风花雪月数学之三十六计一

风 花 雪 月 数 学 之 三 十 六 计 （ 一 ）数 学 是 美 丽 的 ， 学 习 数 学 的 过 程 是 一 种 智 慧 的 享 受 ， 我 们 在 提 高 学 生 的 数 学 素 质的 过 程 中 不 能 仅 仅 看 重 数 学 分 数 ， 也 许 今 天 我 们 的 学 生 都 可 以 考 试 得 130， 甚 至 140， 150 的 高 分 ， 结 果 到 了 大 学 及 更 高 层 次 学 习 空 间 时 大 都 不 选 择 数 学 ， 更 放 弃 了 对数 学 的 追 求 与 探 索 ， 这 也 是 我 们 这 些 数 学 老 师 不 想 看 到 的 吧 !下 面 还 望 我 们 老 师 们 努力 探 索 ， 积 极 引 导 ， 不 仅 提 高 学 生 的 数 学 成 绩 ， 更 调 动 学 生 的 数 学 兴 趣 ， 培 养 更 多 的 “数 学 ”人 才 ！ 杨 振 宁 认 为 中 国 近 代 科 技 的 落 后 主 要 原 因 是 “数 学 ”的 落 后 ！ 因 此 ， 从祖 国 发 展 的 角 度 看 ， 我 们 数 学 老 师 和 学 生 身 上 有 义 不 容 辞 的 责 任 。尽 管 目 前 来 看 很 多 学 生 在 社 会 ， 家 长 等 因 素 的 作 用 下 都 比 较 现 实 ， 很 少 有 学 生 愿意 深 入 研 究 数 学 ， 但 是 我 们 不 可 否 认 ， 只 要 我 们 多 灌 输 ， 人 才 就 会 涌 现 ！ 举 个 简 单 的例 子 ： 中 国 足 球 。 我 们 承 认 中 国 足 球 水 平 不 高 ， 但 我 们 更 要 承 认 我 们 足 球 土 壤 过 于 贫 瘠， 到 底 有 多 少 人 没 有 真 正 踢 过 足 球 ！ 也 许 我 们 可 以 有 很 多 “马 拉 多 纳 ”， 可 是 这 些“马 拉 多 纳 ”可 能 一 生 都 没 有 踢 过 足 球 ！而 且 我 个 人 认 为 ， 尽 管 从 某 种 角 度 看 ， 数 学 是 比 较 枯 燥 ， 严 谨 ， 辛 苦 的 ； 但 换 个角 度 我 们 也 能 发 现 数 学 的 很 多 美 妙 之 处 ！ 就 像 1990 年 意 大 利 世 界 杯 足 球 赛 场 上 ， 阿根 廷 队 的 球 员 卡 尼 吉 亚 一 头 长 发 ， 可 能 有 人 感 觉 大 男 人 留 长 发 不 太 合 适 ； 但 换 个 角 度欣 赏 “长 发 在 风 中 飞 舞 ， 让 人 感 受 到 了 风 的 速 度 ！ ”因 此 卡 尼 吉 亚 得 名 “风 之 子 ”， 从 此 很 多 中 国 球 迷 心 中 多 了 一 种 情 结 叫 “风 的 情 结 ”！数 学 方 法 ， 思 想 处 处 体 现 着 智 慧 ， 体 现 着 美 ， 在 我 看 来 数 学 就 是 一 幅 画 ， 一 首 诗， 一 支 歌 。 。 。 。 。 。将 这 首 诗 献 给 美 丽 的 数 学 。漂着绿叶小舟划过河中暂缓停水清澈而见倒影映衬画中央美景搭西湖高歌遍山林船夫荡悠悠回音进谷底风起树鸟声悦耳月陶醉沙下鱼饵当饵耳作诗对词以休闲让清晨有笛乐以傍晚作赏月独享风景一 ， 混 水 摸 鱼 -代 入 法品味 1：若关于 x不等式 31xa的解集是 |24x，则实数 a的值是 解析：此题具体解比较麻烦!然则巧用“代入法”可以轻松“搞定”！将 x=2 代入a3迅速求得 a=4.品味 2：已知数列 n共有 m项，定义 na的所有项和为 1S，第二项及以后所有项和为 S，第三项及以后所有项和为 3S，第 n 项及以后所有项和为 n，若n是首项为 2，公比为 1的等比数列的前 项和，则当 m时， a等于A 1 B 2n C 12n D 12n解析：有题知 )(1Sa，从而轻易算出，并且答案四个均不同，必定迅速完成！品味 3：在数列 n中， 1， 1l()nan，则 na AA 2l B 2() C 2l D1n解析：此题显然就是考察“巧做”！直接做还是感觉比较复杂！然则，利用“代入法”可求出 .,21a进而可以迅速确定答案！品味 4：解 析 ： 此 题 若 直 接 做 会 耗 费 诸 多 时 间 ， 而 且 不 一 定 能 做 对 ， 如 果 将 答 案 找 错 ， 不 难 发现 C 中 左 面 大 于 0， 右 面 小 于 零 ！ 