直线与圆综合复习_1

直线与圆综合复习 直线与圆综合复习 新坝中学 陈家国 学习要求: 1.掌握直线方程的几种形式，能判断两直线平 行或垂直的位置关系，能用解方程组的方法求两条 相交直线的交点坐标理解两点间的距离公式，点 到直线的距离公式，会求与此有关的距离问题 2.掌握圆的标准方程与一般方程，并能判断直 线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判 断两圆的位置关系，初步了解用代数方法处理几何 问题的思路 学习重点、难点: 1.掌握直线方程的几种形式； 2.掌握圆的标准方程与一般方程，并能判断直 线与圆的位置关系、两圆的位置关系。 学生活动 学法指导 【热身训练】 1.若直线 xay30 与直线 ax4y60 平行，则 a_2_。 解析：由两条直线平行可知a2. 2. 直线 l 过点(1,2)且与直线 2x3y40 垂直，则 l 的方程是 x2y10。 3. 若圆 c 的半径为 1，圆心在第一象限，且 与直线 4x3y0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方 程是(x2)2(y1)21 解析：由题意，设圆心(x0,1)，1，解得 x02 或 x0(舍)， 4.已知圆 c1：(x1)2(y1)21，圆 c2 与圆 c1 关于直线 xy10 对称，则圆 c2 的方 程为_(x2)2(y2)21_ 5.若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦的长为 2，则 a_1_ 解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为： y，如图，由已知|ac|，|oa|2，有 |oc|1，a1. 【知识要点】 1直线的倾斜角 (1)在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相 交的直线，如果把 x 轴所在的直线绕着 按 方向旋转到和直线重合时所转的 记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角 (2)当直线与 x 轴平行或重合时，规定直线的 倾斜角 (3)倾斜角的取值范围是 2直线的斜率 (1) 倾斜角不是 的直线，它的倾斜角 的 叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用 k 表示，即 k ()经过两点和的直线的斜率公式为：k 直线方程的几种形式： 名称 方程的形式 适用范围 点斜式 不能表示垂直于 x 轴的直线 斜截式 不能表示垂直于 x 轴的直线 两点式 不能表示垂直于 x 轴和 y 轴的直线 截距式 不能表示垂直于 x 轴和 y 轴以及过原点的直线 一般式 无限制，可表示任意位置的直线 平行 (1)若两条直线的斜率 k1、k2 均存在，在 y 轴 上的截距分别为 b1、b2，则 l1l2 的充要条件是 (2)若两条直线 l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，则 l1l2 的充要条件为 垂直 (1)若两条直线的斜率 k1，k2 均存在，则 l1l2 (2)若两条直线 l1：a1xb1yc10 和 l2：a2xb2yc20，则 l1l2 点到直线的距离 点 p(x0，y0)到直线 axbyc0 的距离为 d ，特别地，两条平行直线 axbyc10，axbyc20 间的距离为 d 直线系方程 (1)平行直线系：与直线 axbyc0 平行的 直线可以表示为 (2)垂直直线系：与直线 axbyc0 垂直的 直线可以表示为 (3)过两条直线 l1：a1xb1yc10 和 l2：a2xb2yc20 的交点的直线系为： 圆的方程 (1)标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中 为圆心，r 为半径 (2)一般方程： x2y2dxeyf0(d2e24f0)其中圆心为 ，半径为 . 直线 laxbyc0 与圆(xa) 2(yb)2r2(r0)的位置关系 (1) 几何方法： 圆心(a，b)到直线 axbyc0 的距离 d ， 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离 (2)代数方法： 由 消元， 得到一元二次方程判别式为 ，则 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离 10两圆的位置关系：（设两圆的半径分别为， 圆心距为） 外离 外切 相交 内切 内含 【典例示范】 题型一：直线的倾斜角与斜率 例 1已知直线 l 过点 p(1,2)，且与以 a(2，3)、b(3,0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围 法一：（数形结合） (，5，) 法二：设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程 为 y2k(x1)，即 kxyk20. a、b 两点在直线的两侧或其中一点的直线 l 上， (2k3k2)(3k0k2)0， 即(k5)(4k2)0，k5 或 k. 