近代光信息处理第5章广义傅里叶变换及其光学实现

第五章广义傅里叶变换及其光学实现 * 1第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章第五章 广义傅里叶变换及其光学实现5.1 引言5.2 广义傅里叶变换的定义及性质5.3 广义傅里叶变换的本征函数5.4 用透镜系统实现广义傅里叶变换的基本光学单元5.5 基本光学单元的组合5.6 用自聚焦效应光波导实现广义傅里叶变换5.7 维格纳变换Date2第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章5.1 引 言二维傅里叶变换(u,v) = Fo=- o (x,y) exp-i2(ux+vy)dxdy 可以用光学系统近似实现在本章中将研究当物体到透镜的距离d1及输出图像到透镜的距离 d2不等于透镜的焦距 f 时透镜或透镜系统对输入图像的变换Date3第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章5.1 引 言研究表明， d1和 d2 满足一定的条件时，输出平面上将出现 o 的广义傅里叶变换：(2)又称为 分数阶傅里叶变换 (fractional Fourier transform)， 当 = /2时 , 分数阶傅里叶变换显然变为常规傅里叶变换Date4第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章数学家的贡献 早在 1937年， Condon提出了广义傅里叶变换的初步概念 到 1980年， Namias 完整地提出了广义傅里叶变换的数学定义、性质，讨论了变换的本征函数，并用于处理谐振子的薛定谔方程、格林函数问题、在均匀磁场中的自由电子的能级、在含时间变量的均匀磁场中自由电子薛定谔方程的求解等 1987年， McBride 和 Kerr 进一步研究了广义傅里叶变换，把变换看作是充分光滑的函数构成的向量空间 ( Frechet 空间 )中的算子，在此框架内建立了广义傅里叶变换更为严谨、完整的理论系统，这两篇文章至今仍是广义傅里叶变换的理论基础Date5第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章物理学家的贡献 直到 90年代，光学科学家和工程师开始关注广义傅里叶变换与光学的关系，与三十年前常规傅里叶变换与光学的结合产生了傅里叶光学的情况非常相似 1993年， Ozaktas 和 Mendlovic 提出用平方折射率光波导 (GRIN)来实现广义傅里叶变换；Lohmann， Bernardo等则用透镜系统成功地实现了这一变换； Lohmann还设计了阶数连续可变的广义光学傅里叶变换系统； Bernardo等认为应正确地称这一变换为广义傅里叶变换，而不是分数阶傅里叶变换，因为阶数既可以是整数、分数，还可以是复数Date6第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章广义傅里叶变换与其他变换关系Lohmann， Mendlovic阐明了 广义傅里叶变换与维格纳变换的关系 ，指出可以用维格纳空间中的旋转来一般地定义广义傅里叶变换，这一定义与光波在梯度折射率介质中的传播的定义是等价的。Mendlovic等进一步讨论用 广义傅里叶变换 来表征信号的新方法，以及 分数阶光学相关 ；Dorsch， Bernardo等分别提出了用光学系统实现任意阶傅里叶变换的方案；Date7第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章广义傅里叶变换与其他变换关系 Ozaktas 等研究了 广义傅里叶变换与小波变换的关系 ，他们认为广义傅里叶变换可以表为小波变换，小波函数具有 h(x)=exp(ix2)的形式然而该函数是分布在 (-， )上的振荡函数，并不具备小波的特点易证 h(x)的傅里叶变换H(u)=exp(iu)，而 H(0)0， 不符合小波变换的相容性条件因而我们认为广义傅里叶变换只是形式上与小波变换相似 Mendlovic等对变换的形式稍加改换，定义了广义余弦变换 ，该变换适用于非相干光，在数字成像、非相干光信息处理方面都有潜在的应用众所周知，夫琅和费衍射可以实现常规的傅里叶变换， Pellat-Finet则探讨了菲涅耳衍射与广义傅里叶变换的关系Date8第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章傅里叶变换在科学技术的许多领域中有广泛的应用，因此我们可以预料广义傅里叶变换的应用领域将更为宽广目前，它已成为数学、量子力学中重要的应用工具本章将研究广义傅里叶变换的数学定义、性质及实现广义傅里叶变换的光学系统，并讨论与广义傅里叶变换有密切关系的维格纳变换Date9第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章5.2 