2017年广东省江门市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年广东省江门市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=x|0， N=x|3x 4 0，则 M N=（ ） A（ 1， 4） B（ 1， + ） C（ 1， 4） D（ 4， + ） 2 i 是虚数单位，（ 1 i） Z=2i，则复数 Z 的模 |Z|=（ ） A 1 B C D 2 3某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的 中位数和众数分别是（ ） A 46， 45 B 45， 46 C 45， 45 D 47， 45 4 “”是 “（ ） A充要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件 5已知数列 递增的等比数列， a1+， ，则数列 前 2016 项之和 ） A 22016 B 22015 1 C 22016 1 D 22017 1 6 棱长为 2 的正方体， 交于 O，在正方体内 （含正方体表面）随机取一点 M， 1 的概率 p=（ ） A B C D 7 双曲线 C 的焦点，过 与双曲线实轴垂直的直线与双曲线相交于A、 B，且 正三角形，则双曲线的离心率 e=（ ） A B C 2 D 8执行如图所示的程序框图，输出的 S=（ ） A 4 B C D 9 内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，若 ， a=4， c=5，则 b=（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 10 F 是抛物线 x 的焦点，以 F 为端点 的射线与抛物线相交于 A，与抛物线的准线相交于 B，若 ，则 =（ ） A 1 B C 2 D 11将函数 f（ x） = 是正整数）的图象向右平移 个单位，所得曲线在区间 内单调递增，则 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 12已知函数 ，关于 x 的不等式 x） x） 0 有且只有三个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13若 2，则 = 14一个几何体的三视图 如图所示，则该几何体的表面积 S= 15 、 为单位向量，若 ，则 = 16若 x、 y 满足 ，且 z=x 最大值为 4，则实数 a 的值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知正项数列 前 n 项和为 ， n N* （ ）求通项 （ ）若 ，求数列 前 n 项和 18某公司为感谢全体员工的辛勤劳动，决定在年终答谢会上，通过摸球方式对全公司 1000 位员工进行现金抽奖规定：每位员工从装有 4 个相同质地球的袋子中一次性随机摸出 2 个球， 这 4 个球上分别标有数字 a、 b、 c、 d，摸出来的两个球上的数字之和为该员工所获的奖励额 X（单位：元）公司拟定了以下三个数字方案： 方案 a b c d 一 100 100 100 500 二 100 100 500 500 三 200 200 400 400 （ ）如果采取方案一，求 X=200 的概率； （ ）分别计算方案二、方案三的平均数 和方差 果要求员工所获的奖励额相对均衡，方案二和方案三选择哪个更好？ （ ）在投票选择方案二还是方案三时，公司按性别分层抽取 100 名员工进行统计，得到如下不 完整的 2 2 列联表请将该表补充完整，并判断能否有 90%的把握认为 “选择方案二或方案三与性别有关 ”？ 方案二 方案三 合计 男性 12 女性 40 合计 82 100 附： P（ 9如图，直角 ， 0， ， D、 E 分别是 的中点，沿 起至 0 （ ）求四棱锥 F 体积； （ ）求证 ：平面 平面 20在平面直角坐标系 ，已知点 F（ 1， 0）和直线 l： x=4，圆 C 与直线 且圆心 C 关于点 F 的对称点在圆 C 上，直线 l 与 x 轴相交于点 P （ ）求圆心 C 的轨迹 E 的方程； （ ）过点 F 且与直线 l 不垂直的直线 m 与圆心 C 的轨迹 E 相交于点 A、 B，求 积的取值范围 21设函数 f（ x） =a 是常数 （ ）若 a=1，且曲线 y=f（ x）的切线 l 经过坐标原点（ 0， 0），求该切线的方程； （ ）讨论 f（ x）的零点的个数 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答 ，如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 4标系与参数方程 22极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的正半轴重合，两坐标系单位长度相同已知曲线的极坐标方程为 =2线 l 的参数方程为 （ t 为参数） （ ）将直线 l 的参数方程化为普通方程，将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ ）设曲线 C 上到直线 l 的距离为 d 的点的个数为 f（ d），求 f（ d）的解析式 选修 4等式选讲 23设函数 f（ x） =|x+ |+|x a+1|（ a 0 是常数） （ ）证 明： f（ x） 1； （ ）若 f（ 3） ，求 a 的取值范围 2017 