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是 (，5，) 题型二：直线的位置关系 例 2求直线 l1：2xy40 关于直线 l：3x4y10 对称的直线 l2 的方程 题型三：圆的方程 例 3. 根据下列条件求圆的方程： (1)经过坐标原点和点 p(1,1)，并且圆心在直 线 2x3y10 上； (2)已知一圆过 p(4，2)、q(1,3)两点， 且在 y 轴上截得的线段长为，求圆的方程； (3)已知圆的半径为，圆心在直线 y2x 上， 圆被直线 xy0 截得的弦长为. （1） （2）或 （3）或 题型四：直线与圆的位置关系 例已知圆 c：x2y22x2y10，与 圆 c 相切的直线 l 交 x 轴、y 轴的正方向于 a、b 两点，o 为原点，oaa，obb(a2，b2) (1)求证：圆 c 与直线 l 相切的条件是(a2) (b2)2； (2)求线段 ab 中点的轨迹方程； (3)求aob 面积的最小值 解 依题意得，直线 l 的方程为 +=1 即 bx+ay- ab=0，圆 c 的方程为(x-1)2+(y-1)2=1 （1） 直线与圆相切, =1,化简: (a-2) (b-2)=2 （2） 设 ab 的中点为，则代人得： （3） 由(a-2)(b-2)=2, 得 ab=2a+2b-2 saob=|ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+32+3=2+3, 当且仅当 a=b=2+时，面积有最小值：2+3. 【归纳总结】 1合理选择适当的直线方程形式，并注意适 用条件。 2直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合运 用。 3. 注重数形结合思想，借助图形，直观地作 出判断，注意几何性质的运用。 【巩固练习】 1. 在abc 中，bc 边上的高所在直线方程为 x2y10，a 的平分线所在直线方程为 y0，若点 b 坐标为(1,2)，求点 a 和 c 的坐标 分析：利用高线与a 的平分线求得点 a 坐标,然 后求出直线 ac 与 bc 的方程,从而求出 c 点坐标. 解 a 点既在 bc 边的高线上,又在a 的平分线 上, 由得 a(-1,0)，kab=1,而 x 轴是角 a 的平分 线, kac= 1, ac 边所在直线方程为 y=-(x+1) 又 kbc= 2, bc 边所在直线方程为 y 2=2(x1) 联立 得 c 的坐标为(5,6) 点拨： 综合运用三角形和直线有关知识,寻找 解题突破口,将问题转化为先求一些直线方程,再求 直线的交点.这是解决这一类问题的常用办法. 2. 一个圆切直线于点，且圆心在直线上，求 该圆的方程。 解：过点且与直线垂直的直线的方程设为，点 p 的坐标代入得，即. 设所求圆的圆心为为，由于所求圆切直线于点， 则满足；又由题设圆心 m 在直线上，则.联立 解得，.即圆心 m（3，5） ，因此半径=pm=，所 求圆的方程为. 3.在平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 f(x) x22xb(xr)的图象与两个坐标轴有三个交 点，经过这三个交点的圆记为 c. (1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 c 的方程； (3)问圆 c 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？ 请证明你的结论 【解析】：本小题考查二次函数图像和性质、 圆的方程的求法。 （1）令 x=0，得抛物线于 y 轴的交点是 （0，b） 令 f(x)=0，得 x2+2x+b=0，由题意 b0 且 0，解得 b0)的公共弦的长为 2，则 a_1_ 解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为： y，如图，由已知|ac|，|oa|2，有 |oc|1，a1. 