广义傅里叶变换的定义及性质5.2.1 广义傅里叶变换的定义仅讨论一维函数的广义傅里叶变换，有关的定义和性质可以直接推广到二维的情况函数 g()的广义傅里叶变换定义为(1)通常称它为 g()的广义傅里叶谱，记为 G(x)Date10第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章以 - 代替上式中的 ，得到(2) 称为广义傅里叶变换的阶可证明 F- 是 F 的逆变换，即 : F- F g() = g(x) (4) Date11第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章广义傅里叶变换的主值 区间为 (-， )。当 超出主值区间时，相应的变换可以化成在该区间内的变换。下面将证明这一点因此 F- ( 0 )实质上只是负阶数的广义傅里叶变换 。广义傅里叶变换的一个性质，在于当 =/2 以及 = -/2 时化成常规的傅里叶变换及逆变换：(5)(6)注意这里傅氏变换的表达式与其他各章有所不同Date12第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章当 = 0 时没有意义，因而 Fo也必须另行定义 .由于 0时 , sin , tan ， 所以有(7)其中用到极限意义下的 函数的定义：(8)从而可用上述极限过程来定义： F og() = g(x)用类似的方法还可定义： F g() = g(-x)以上两式表明： 0 阶广义傅里叶变换给出输入图像本身， 阶广义傅里叶变换则给出它的倒像 .Date13第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章虽然 广义傅里叶变换仍然是线性变换 ，即：FAg()+Bh()=AFg()+BFh() (13)式中 A， B为常数，但由于变换公式中出现二次相因子，所以 它的性质和常规的傅里叶变换有了很大的差别 例如，它不再满足缩放规律Date14第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章5.2.2 基本性质和运算法则g() 的广义傅里叶变换谱记为 G(x)，并用 g G 表示 变换对(1) 位移 (shift)g(+) exp isin (x+ cos /2)G(x+ cos) 当 = /2 时即化为傅里叶变换的位移公式(2) 宗量乘积 ( multification )设 D d/dx为微分算符 ， m 0.F m g() = ( x cos + i sin D )m G(x)Date15第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章F m g() = ( x cos + i sin D )m G(x)例如设 m =2， 有( xcos + i sinD)2 = x2 cos2 + x cos i sin D + i sinD xcos - sin2D2= x2 cos2 + i x cos sin D + i sincos + i x sincos D - sin2D2= cos ( x2cos + i sin )+ i x sin2D - sin2D2(3) 微分 (differentiation)F Dm g() = ( ix sin + cos D )m G(x)Date16第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章(4) 宗量 微分混合积 (mixed product)F ( Dm)g() = - (sin - i x2 cos ) sin + xcos 2 D + i sin cos D2 m G(x) (5) 指数 (exponential)F ei b g()=exp-ibcos(x-bsin/2)G(x-sin)(6) 可加性 (additivity)F F g() = F + g() (28)对称性 : F F g = F F g = F + g逆变换 : F F - g = F - F g =F o g = gDate17第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章(7) 周期性 (periodicity)由于在广义傅里叶变换的定义中出现tan 及 sin ， 所以变换关于 具有周期性，周期为 2，这样就有以下结果：F 2n g() = g(x)F (2n+1) g() = g(-x) F 2n+ g() = F