年广东省江门市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=x|0， N=x|3x 4 0，则 M N=（ ） A（ 1， 4） B（ 1， + ） C（ 1， 4） D（ 4， + ） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 M 与 N 中不等式的解集分别确定出两集合，求出 M 与 N 的交集即可 【解答】 解：由 M 中不等 式变形得： 0= 解得： x 1，即 M=（ 1， + ）， 由 N 中不等式变形得：（ x 4）（ x+1） 0， 解得： x 1 或 x 4，即 N=（ ， 1） （ 4， + ）， 则 M N=（ 4， + ）， 故选： D 2 i 是虚数单位，（ 1 i） Z=2i，则复数 Z 的模 |Z|=（ ） A 1 B C D 2 【考点】 复数求模 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 【解答】 解： （ 1 i） Z=2i， ， 则 |Z|= 故选： B 3某商场对 一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（ ） A 46， 45 B 45， 46 C 45， 45 D 47， 45 【考点】 茎叶图 【分析】 结合茎叶图，利用中位数、众数的定义求解即可 【解答】 解：根据茎叶图知， 样本中的 30 个数据从小到大排列，位于中间的两个数据是 45， 47， 该样本的中位数为： =46； 出现次数最多的数据是 45， 该样本的众数是 45 故选： A 4 “”是 “（ ） A充要条件 B充分 非必要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 得 ；反之 ，可得 可判断出结论 【解答】 解：由 ； 由 ， “”是 “必要不充分条件 故选： C 5已知数列 递增 的等比数列， a1+， ，则数列 前 2016 项之和 ） A 22016 B 22015 1 C 22016 1 D 22017 1 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 根据等比数列的通项公式和数列 前公式进行计算即可 【解答】 解：在等比数列 ，若 4a1+， ， 则 a1+， ， 则 解得 q=2， 则 故选： C 6 棱长为 2 的正方体， 交于 O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点 M， 1 的概率 p=（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题意可得概率为体积之比，分别求正方体的体积和球的体积可得 【解答】 解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积 23=8， 满足 1 的基本事件为 O 为球心 1 为半径的球内部在正方体中的部分，其体积为 V= 13= ， 故概率 P= = 故选： A 7 双曲线 C 的焦点，过 与双曲线实轴垂直的直线与双曲线相交于A、 B，且 正三角 形，则双曲线的离心率 e=（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用直角三角形中含 30角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到 a， c 的关系 【解答】 解：由 正三角形，则在 ，有 0， | |又 | |2a |4a， |2a，又 |2c， 又在 ， |+|=|， 得到 46 =3， e= = 故选： B 8执行如图所示的程序框图，输出的 S=（ ） A 4 B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=9时，不满足条件 i 9，跳出循环，输出 S 的值为 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 S=4， i=1 满足条件 i 9，执行循环体， S= ， i=2 满足条件 i 9，执行循环体， S= ， i=3 满足条件 i 9，执行循环体， S=4， i=4 满足条件 i 9，执行循环体， S= ， i=5 观察规律可知， S 的取值周期为 3，由于 8=3 2+1， 可得： i=8 时，满足条件 i 9，执行循环体， S= ， i=9 不满足条件 i 9，退出循环，输出 S 的值为 故选： C 9 内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，若 ， a=4， c=5，则 b=（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知利用二倍角的正弦函数公式，结合 0，可求 ，利用余弦定理 29b 18=0，即可解得 b 的值 【解答】 解： ，可得： 2 又 0， 可得： ， 由已知及余弦定理 c2=a2+2得： 52=42+2 4 b ， 整理可得： 29b 18=0，解得： b=6 或 （舍去）， 故选： D 10 F 是抛物线 x 的焦点，以 F 为端点的射线与抛物线相交于 A，与抛物线的准线相交于 B，若 ，则 =（ ） A 1 B C 2 D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由题意，利用抛物线的定义，结合向量条件，求出 A 的横坐标，即可得出结论 【解答】 解：由题意，设 A 的横坐标为 m，则由抛物线的定义，可 得 ， m= ， | ， |3， =| ， 