【知识要点】 1直线的倾斜角 (1)在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相 交的直线，如果把 x 轴所在的直线绕着 按 方向旋转到和直线重合时所转的 记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角 (2)当直线与 x 轴平行或重合时，规定直线的 倾斜角 (3)倾斜角的取值范围是 2直线的斜率 (1) 倾斜角不是 的直线，它的倾斜角 的 叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用 k 表示，即 k ()经过两点和的直线的斜率公式为：k 直线方程的几种形式： 名称 方程的形式 适用范围 点斜式 不能表示垂直于 x 轴的直线 斜截式 不能表示垂直于 x 轴的直线 两点式 不能表示垂直于 x 轴和 y 轴的直线 截距式 不能表示垂直于 x 轴和 y 轴以及过原点的直线 一般式 无限制，可表示任意位置的直线 平行 (1)若两条直线的斜率 k1、k2 均存在，在 y 轴 上的截距分别为 b1、b2，则 l1l2 的充要条件是 (2)若两条直线 l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，则 l1l2 的充要条件为 垂直 (1)若两条直线的斜率 k1，k2 均存在，则 l1l2 (2)若两条直线 l1：a1xb1yc10 和 l2：a2xb2yc20，则 l1l2 点到直线的距离 点 p(x0，y0)到直线 axbyc0 的距离为 d ，特别地，两条平行直线 axbyc10，axbyc20 间的距离为 d 直线系方程 (1)平行直线系：与直线 axbyc0 平行的 直线可以表示为 (2)垂直直线系：与直线 axbyc0 垂直的 直线可以表示为 (3)过两条直线 l1：a1xb1yc10 和 l2：a2xb2yc20 的交点的直线系为： 圆的方程 (1)标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中 为圆心，r 为半径 (2)一般方程： x2y2dxeyf0(d2e24f0)其中圆心为 ，半径为 . 直线 laxbyc0 与圆(xa) 2(yb)2r2(r0)的位置关系 (1) 几何方法： 圆心(a，b)到直线 axbyc0 的距离 d ， 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离 (2)代数方法： 由 消元， 得到一元二次方程判别式为 ，则 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离 10两圆的位置关系：（设两圆的半径分别为， 圆心距为） 外离 外切 相交 内切 内含 【典例示范】 题型一：直线的倾斜角与斜率 例 1已知直线 l 过点 p(1,2)，且与以 a(2，3)、b(3,0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围 法一：（数形结合） (，5，) 法二：设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程 为 y2k(x1)，即 kxyk20. a、b 两点在直线的两侧或其中一点的直线 l 上， (2k3k2)(3k0k2)0， 即(k5)(4k2)0，k5 或 k. 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是 (，5，) 题型二：直线的位置关系 例 2求直线 l1：2xy40 关于直线 l：3x4y10 对称的直线 l2 的方程 题型三：圆的方程 例 3. 根据下列条件求圆的方程： (1)经过坐标原点和点 p(1,1)，并且圆心在直 线 2x3y10 上； (2)已知一圆过 p(4，2)、q(1,3)两点， 且在 y 轴上截得的线段长为，求圆的方程； (3)已知圆的半径为，圆心在直线 y2x 上， 圆被直线 xy0 截得的弦长为. （1） （2）或 （3）或 题型四：直线与圆的位置关系 例已知圆 c：x2y22x2y10，与 圆 c 相切的直线 l 交 x 轴、y 轴的正方向于 a、b 两点，o 为原点，oaa，obb(a2，b2) (1)求证：圆 c 与直线 l 相切的条件是(a2) (b2)2； (2)求线段 ab 中点的轨迹方程； (3)求aob 面积的最小值 解 依题意得，直线 l 的方程为 +=1 即 bx+ay- ab=0，圆 c 的方程为(x-1)2+(y-1)2=1 （1） 直线与圆相切, =1,化简: (a-2) (b-2)=2 （2） 设 ab 的中点为，则代人得： （3） 由(a-2)(b-2)=2, 得 ab=2a+2b-2 saob=|ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+32+3=2+3, 当且仅当 a=b=2+时，面积有最小值：2+3. 【归纳总结】 1合理选择适当的直线方程形式，并注意适 用条件。 2直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合运 用。 3. 注重数形结合思想，借助图形，直观地作 出判断，注意几何性质的运用。 【巩固练习】 1. 