g() 这样当 (-, 时的变换 F 均可化为主值区间内的变换设 =p/2, 阶广义傅里叶变换还可表为 F(p)g， p的定义域为 (-2, 2Date18第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章图 5.1 广义傅里叶变换的周期性例如例如 ： F(1) F(1)g()=F(2)g()=F g()=g(-x) Fg()即常规的傅里叶变换得到的输入图像即常规的傅里叶变换得到的输入图像的傅里叶谱，可用的傅里叶谱，可用 2f系统实现；而系统实现；而 F(2)g()则表则表示两次傅里叶变换，得到输入图像的倒像，可用示两次傅里叶变换，得到输入图像的倒像，可用4f 系统实现，它们都是广义傅里叶变换的特例系统实现，它们都是广义傅里叶变换的特例其中其中 = /2 或或 p= l表示常规傅里叶变表示常规傅里叶变换，即换，即 F/2 或或 F1 , F 1 常简写为常简写为 F = -/2 或或 p = -l 则则表示常规的傅里叶表示常规的傅里叶逆变换，即逆变换，即 F - /2 或或 F -1Date19第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章5.2.3 广义傅里叶变换群变换算符 Fo 具有如下性质，对于任意的 F， 有F Fo = Fo F = F 因此可称为 单位算符或恒等元 对于 F 存在 ，满足 F F - = F - F = Fo即 F - 是 F 的逆算符或逆元对于任意的实数 、 ，有 F F = F F = F+ F+ 依然是广义傅里叶变换算符因此变换算符对于乘法是闭合的结合律： F (F F ) = (FF ) F = F +因而所有的广义傅里叶变换算符对于 (28)(可加性 )所定义的乘法构成群，可称为 广义傅里叶变换群 Date20第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章5.3 广义傅里叶变换的本征函数广义傅里叶变换算符 F 的本征函数 为 n (x) = Hn(x)exp(-x2/2)本征值 为 exp(-i n)其中 Hn(x)为 n 阶厄米多项式， exp(-x2/2)为高斯函数，所以 n(x)常称为高斯 -厄米型函数 (GH函数 )n (x)构成区间 (-， )内的完备正交函数组，因此任何平方可积的函数 g(x)都可以用它展开：g(x) = - n n (x) =- n Hn(x)exp(-x2/2)其中系数 n 可用厄米函数的正交性得到：(11)Date21第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章Fg()=-nFn()=-nexp(-in)n(x) = -n exp(-in) Hn(x) exp(-x2/2)上式又称上式又称 广义傅里叶变换的级数表达式广义傅里叶变换的级数表达式 在节在节 5.6中将讨论它在渐变中将讨论它在渐变折射率介质光波导折射率介质光波导中的应用中的应用我们知道，我们知道，高斯高斯 厄米函数厄米函数正是量子力学一正是量子力学一维谐振子的本征维谐振子的本征函数函数图图 5.2给出前几阶给出前几阶 GH函数的图形函数的图形Date22第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章5.4 用透镜系统实现广义傅里叶变换的基本光学单元5.4.1 第一类基本光学单元由广义傅里叶变换的 “可加性 ”可知：连续执行 N个阶数为 n ( n=1， 2， ， N)的变换的结果，相当于执行阶数为 1 + 2 + + N 的一次变换，亦即 F = F n ( 式中 = n )Date23第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章5.4 用透镜系统实现广义傅里叶变换的基本光学单元5.4.1 第一类基本光学单元例： = /2的常规傅里叶变换，既可由一个焦距为 f 的透镜来实现，也可由两个相同规格的透镜构成的透镜组来实现，它们的焦距为(3)间距为 2d， (4)Date24第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章图 5.3 用两个透镜实现傅里叶变换Date25第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 5章几何光学的计算还可证明， N 个焦距为 (5)的透镜按图 5.3的方式串联起来，间距参数(6)则该系统的合成焦距 ，且前焦面位于第一个透镜前 d 处，后焦面位于第 N 个透镜后 d 处。透镜系统能否实现傅里叶变换？必须首先证明：当单色光波通过一个透镜单元，即经过两次距离为 d 的菲涅耳衍射，并