新考纲下的高三摸底联考(全国卷)数学(理)试题

数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.已知为虚数单位，设复数，则的虚部为（ ）A B C2 D-23.已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D 4.在等比数列中，是方程的两根，则（ ）A6 B2 C.2或6 D-25.设实数，则（ ）A B C. D6.执行如下程序，输出的值为（ ）A B C. D7.函数的大致图象是（ ）A B C. D8.如图，边长为1的网格上为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C. D9.2016年11月16日18日，备受世界瞩目的第三届世界互联网大会在浙江乌镇召开，会议期间，组委会将这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作，若要求必须相同，且每组至少2人，则不同的分配方法有（ ）A18种 B20种 C. 22种 D以上都不对10.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上的一点，且，为垂足，若直线的倾斜角为，则（ ）A1 B C.2 D11.已知是正三棱椎，其外接球的表面积为，且，则三棱锥的体积为（ ）A B C. D12.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式的展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为 14.已知菱形的中心为，则等于 15.意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,114,233，即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列，则 16.已知满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）设锐角中，角的对边分别为，且是与的等差中项.（）求角的大小；（）若，求面积的最大值.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，于点，为线段上一点，且.（）求证：平面；（）若，且，求二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于是需矫正速度.（）从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；（）从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；（）从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为，求的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为.（）求椭圆的标准方程；（）若点是椭圆上的动点（不在轴上），过右焦点作直线的垂线交直线于点.判断点运动时，直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.21.（本小题满分12分）已知函数的图象在点处的切线方程为.（）求实数的值及函数的单调区间；（）当时，比较与（为自然对数的底数）的大小.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）将直线写成参数方程（为参数，）的形式，并求曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线交于点（点在第一象限）两点，若点的直角坐标为，求的面积.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（）若，求函数的值域；（）若，解不等式.试卷答案一、选择题1. 【解析】集合，因此.故选.2. 【解析】，故，其虚部为2.故选.3. 【解析】实轴长，故，因此渐近线方程为，故选.4. 【解析】因为是方程的两根，所以，所以，又数列为等比数列，所以，所以，所以，故选.5. 【解析】，且，易求得，故，故选.6. 【解析】依题意可得，故选.7. 【解析】由题得，所以不选项.当时，故排除项.故选.8. 【解析】依据三视图，知所求几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥和一个半圆锥的组合体，故其体积为，故选.9. 【解析】分组的方案有2、4和3、3两类.第一类有种不同的分配方法；第二类有种不同的分配方法，故共有种不同的分配方法，故选.10. 【解析】中，抛物线焦点到准线的距离，故.所以，又，所以，故选.11. 【解析】如图，设的中心为，易知球的半径，设的边长为，中，解得，三棱锥的体积.故选. 12. 【解析】.，依题意，函数在区间上为减函数，故恒成立，因此在区间上恒成立，令，因此，若对恒成立，即，因为，故恒成立，即，设，则，故在区间上单调递增，所以，所以.故选.二、填空题13.90 【解析】依题意知，的通项公式为，令，得，故含项的系数为. 14. 【解析】. 15.1 【解析】斐波那契数列的前几项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，则数列的前几项为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，因此数列是周期数列，其周期为8，因此. 16. 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图.令，可知为点与可行域内点的连线的斜率，由图知的取值范围是，即.恒成立，又，而当时，故，因此.所以实数的最大值是.三、解答题，.又为锐角，.（），当且仅当时，取等号.的面积.即面积的最大值为（当且仅当时，等号成立）.18.解：（），平面，平面，.又平面，平面，.又都是平面中的直线，.又平面，平面.（），且，又，在中，同理，.由（），知平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，.则，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，即.取棱的中点，连接.易证得平面.平面的一个法向量为.易知二面角所成的平面角为锐角，二面角的余弦值为.19.解：（）记事件为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”.因为，由样本条形图可知，所求的概率为.（）记事件为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”.由题设可知样本容量为100，又需矫正速度个数为5个，故所求概率为.（）需矫正速度的个数服从二项分布，即，因此的分布列为由，知数学期望.20.解：（）由题意得，所以，因此，所以椭圆的标准方程为.（）易知.设点，则，由，得，所以，所以直线的方程为，即，将代入化简，得，即，代入椭圆方程，得，即，即，其判别式，所以直线与椭圆相切.21.解：（）函数的定义域为，因为的图象在点处的切线方程为，所以，解得，.所以.所以.令，得，当时，单调递增；当时，单调递减.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（）当时，.证明如下：因为时单调递减，且，又，当时，单调递增，且.若，则必都大于1，且必有一个小于，一个大于.不防设，当时，必有.当时，设，则.因为，所以.故.又，所以.所以在区间内单调递增.所以.所以.因为，所以，又因为在区间内单调递增，所以，即.综上，当时，.22.解：（）直线的倾斜角为，因此写成参数方程的形式