将 答 案 代 入 榨 出 错 误 ！ 事 半 功 倍 ， 妙 不 可 言 ！ 注 意这 是 2007 山 东 高 考 数 学 理 科 10 题 ！品 味 5： ：已知函数 )4()2()(2axaxf ，当 )1,(x时，恒有 0)(xf，则 a的取值范围为 （ ）A 2 B C 0 D 2且 0解 析 ： 此 类 求 范 围 的 题 目 往 往 运 用 “代 入 法 ”可 以 将 其 变 成 纯 运 算 的 题 目 ！ 这 一 点 相信 很 多 同 学 会 总 结 发 现 ！ 如 此 题 中 ， 令 a=2,可 以 判 断 是 否 成 立 ， 从 而 确 定 A 是 否 正确 ！ 令 a=0,可 以 判 断 C 是 否 正 确 ！ 若 还 不 能 完 全 解 出 ， 可 令 a=1,必 定 可 以 选 出 答 案 ！回 味 ： 应 该 说 “代 入 ”“特 值 ”“排 除 ”经 常 联 手 ， 充 分 利 用 选 择 题 的 特 点 ，22222 )()(,;,;,;, BACDCABCABAD 成 立 的 是 （ ）上 的 高 ， 则 下 列 等 式 不为 斜 边中在 直 角 三 角 形充 分 利 用 选 项 作 为 条 件 ， 避 实 就 虚 ， 从 侧 面 解 决 问 题 ， 尤 其 是 在 一 些 正 面 处 理 较 困 难 的时 候 ， 不 仅 事 半 功 倍 ， 而 且 大 大 提 高 正 确 率 并 节 约 宝 贵 时 间 ！ 实 现 “混 水 摸 鱼 ”！二 ， 以 逸 待 劳 -特 值 法品味 1：如图已知 A、D、B、 C 分别为过抛物线 24yx焦点 F 的直线与该抛物线和圆 2(1)xy的交点，则 |ABD_ 解析：此题考查圆的几何性质（数形结合）及抛物线的定义！若直接求解，有一定运算量！但采用特值：令 AD 与 x 轴垂直，可以迅速解出结果！品味 2：已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax13有 唯 一 的 整 数 解 ， 则 方 程 1)21(xa实 数 根 的 个 数 为 ( )A,0 B,1 C,2 D,3解析：此题正确率不到百分之十五，毫无疑问很难！但是巧用特值法可以节省时间并且提高正确率！大胆猜想 a 的值（找一个最好算的） ，不难想到 2，3，10，e 等！令 a=2 知满足不等式，代入方程可轻松搞定！品 味 3：解析：此题直接处理设计较多运算，公式等，并且不易做对！但采用特值，将 ,0, baba这 样的 情 况 设 为 互 相 垂 直 ，四个答案均很好判断，这样的题目学生一般想不到间接处理，而直接处理多数同学很困难，要麽做不出，要麽浪费大量时间！可见“特值法”不仅巧，而且必不可少！品 味 4： 在 实 数 集 R 中 定 义 一 种 运 算 “*”， 对 于 任 意 baR*,为 唯 一 确 定 的 实数 ， 且 对 于 任 意 ,ba具 有 以 下 性 质 ： （ 1） ba； （ 2） 0；（ 3） ccc2)()(*)( 。 关 于 xxf1)(的 性 质 ， 有 如下 说 法 ： 1 函 数 f(x)的 最 小 值 为 3； 2 函 数 f(x)为 奇 函 数 ； 3 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间为 ， 2。 其 中 正 确 的 个 数 为 （ ）解析：此题很多学生难以入手，对于 f(x)始 终 停 留 在 抽 象 的 程 度 上 。 其 实 ， 不 难 分 析 ：f(x)必 须 求 出 ， 其 中 （ 1） （ 2） 显 然 不 能 完 成 。 因 此 必 须 令 （ 3） 中 c=0 就 可 以 轻 松解 决 ， 得 来 全 不 费 工 夫 ！回 味 ： 由 以 上 的 题 目 可 见 “特 值 法 ”决 不 仅 仅 是 节 省 时 间 ， 它 是 一 种 重 要 的 做 题 方 法 ！用 的 合 理 就 可 以 做 到 “以 逸 待 劳 ”！ baDCBaA BOAOBbO 2222 ,;,;,;, , （ ）则所 在 直 线 的 对 称 点 为关 于不 共 线 ， 点与设三 ， 瞒 天 过 海 -数 学 归 纳 法数 学 归 纳 法 是 一 种 体 现 “转 化 化 归 ”思 想 的 方 法 ， 常 用 于 与 n,n N有 关 的 题目 ， 其 本 质 是 不 从 正 面 与 要 证 明 的 结 论 交 手 ， 转 而 利 用 一 种 递 推 加 一 次 验 证 来 侧 面 解 决战 斗 ！即 先 验 证 第 一 个 值 时 命 题 成 立 ，再 假 设 时 也 正 确 。证 明正 确 ， 然 后 利 用 此 假 设 1KnKn实 际 上 感 觉 是 在 用 “假 设 ”证 明 问 题 ， 然 而 有 十 分 严 密 ， 有 “避 实 就 虚 ”之 功效 ！例 1： 2009 山 东 高 考 理 科 20 题 （ 2） 问等比数列 na的前 n 项和为 nS， 已知对任意的 nN ，点 (,)nS，均在函数(xybr且 1,br均为常数)的图像上.（1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 2(log1)(nnba w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 证明：（2）当 b=2 时， 1()2nna, 22(log1)lognnb则 n,所以 1213572146nbbn w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 下面用数学归纳法证明不等式 12 1n n 成立. 当 1n时,左边= 32,右边= ,因为 3,所以不等式成立. 假设当 k时不等式成立,即 1213572146kbbk 成立.则当 1n时,左边= 112 3 2kk k2223()4()()1()()14()k所以当 1n时,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由、可得不等式恒成立 .（也可以用比较法算出 2231kk与 的大小，只需平方一次就能算出！）本题主要考查了运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.但是用归纳法的思维难度要远远低于放缩法，而且归纳法还可以固定的步骤分，在 2005 年 21 题（3）问共有 4 分若用归纳法最关键一步仅一分！即使考试说明也对这两者平等对待，要求都是了解！下面我们看一下放缩法 kkkk 12212 ，以下略，故原式成立，步骤略！看似运算量小，但是思维量绝对不低！下面再举一例（超级经典）：已知函数 ,ln1)(xaxf求证：对于大于 1 的任意正整数n.432l,解：（法一）首先：当 a=1 时，易证 ,ln)(xxf在 1上为增函数，当 .1ln,0l),01)(,1, ffxnx 故即当令故 nnn 1.4312l1.3421ll.34ln21l ,2l 相 加 的此法需要较强的构造思想，并且涉及利用函数证明不等关系问题！但是构造的“思维”难度较大，并且很多学生会问：“为甚麽 x令 ？怎麽能想到？ ”往往老师很难回答！（法二）神奇的数学归纳法（1） n=2,易证，在此略！（2） n=k,假设 ,1.321lnkk则当 n=k+1 时， )1ln()l(kk= 1n.l)(lnk ，下面证明.,1)(k下面展开精彩换元（相比较法一，法二的换元是明确的，顺理成章的！可见归纳法从侧面化简了问题！）方式一： ,21)ln()xxg令 ,0)1()()1() 22 xxxg,2(在故， )(以下涉及极限问题！如何处理呢？巧用换元！方式二： ,01)(,1ln)(,2311 2xgxxgkx令故 问 题 得 证 ！为 增 函 数 ， ,0)()(gg此题充分展示了“数学归纳法”的神奇魅力，如果不用归纳法而直接处理的思维难度极大，关键在于如何找到需要构造的函数！但归纳法却“避实就虚”寻到了问题构造的关键-如何构造函数！当然，此题也涉及到如何“换元”！正是归纳法“瞒天过海”制造出了如何“换元“的条件，才是问题解决的前提！四 ， 无 中 生 有 -“归 纳 ， 猜 想 ， 证 明”引入2009 山东高考数学理科卷（22）设椭圆 E: 21xyab（a,b0）过 M（2， ） ，N( 6,1)两点，O 为坐标原点，（I）求椭圆 E 的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。