在abc 中，bc 边上的高所在直线方程为 x2y10，a 的平分线所在直线方程为 y0，若点 b 坐标为(1,2)，求点 a 和 c 的坐标 分析：利用高线与a 的平分线求得点 a 坐标,然 后求出直线 ac 与 bc 的方程,从而求出 c 点坐标. 解 a 点既在 bc 边的高线上,又在a 的平分线 上, 由得 a(-1,0)，kab=1,而 x 轴是角 a 的平分 线, kac= 1, ac 边所在直线方程为 y=-(x+1) 又 kbc= 2, bc 边所在直线方程为 y 2=2(x1) 联立 得 c 的坐标为(5,6) 点拨： 综合运用三角形和直线有关知识,寻找 解题突破口,将问题转化为先求一些直线方程,再求 直线的交点.这是解决这一类问题的常用办法. 2. 一个圆切直线于点，且圆心在直线上，求 该圆的方程。 解：过点且与直线垂直的直线的方程设为，点 p 的坐标代入得，即. 设所求圆的圆心为为，由于所求圆切直线于点， 则满足；又由题设圆心 m 在直线上，则.联立 解得，.即圆心 m（3，5） ，因此半径=pm=，所 求圆的方程为. 3.在平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 f(x) x22xb(xr)的图象与两个坐标轴有三个交 点，经过这三个交点的圆记为 c. (1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 c 的方程； (3)问圆 c 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？ 请证明你的结论 【解析】：本小题考查二次函数图像和性质、 圆的方程的求法。 （1）令 x=0，得抛物线于 y 轴的交点是 （0，b） 令 f(x)=0，得 x2+2x+b=0，由题意 b0 且 0，解得 b0)的公共弦的长为 2，则 a_1_ 解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为： y，如图，由已知|ac|，|oa|2，有 |oc|1，a1. 【知识要点】 1直线的倾斜角 (1)在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相 交的直线，如果把 x 轴所在的直线绕着 按 方向旋转到和直线重合时所转的 记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角 (2)当直线与 x 轴平行或重合时，规定直线的 倾斜角 (3)倾斜角的取值范围是 2直线的斜率 (1) 倾斜角不是 的直线，它的倾斜角 的 叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用 k 表示，即 k ()经过两点和的直线的斜率公式为：k 直线方程的几种形式： 名称 方程的形式 适用范围 点斜式 不能表示垂直于 x 轴的直线 斜截式 不能表示垂直于 x 轴的直线 两点式 不能表示垂直于 x 轴和 y 轴的直线 截距式 不能表示垂直于 x 轴和 y 轴以及过原点的直线 一般式 无限制，可表示任意位置的直线 平行 (1)若两条直线的斜率 k1、k2 均存在，在 y 轴 上的截距分别为 b1、b2，则 l1l2 的充要条件是 (2)若两条直线 l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，则 l1l2 的充要条件为 垂直 (1)若两条直线的斜率 k1，k2 均存在，则 l1l2 (2)若两条直线 l1：a1xb1yc10 和 l2：a2xb2yc20，则 l1l2 点到直线的距离 点 p(x0，y0)到直线 axbyc0 的距离为 d ，特别地，两条平行直线 axbyc10，axbyc20 间的距离为 d 直线系方程 (1)平行直线系：与直线 axbyc0 平行的 直线可以表示为 (2)垂直直线系：与直线 axbyc0 垂直的 直线可以表示为 (3)过两条直线 l1：a1xb1yc10 和 l2：a2xb2yc20 的交点的直线系为： 圆的方程 (1)标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中 为圆心，r 为半径 (2)一般方程： x2y2dxeyf0(d2e24f0)其中圆心为 ，半径为 . 直线 laxbyc0 与圆(xa) 2(yb)2r2(r0)的位置关系 (1) 几何方法： 圆心(a，b)到直线 axbyc0 的距离 d ， 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离 (2)代数方法： 由 消元， 得到一元二次方程判别式为 ，则 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离 10两圆的位置关系：（设两圆的半径分别为， 圆心距为） 外离 外切 相交 内切 内含 【典例示范】 题型一：直线的倾斜角与斜率 例 1已知直线 l 过点 p(1,2)，且与以 a(2，3)、b(3,0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围 法一：（数形结合） (，5，) 法二：设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程 为 y2k(x1)，即 kxyk20. a、b 两点在直线的两侧或其中一点的直线 l 上， (2k3k2)(3k0k2)0， 即(k5)(4k2)0，k5 或 k. 