通，从而掌握解题方法。下面谈谈解题后应做几点反思。1、反思审题过程，寻找解题的关键点和切入点。审题是解题过程中的一个重要环节，为此在解题后去反思审题显得尤为重要。我们应去反思题目中每个条件的相关作用和涉及到的知识点;去反思解决这个问题的关键点和切入点。这样有利于培养学生解题经验的积累。例 1、设定点 M(-3，4) ，动点 N 在圆 上运动，以 OM、ON 为两边作平行42yx四边形 MONP，求点 P 的轨迹。解： 设 ， ，则线段 OP 的中点坐标为( ， )，线段 MN 的中点),(yx),(0 2xy坐标为( ， )。23040因为平行四边形对角线互相平分，故 = ， =2x30y240从而 430yx在圆上，故 因此所求轨迹为圆：),(N4322yx，但应除去两点：(- ， )和(- ， )322x 59158反思 1：本题关键是找出动点 P 与定点 M 及已知动点 N 之间的联系，反思 2：以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP 这个条件如何用，通过图象和反思1 就知道用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。反思 3：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件。2、反思解题的方法，寻找解题的最优方法。高考注重对通性通法的考查，谈化了特殊技巧。这就要求学生能在单位时间内寻找解4题的最优方法。因此解题后应注重从不同角度，不同侧面去反思典型问题的解题方法，从而突破思维定势，寻找最优解法。例 2：8 个篮球队中有 2 个强队，先任意将这 8 个队分成两个组（每组 4 个队）进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少？解法一： “2 个强队都分在第 1 组”记为事件 A“2 个强队都分在第 2 组”记为事件 B486)(CAP486)(P73)(4862CP732概 率 为个 强 队 分 在 同 一 个 组 的解法二：将 8 个队平均分成两个级，共有 种分法，要使 2 个强队同在一个组，可先48C限定他们都在第 1 组或第 2 组，有 种分法，再从其余 6 个队中选 2 个队加入 2 个强队所12在的组，有 种分法，剩余 4 个队自成另一组，所以所求概率为26C 734861CP解法三：设“2 个强队分在同一个组”为事件 A，则“2 个组中各有 1 个强队”为事件。A7341)(74)(83612 PCP解法四：甲、乙两队在八个空位中任站两个位置，共有 种站法，其中甲、乙两队同28C让在 1,2,3,4 或 5,6,7,8 的站法有 种，故所求概率为241 732841P反思 1：方法一利用互斥事件的概率计算公式来求，方法二利用等可能性事件的概率计算公式来求，方法三利用了对立事件的概率计算公式来求，方法四利用站位这一模型来求。反思 2：对比以上这些方法寻找最适合自己认知水平的解法来解，以达到解题的精确性。反思 3：通过一题多解既可寻找解题的最优方法，又可复习概率这一章的基本解题方法。3、反思问题类型，寻找解题中的“变”与“不变” 。数学强调思维的训练，数学解题要寻求通性通法的同时还注重解题的差异性，求同之时求异，求异之时求同。为此在解题后更应进行反思，来认清问题的本质和解决问题的关键，从而能够掌握这类问题的解决方法。从下面这些题组来感悟“变”与“不变” 。5.)2(1,14632 的 轨 迹 方 程的 弦 的 中 点求 过 点 平 分 的 弦 的 方 程的 且 被求 过 点内 有 一 点、 已 知 椭 圆例 QPPyx .)(,24 的 轨 迹 方 程的 弦 的 中 点求 过 点 平 分 的 弦 的 方 程的 且 被求 过 点内 有 一 点、 已 知 双 曲 线例 yx.214165 恒 相 交与 直 线、 求 证 椭 圆例 xkyy .)(62 的 取 值 范 围恒 相 交 ， 求与 直 线、 若 椭 圆例 mmx由此可知，学生能做好解题后的反思，必定会激发其探求数学奥秘的动机，对数学学习产生浓厚的兴趣，找出很多规律，对所求问题开拓性思考，引出新题和新方法，久而久之，就可以使新的知识体系得到整合，思维在反思中升华，从而学到总结归纳方法。2.3 任务反思 享受成功数学知识的掌握，需要一定的作业和考试的任务，作业和考试是学生获取、巩固、应用知识的一种手段，是课堂教学的延续，但往往会使学生走进题海战，这不利于学生的发展。因此，一定程度的作业后的反思可来达到理想的效果。1、作业过程中的反思。作业前反思，在作业之前反思新知识的来龙去脉，有利于作业的有效完成。作业后反思，在做完作业后进行反思，相当于检查，对作业的正确性作出自我评价。错误作业反思，当教师把作业批改好以后，反思发生错误的原因，吸取教训，以便以后避免发生类似的错误。2、考试过程中的反思。数学题目的出法千变万化，但知识的核心往往不变。学生可借助考试的机会，为自己理清知识结构。考试前反思，对一个阶段的知识系统进行反思，主要为考试作准备。考试后反思，对考试中出现的错误进行反思，分析错误的原因，为后继的有效学习奠定基础。经验型反思，反思考试中解答的技巧，提高自己对知识灵活运用的能力，也为以后考试积累经验。任务反思是自我认识和评价的过程，是对知识形成过程和学习历程的体验、感悟，无论酸甜苦辣，都是他们探究知识历程中的宝贵财富。通过反思和感悟，学生学会了思考和评价，思维开阔了，出错率低了，数学思维的深刻性和严谨性培养了，学习能力、考试的实效性提高了，真正尝到反思的“甜头” ，享受成功的快乐。总之，在学生的日常学习中，鼓励学生对自己的课堂表现、解决问题和作业的成败进行分析反