分析: 本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.应该说这道题是考前我认为的必考题！今年解析集合大题很可能形式上是“园与椭圆”理由：解析几何只有“椭圆与抛物线” 是要求掌握！而 2008 已经考察了“抛物线”！至于为甚麽会将圆交汇，原因之一“考试说明 ”最后一句“通过解析几何理解数形结合思想”而圆与向量是数形结合的绝好载体！原因之二青岛一摸理科 21 题给我们一种强烈的预感！可以说今年的压轴题是“意料之中”！而且相对于 “向量的较深数形结合考察”来说继续沿着“圆和椭圆”甚至“圆和圆锥曲线 ”的方向发展的概率也很大！解（2） （法一）由于题目中“使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAB”，故可以先通过特殊情况（直线斜率不存在时候）将圆的方程先解出，利用此时直线与圆的交点分别为（r,r）,(r,-r)即为 A,B 两点，由于 OAB，故由圆的数形结合知： ar2，可迅速解出 382r，之后在明确圆的情况下，再证明对于一般情况下是否能满足：1 直线与椭圆有两个交点，2 是 AB。这两点在明确了圆的方程之后不难“验证”！这种做法优势在于“早早明确了目标” ，而且结合后面求 AB的范围，故此圆必须存在，因此即使“算”不出来也应该“编上” ，继续往下做！可以说利用“特殊情况”归纳， “猜出”所要探索的值（其实是算出来的） ，然后根据情况选择合适的方法去证明这个值满足一般情况。这种做法可以说是“无 中 生 有 ”！ 如 果 这 种 “探 究 性 问 题 ”直 接 做 的 话 并 不 知 道“值 ”是 多 少 ， 只 能 一 步 一 步 往 下 做 ； 而 “归 纳 ， 猜 想 ， 证 明 ”却 早 早 确 定 了 方 向 ！这 种 思 想 绝 不 等 价 于 “数 学 归 纳 法 ”因 为 它 的 “证 明 ”时 并 非 必 须 用 “归 纳 法 ”来 证 ，适 应 的 范 围 也 要 广 得 多 。 很 多 “探 究 性 ”题 目 都 可 以 采 用 ， 在 高 考 越 来 越 重 视 “探究 性 问 题 ”的 现 在 ， “归 纳 ， 猜 想 ， 证 明 ”是 值 得 重 视 的 。AOT下面再看法二，（2） （法一）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点A,B,且 OAB,设该圆的切线方程为 ykxm解方程组 2184xykm得22()8xkm,即 22(1)40k,则= 648()k,即 20km假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAB,设该圆的切线方程为 ykxm解方程组 2184xy得22()8xkm,即 22(1)40, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B则= 222164()8)(4)0kmkkm,即 2840km1228xk, 22221212112(8)48()()11kmkmkyxmkxmx要使 OAB,需使 120y,即2280k,所以2380k,所以23k又 4,所以238m,所以2m,即 63或 63m,因为直线 ykx为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 21rk,22831rm, 263r,所求的圆为283xy,此时圆的切线 yx都满足 26或 ,而当切线的斜率不存在时切线为 263x与椭圆2184y的两个交点为 26(,)3或26(,)3满足 OAB,综上, 存在圆心在原点的圆 28xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAB.这种直接探究的方式往往运算量较大，而且不能预知“方向” ，结果对不对都不知道！尤其是这种“方向模糊”情况下的前进往往需要大得多的思维量,经常还需要“技巧” ，而“归纳，猜想，证明”则是“方向明确”情况下的“运算”验证！举例 1: 的 值 。是 等 差 数 列 ， 求若 数 列 ccn62分析：此题熟练的同学可以迅速反映出来 c 只能是 9，因为只有这样通项才可能是一次函数！