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是 (，5，) 题型二：直线的位置关系 例 2求直线 l1：2xy40 关于直线 l：3x4y10 对称的直线 l2 的方程 题型三：圆的方程 例 3. 根据下列条件求圆的方程： (1)经过坐标原点和点 p(1,1)，并且圆心在直 线 2x3y10 上； (2)已知一圆过 p(4，2)、q(1,3)两点， 且在 y 轴上截得的线段长为，求圆的方程； (3)已知圆的半径为，圆心在直线 y2x 上， 圆被直线 xy0 截得的弦长为. （1） （2）或 （3）或 题型四：直线与圆的位置关系 例已知圆 c：x2y22x2y10，与 圆 c 相切的直线 l 交 x 轴、y 轴的正方向于 a、b 两点，o 为原点，oaa，obb(a2，b2) (1)求证：圆 c 与直线 l 相切的条件是(a2) (b2)2； (2)求线段 ab 中点的轨迹方程； (3)求aob 面积的最小值 解 依题意得，直线 l 的方程为 +=1 即 bx+ay- ab=0，圆 c 的方程为(x-1)2+(y-1)2=1 （1） 直线与圆相切, =1,化简: (a-2) (b-2)=2 （2） 设 ab 的中点为，则代人得： （3） 由(a-2)(b-2)=2, 得 ab=2a+2b-2 saob=|ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+32+3=2+3, 当且仅当 a=b=2+时，面积有最小值：2+3. 【归纳总结】 1合理选择适当的直线方程形式，并注意适 用条件。 2直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合运 用。 3. 注重数形结合思想，借助图形，直观地作 出判断，注意几何性质的运用。 【巩固练习】 1. 在abc 中，bc 边上的高所在直线方程为 x2y10，a 的平分线所在直线方程为 y0，若点 b 坐标为(1,2)，求点 a 和 c 的坐标 分析：利用高线与a 的平分线求得点 a 坐标,然 后求出直线 ac 与 bc 的方程,从而求出 c 点坐标. 解 a 点既在 bc 边的高线上,又在a 的平分线 上, 由得 a(-1,0)，kab=1,而 x 轴是角 a 的平分 线, kac= 1, ac 边所在直线方程为 y=-(x+1) 又 kbc= 2, bc 边所在直线方程为 y 2=2(x1) 联立 得 c 的坐标为(5,6) 点拨： 综合运用三角形和直线有关知识,寻找 解题突破口,将问题转化为先求一些直线方程,再求 直线的交点.这是解决这一类问题的常用办法. 2. 一个圆切直线于点，且圆心在直线上，求 该圆的方程。 解：过点且与直线垂直的直线的方程设为，点 p 的坐标代入得，即. 设所求圆的圆心为为，由于所求圆切直线于点， 则满足；又由题设圆心 m 在直线上，则.联立 解得，.即圆心 m（3，5） ，因此半径=pm=，所 求圆的方程为. 3.在平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 f(x) x22xb(xr)的图象与两个坐标轴有三个交 点，经过这三个交点的圆记为 c. (1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 c 的方程； (3)问圆 c 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？ 请证明你的结论 【解析】：本小题考查二次函数图像和性质、 圆的方程的求法。 （1）令 x=0，得抛物线于 y 轴的交点是 （0，b） 令 f(x)=0，得 x2+2x+b=0，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b0 （2）设所求圆的一般方程为 x2+ y2+dx+ey+f=0 令 y=0，得 x2+dx+f=0，这与 x2+2x+b=0 是同 一个方程，故 d=2，f=b 令 x=0，得 y2+ ey+b=0，此方程有一个根为 b，代入得 e=-b-1 所以圆 c 的方程为 x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0 （3）圆 c 必过定点（0，1） ， （-2