故选 D 11将函数 f（ x） = 是正整数）的图象向右平移 个单位，所得曲线在区间 内单调递增，则 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由题意可得可得 2 （ ） （ ） 2，k Z解得 k+ ，由此求得可得正整数 的最大值 【解答】 解：将函数 f（ x） = 是正整数）的图象向右平移 个单位 ， 可得 y=x ）的图象 所得曲线在区间 内单调递增，可得 2 （ ） （ ） 2， k Z 求得 k+ ，令 k=2，可得正整数 的最大值为 3， 故选： A 12已知函数 ，关于 x 的不等式 x） x） 0 有且只有三个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据 f（ x）的单调性，通过讨论 a 的符号，解关于 f（ x）的不等式结合不等式解的个数，求出 n 的范围即可 【解答】 解 ：（ 1） f（ x） = ， 令 f（ x） 0，解得： 0 x e， 令 f（ x） 0，解得： x e， f（ x）的递增区间为（ 0， e），递减区间为（ e， + ）， 故 f（ x）的最大值是 f（ e） = ， x+ 时， f（ x） 0， x0 时， x ， f（ 1） =0， 故在（ 0， 1）时， f（ x） 0，在（ 1， + ）时， f（ x） 0， a 0 时，由不等式 x） x） 0 得 f（ x） 0 或 f（ x） a， 而 f（ x） 0 的解集为（ 1， + ），整数解有无数多个，不合题意； a=0 时，由不等式 x） x） 0， 得 f（ x） 0，解集为（ 0， 1） （ 1，+ ）， 整数解有无数多个，不合题意； a 0 时，由不等式 x） x） 0，得 f（ x） a 或 f（ x） 0， f（ x） 0 的解集为（ 0， 1）无整数解， 若不等式 x） x） 0 有且只有三个整数解， f（ x）在（ 0， e）递增，在（ e， + ）递减， 而 2 e 3， f（ 2） =f（ 4）， 所以，三个正整数为 3， 4， 5，而 f（ 4） = ， 综上，实数 a 的取值范围是 ， ）， 故选： A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13若 2，则 = 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 用两角和的正切函数公式即可计算得解 【解答】 解： 2， ， = = = 故答案为： 14一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 S= 48 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可 【解答】 解：由三视图可知，几何体是底面边长为 4 和 4 高为 1 的长方体，中间挖去半 径为 1 的圆柱， 几何体的表面积为：长方体的表面积 +圆柱的侧面积圆柱的两个底面面积 即 S=2 （ 4 4+1 4+1 4） +2 1 2 12=48 故答案为： 48 15 、 为单位向量，若 ，则 = 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据单位向量和平面向量的数量积，利用模长公式求出 8 的值，再计算 的值 【解答】 解： 、 为单位向量，且 ， = 8 +16 =1 8 +16=18， 8 = 1； = +8 +16 =1 1+16=16， =4 故答案为： 4 16若 x、 y 满足 ，且 z=x 最大值为 4，则实数 a 的值为 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，结合目标函数 z=x a 0）的最大值为 4，然后根据条件即可求出 a 的值 【解答】 解：作出不等式组 ，对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x 最大值为 4，得 y= x ， 当 a 0， 目标函数的斜率 k= 0， 平移直线 y= x ， 由图象可知当直线 y= x 经过点 B 时，直线的截距最大，此时 z 最大为 4，即x 由 ，得（ 1， 2）， 此时 1 2a=4 解得 a= 舍去 当 a 0，目标函数的斜率 k= 0， 平移直线 y= x ， 由图象可知当直线 y= x 经过点 A 时，直线的截距最大为 4，即 x 由 ，得（ 3， ）， 此时 3 a=4 解得 a= 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知正项数列 前 n 项和为 ， n N* （ ）求通项 （ ）若 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ） 当 n=1 时， 1， n 1 时， = 简整理，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求； （ ）由（ ）得 ，可得 ，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和 【解答】 解：（ ） ， 0， 解得 n N*， 移项整理并因式分解得：（ 1）（ +=0 因为 正项数列，所以 1=0， 首项 、公差为 1 的等差数列， an=n （ ）由（ ）得 ， ， = 18某公司为感谢全体员工的辛勤劳动，决定在年终答谢会上，通过摸球方式对全公司 1000 位员工进行现金抽奖规定：每位员工从装有 4 个相同质地球的袋子中一次性随机摸出 2 个球，这 4 个球上分别标有数字 a、 b、 c、 d，摸出来的两个球上的数字之和为该员工所获的奖励额 X（单位：元）公司拟定了以下三个数字方案： 方案 a b c d 一 100 100 100 500 二 100 100 500 500 三 200 200 400 400 （ ）如果采取方案一，求 X=200 的概率； （ ）分别计算方案二、 方案三的平均数 和方差 果要求员工所获的奖励额相对均衡，方案二和方案三选择哪个更好？ （ ）在投票选择方案二还是方案三时，公司按性别分层抽取 100 名员工进行统计，得到如下不完整的 2 2 列联表请将该表补充完整，并判断能否有 90%的把握认为 “选择方案二或方案三与性别有关 ”？ 方案二 方案三 合计 男性 12 48 60 女性 6 34 40 合计 18 82 100 附： P（ 考点】 独立性检验的应用；极差、方差与标准差 【分析】 （ ）确定基本事件的个数，即可求 X=200 的概率； （ ）求出相应的方差，即可得出结论； （ ）计算 临界值比较，即可得出结论 【解答】 解：（ ）从 a、 b、 c、 d 中取两个，共有 6 个基本事件 采取方案一，设 X=200 为事件 A，它包含 3 个基本事件 由于每个基本事件都是等可能的，所以 （ ）依题意，求数据 平均数 和方差 ， ， ， ， ， ，方案三的方差较小，相对均衡，选择方案三较好 （ ） 二 三 合计 男性 12 48 60 女性 6 34 40 合计 18 82 100 直接计算得， ， 所以不能以（ 1 P（ 100%=90%的把握认为选择方案二或三与性别有关 19如图，直角 ， 0， ， D、 E 分别是 的中点，沿 起至 0 （ ）求四棱锥 F 体积； （ ）求证：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ ）作 M，则 平面 可求出四棱锥 F h，求出梯形 面积 s，四棱锥 F 体积 v= （ ）（法一）如图 2取线段 点 N、 Q，连接 需证明 平面 可， （法二）连接 明 平面 可 【解答】 解：（ ） D、 E 分别是 的中点， 行且等于 一半， 依题意， F=2， ， 平面 面 平面 平面 作 M，则 平面 0， 梯形 面积 四棱锥 F 体积 （ ）（法一）如图 2取线段 点 N、 Q，连接 C 的一半， 行且等于 平行四边形， F， 0， 等边三角形， 又 平面 ， 平面 平面 又 面 平面 平面 （法二）连接 F， 0， 边长为 2 等边三角形 F， ， 0， 平面 平面 面 ， 平面 面 平面 平面 20在平面直角坐标系 ，已知点 F（ 1， 0）和直线 l： x=4，圆 C 与直线 且圆心 C 关于点 F 的 对称点在圆 C 上，直线 l 与 x 轴相交于点 P （ ）求圆心 C 的轨迹 E 的方程； （ ）过点 F 且与直线 l 不垂直的直线 m 与圆心 C 的轨迹 E 相交于点 A、 B，求 积的取值范围 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）设圆心 C（ x， y），由圆心 C 到点 F 的距离等于它到直线 l 距离的一半，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，能求出圆心 C 的轨迹方程 （ ）设直线 l 的方程为 x=，由 ，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出 积的取值范围 【解答】 解：（ ）设圆心 C（ x， y）， 则圆心 C 到点 F 的距离等于它到直线 l 距离的一半 化简得，圆心 C 的轨迹方程为 （ ）设直线 l 的方程为 x= 由 0，设 A（ B（ 则 ， 面积 设 t= 1，则 ， 设 ， f（ t）单调递增， f（ t） f（ 1） =16 所以 ， 积的取值范围为 21设函数 f（ x） =a 是常数 （ ）若 a=1，且曲线 y=f（ x）的切线 l 经过坐标原点（ 0， 0），求该切线的方程； （ ）讨论 f（ x）的零点的 个数 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出函数的导数，表示出切线方程，求出 m 的值，从而求出切线方程即可； （ ）求出函数 f（ x）的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可 【解答】 解：（ ） a=1 时， f（ x） =x， f（ x） =1 ， 设切点坐标是（ m， m）， 则 k=f（ m） =1， 故切线方程是： y（ m） =（ 1）（ x m） 由 0（ m） =（ 1）（ 0 m），得 m=1， 所求切线为： y=（ e 1） x （ ） f（ x） =a，当 a 0 时，由 f（ x） =0 得 x=（ 1） a 0 时，若 x f（ x） 0；若 x f（ x） 0 函数 f（ x）在区间（ ， 调递减，在区间（ + ）单调递增， f（ x）的最小值为 f（ =a（ 1 0 a e 时， f（ =a（ 1 0， f（ x）无零点 a=e 时， f（ =a（ 1 =0， f（ x）只有一个零点 a e 时， f（ =a（ 1 0，根据 f（ 0） =1 0 与函数的单调性， f（ x）在区间（ ， （ + ）各有一个零点， f（ x）共有两个零点 （ 2） a=0 时， f（ x） =f（ x）无零点 （ 3） a 0 时，由 f（ x） =0 得， ex= 故曲线 y= y=有一个交点，所以 f（ x）只有一个零点 综上所述， 0 a e 时， f（ x）无零点； a 0 或 a=e 时， f（ x）有一