可是如何描述步骤呢？在具体做的过程中大部分学生都表达不好或不充分！可是如果采用“归纳，猜想，证明”便轻松“搞定”！解：令 ,2,8,5,6 313212 acaacnan 可得 c=6,然后在证明 !93cna！ 故是 等 差 数 列 ， 信 手 拈 来举例 2： )2(2,11 naan满 足已 知 数 列 ，是否存在成 等 差 数 列 ？使 数 列 nR,分析：若此题直接做倒难度不是很大，但运算化简有一定技巧，需使 的系数为 0！若换个题目可能比较难整理（如后面的超级经典） 。若采用“归纳，猜想，证明”则如下：由 )2(2,11 naan可求 31232 2, aa再 根 据可求出 ,2下面只需证明常 数nna1，这不就是运算验证吗！举例 3： 证 明 你 的 结 论 。的 大 小 是 否 为 定 值 ？ 并判 断 两 点 ，交 椭 圆 于作 直 线过设已 知 椭 圆AMB BALNyx ,)0,72(),(,1342分析：当 L 与 x 轴重合时，构不成 ；当 L 与 x 轴垂直时，直线的方程为 ,72x代入 1342yx得 )712,(),7(BA，而 ,712MN所以 90AB，下面证明一般情况：设直线 :xmy，运算验证 0即可！下面轻松“搞定”！超级经典：已知椭圆.12yx过点)3,0(S的动直线 L 交椭圆 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由解：当 L 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程：22)34(1(yx当 L 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程：2由101)34(22yxyx解 得即两圆相切于点（0，1） ，所求的点 T 如果存在，只能是（0，1）证明如下当直线 L 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆过点 T（0，1）若直线 L 不垂直于 x 轴，可设直线 L： 3kxy由0162)918(:232kxkyxky得消 去记点 ),(1yxA、 9186),(212kxyB则)34)()(,), 21212121 kxxyTBT所 以又 因 为 96)(34)1(2121xkxk0886 k所以 TATB，即以 AB 为直径的圆恒过点 T（0，1）所以在坐标平面上存在一个定点 T（0，1）满足条件分析：此题若直接做运算量很大容易算错或算不出来，并且有化简技巧容易找不出来！因为必须设点 ),(baT，结果变量较多，关系较复杂，可谓十之八九算不出来！但采用“归纳，猜想，证明”来处理，很早就可以知道 )1,0(,之后就成了验证，其实就是没有技巧的“纯”运算。前者尽管运算时需要很大运算量以及化简技巧，但是“小巧” ，后者化繁为简，把整个过程变成了“纯运算” ，是“大巧”！真是“无中生有”！让人叹服不已。数学真的是“美不胜收” ， “风情万种”！五 ， 偷 梁 换 柱 -换 元 法品味一：(2009 山东卷理 21)两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为0.065.（1）将 y 表示成 x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离; 若不存在，说明理由。分析:此题的分析建模难度不大，当学生进行求导分析单调性等时，据我的了解最主要问题是绝大部分同学未算出或算对，暴漏了运算能力的不足， “运算能力”是考试说明要求的第一能力，甚至于常见的运算技巧如“换元” “分式最值”等必须不断强化，我个人感觉“运算”的强化必须渗透于平时不间断！如 2008 年山东文 22 题，今年反复让学生做了三遍！结果今年理科 22 题有在第 2 问考察了几乎一样的运算问题！除了纯运算，很多学生想不到另 2xt通过换元简化运算，也是运算技巧不足的表现！当然对分式问题的运算其实平时学生应该早就暴露出来了，因为往往学生只会求导直接算，很少考虑化简，换元等!估计在这点高考是会继续的！解法一:（1）如图,由题意知 ACBC, 2240BCx, 24(0)kyx其中当 02x时，y=0.065,所以 k=9所以 y 表示成 x 的函数为 2249()0yxx（2） 22490,42323818(0)()x,令 0y得A BC x 4218(0)xx,所以 2160,即 41x,当 041x时, 428(0)xx,即 y所以函数为单调减函数,当 2时, 28(),即 y所以函数为单调增函数.所以当 4x时, 即当 C 点到城 A 的距离为 时, 函数2249(0)yx有最小值.解法二：（2）中 294yx,令 ,02xt则 .409tty22222 )()(33()0()40(9 tttttttty = 22)(85tt，之后便是一马平川！解法三: （1）同上.（2）设 22,40mxnx,则 , 9y,所以4914911()3()(32)4006nmyn当且仅当m即 26时取”=”.下面证明函数 940y在(0,160)为减函数, 在(160,400)为增函数.利用定义，略！所以当 m=160 即 1x时取 ”=”,函数 y 有最小值,可见，巧用“换元法”解决大问题，尤其是在山东考试说明要求的第一能力就是“运算能力”！可以对换元法说：“冰雪不语寒夜的你难隐藏的光彩！”品味二（2009 山东理科 22）设椭圆 E: 21xyab（a,b0）过 M（2， ） ，N( 6,1)两点，O 为坐标原点，（I）求椭圆 E 的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB | 的取值范围，若不存在说明理由。分析:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.应该说这道题是考前我认为的必考题！我在考前多次与同学们分析：今年解析集合大题很可能形式上是“园与椭圆”理由：解析几何只有“椭圆与抛物线”是要求掌握！而 2008 已经考察了“抛物线”！至于为甚麽会将圆交汇，原因之一“考试说明”最后一句“通过解析几何理解数形结合思想”而圆与向量是数形结合的绝好载体！原因之二青岛一摸理科 21 题给我们一种强烈的预感！由于考前多次强调圆的处理方式与椭圆不同，相信学生会在此题受益，只是可惜这是 22 题，很多学生时间不多了！尽管答案未给出，实际上最后一问在求 AB是充分利用圆及 OBA等条件结合“射影定理”很简单就能算出！说明了圆的问题尽量用“数形结合”！可以说今年的压轴题是“意料之中”！可以说圆就是“运算”之王，如果运用圆的“数形结合”运算较灵活；若将圆当成椭圆则成为代数运算量较大！解: （2）中求 AB（法一）, 222221118(4)|()()1kmxykx4224353kk, 当 0时 21|ABk因为 2148k所以 20184,所以 23k,所以 46|33AB当且仅当 2k时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 0k时, |. 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 26(,)3或 26(,)3,所以此时46|3AB,综上, |AB |的取值范围为 46|23AB即: 4|6,23（2） （法二）由于题目中“使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAB”，故可以先通过特殊情况（直线斜率不存在时候）将圆的方程先解出，利用此时直线与圆的交点分别为（r,r）,(r,-r)即为 A,B 两点，由于 OAB，故由圆的数形结合知： ar2，可迅速解出 382r，之后在明确圆的情况下，再证明对于一般情况下是否能满足：1 直线与椭圆有两个交点，2 是 AB。这两点在明确了圆的方程之后不难“验证”！这种做法优势在于“早早明确了目标” ，而且结合后面求 AB的范围，故此圆必须存在，因此即使“算”不出来也应该“编上” ，继续往下做！再求 AB是如果巧用“圆”的“数形结合”特性，也会是问题得到大大化简！通过题目不难发现，设直线与圆相切于 T 点，在直角三角形 OAB 中， ABOT,设,2tO，由射影定理知， AO2，又 38,222r。可以解得 .,382ttAB下面求范围应该较法一简单不少！此题充分体现出“巧妙换元”的巨大美丽！说明“圆”与“椭圆”处理方式的区别，圆是“数形结合的精灵” ，椭圆是体现“代数方法（坐标）研究几何问题的载体！”两者在高考考察是有明确体现的！因为从平时来看，多数学生对于“圆的数形结合”认识不够，更对“考试说明”没有分析，应该说在考前重点强调了“圆与椭圆”的问题，如果此题不是最后一题，相信学生会有“更好”表现！应该说，对于圆的“数形结合”的特点，没有老师的引领和适当的重视与训练是很难掌握的，因为“数形结合”较椭圆中的方程处理更灵活，若处理不当又很容易运算复杂！品味三;（2008 山东文 22）已知曲线 1(0)xyCab： 所围成的封闭图形的面积为 45，曲线 1C的内切圆半径为 253记 2为以曲线 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆（）求椭圆 2的标准方程；（）设 AB是过椭圆 2C中心的任意弦， l是线段 AB的垂直平分线 M是 l上异于椭圆中心的点（1）若 MOA（ 为坐标原点） ，当点 A在椭圆 2C上运动时，求点 M的轨迹方程；（2）若 是 l与椭圆 2C的交点，求 MB 的面积的最小值解：（）（2）当 k存在且 0时，由（1）得 22045Axk，2045Aky，由2541xyk，解得225Mkx， 2Myk，所以2220(1)4AkOxy，22280(1)45ABOk，220(1)54kOM解法一：由于 22AMBS221()()42240(1)5k240()5k 2260(1)089k，当且仅当 224k时等号成立，即 1k时等号成立，此时 AMB 面积的最小值是 409AMBS 当 0k， 125S 当 不存在时， 425AMB 综上所述， 的面积的最小值为 09解法二：由于 2214AMBSO2218()0(1)454kk240()5k，令 ,12kt则2222 1)(204104)1( tttS1,0,tt，此题转化至二次函数最值问题。此时 AMB 面积的最小值是 409AMBS 当 0k， 25S 当 不存在时， 1425AMB 综上述， AMB 的面积的最小值为49分析：此题中的第二问中涉及的分式最值运算 )(二 次二 次 ，甚至于在 2009 山东理科 21 题出现（ 二 次 ）二 次 ） ()()的类型，这样的题目，考察方式非常常见！可以说是极好的考察运算的载体！其中涉及“换元” ， “化简”等技巧，以及“转化化归”等思想！可以说运算能力包含了数学的多种思想方法技巧，绝非一日之功，必须不断强化训练！更深刻的美味（2007 山东高考理科 22）设函数 2()ln(1)fxbx，其中 0b（）当 1时，判断函数 f在定义域上的单调性；（）求函数 ()fx的极值点；（）证明对任意的正整数 n，不等式 2311ln都成立解：（III） 当 1b时，2()l().fxx令332()()ln(1),hxf则32 (1)xh在 0,上恒正，在 0,上单调递增，当 0x时，恒有 ()h.即当,x时，有32ln(1),x23l()x，对任意正整数 n，取得 23ln最深刻的美味已知函数 ,ln1)(xaxf求证：对于大于 1 的任意正整数n.432l,解：（法一）首先：当 a=1 时，易证 ,ln)(xxf在 1上为增函数，当 .1ln,0l),01)(,1, ffxnx 故即当令故 nnn 1.4312l1.3421ll.34ln21l ,2l 相 加 的此法需要较强的构造思想，并且涉及利用函数证明不等关系问题！但是构造的“思维”难度较大，并且很多学生会问：“为甚麽 x令 ？怎麽能想到？ ”往往老师很难回答！（法二）神奇“换元” ，下面通过“数学归纳法”来体现“换元”的迷人芬芳！（3） n=2,易证，在此略！（4） n=k,假设 ,1.321lnkk则当 n=k+1 时， )1ln()l(kk= 1n.l)(1lnk ，下面证明.,)(k下面展开精彩换元（相比较法一，法二的换元是明确的，顺理成章的！可见归纳法从侧面化简了问题！）方式一： ,21)ln()xxg令 ,0)1()()1() 22 xxxg,2(在故， )(以下涉及极限问题！如何处理呢？巧用换元！方式二： ,0)(,ln,2311 2xgxxgkx令故 问 题 得 证 ！为 增 函 数 ， ,0)()(gg此题充分展示了“换元”的神奇魅力，通过如何“换元”顺利解决！六 ， 苦 肉 计 -易 错 集 锦这是一摸