运筹学的理论和方法应用的设计书

1 运筹学的理论和方法应用的设计书 1 前 言 山东 博贝 机械产品制造有限公司位于山东省 神 州市北城工业园。 该 公司是集开发、设计、制造销售于一体；公司专业性强、技术力量雄厚，是同行业中规模较大的企业。公司生产工量具、机床附件、铸件、特种扳手等系列产品。产品广泛适用于机械加工，工具车间，装配车间，机（检）修车间，计量室及精密加工的检验，测量和研磨。 该 公司在平板量具和非标产品的生产制造过程中和全国很多大型企业进行业务合作，公司检测手段先进，铸件化验设备齐全，持有省、市认可平板量具生产许可证 。 近二十年来，全国厂家对 该 公司 的工作给予大力的支持，使公司的经济效益在河北省机械行业处于领先地位。 （但是，由于，该公司在方面仍有不足。） （而运筹学的理论和方法，能够） 因此， 本次课程设计拟运用所学运筹学知识，针对该公司设备检修方案提出一些可行性对策，从而达到资源充分利用的目的。 同时， 通过对方案的提出、分析和解决对策的制定，使我们在这个过程中，能够运用运筹学知识和相关工具解决一些实际性问题，加深对该课程的认识。 此外 ，通过此次课程设计，达到将理论与实践相结合的目的，增强我们动手操作能力和工作协调力。 2 2 问题的提出和数学模型的建立 题的提出 博贝 机械加工厂生产 7 种产品（产品 1 到产品 7）。该厂有以下设备：四台磨床，两台立式钻床，三台水平钻床，一台镗床和一台刨床。每种产品的利润（元/件，在这里，利润定义为销售价格与原料成本之差）以及生产单位产品需要的各种设备的工时（小时）如 下表 。表中的短划表示这种产品不需要相应的设备加工。 表 2品的利润（元 /件）和需要的设备工时（小时 /件） 产品 1 2 3 4 5 6 7 单位产 品利润 设备 床 4 - 钻 2 - - - 水平钻 3 - - 床 1 - - 床 1 - - - 一月份至 三 月份 ,每个月中需要检修的设备是（在检修的月份，被检修的设备全月不能用于生产）： 表 1备检修计划 月份 计划检修设备及台数 一月 一台磨床 二月 二台立式钻床 三月 一台镗床 工厂每天开两班，每班 8 小时， 工作 20 天，由于生产设备能力的限制，为了能生产更多的产品，工厂另外有第一班 6 小时 ， 第二 班 5 小时，工作 4 天。 3 生产过程中，各种工序没有先后次序的要求。 问题 1：制定 一季度 的生产计划，使 一季度 的总利润最大。 问题 2： 哪些设备的能力应该增加？购置新设备的优先顺序。 问题 3：是否可以通过调整现有设备的检修计划来提高利润？提出一个新的设备检修计划，使原来计划检修的设备在这 一季度 中都得到检修而使利润尽可能增加 。 题的分析 题设中，产品生产受到以下约束，一是生产的工时，二是检修设备时的某些产品生产的停滞，为使利润最大化，我们可以建立一个生产计划模型，使生产达到最优的安排。 某些产品由于不需要某些设备，但为了计算上的方便我们把该生产的产品所需该设备的时间定为需要 0 小时，又由于工时的限制，每月的工时最多为 364 小时，以及检修设备的影响，可以列出以下的相关数据表格。 表 2品生产工时和利润表 产品 1 2 3 4 5 6 7 单位产品 利润 磨床 4 0 0 立钻 2 0 0 0 水平钻 3 0 0 0 镗床 1 0 0 刨床 1 0 0 0 0 表 2使 用设备表（台） 设备 一月 二月 三月 磨床 3 4 4 立钻 2 0 2 水平钻 3 3 3 镗床 1 1 0 刨床 1 1 1 型的假设 4 为了避免在第一工序生产，进行其他的工序操作的设备处于闲置状态以及在生产过程中， 以及利用 各种工序没有先后次序 的要求的条件，我们采用动态的分配作业，即充分利用设备的时间，尽量避免其处于闲置状态，使产品的生产数量的能力处于最佳水平。 同时产品的生产的阶段性是个整体，不可分割，即在一个设备生产时，必须等到该产品生产需要的工时已经达到后，才能转 入到下一个工序中生产 ,且各种产品都必须经过所有的工序才能成为成品。在计算的结果在进行检验的时候我们需要对产品的生产工时要做一定的调整和分析，以使所建立的模型具有现实意义。 该产品的生产过程没有发生机器故障，除了设备的检修导致部分的产品生产停止外，生产过程没有发生任何意外的中止现象，即无生产工人的操作失误，停止作业等。 为简化模型，设备的检修计划里，所涉及的检修台数和当月的检修计划是一体的，即检修的某设备在当月就全部检修完成。同时假定所有的产品均全部被销售，没有库存的现象发生。 号的说明 第 i 种产品在第 j 月生产的数量 第 k 种设备在第 j 月的可用于生产的数量 （ 1 第 i 种产品需要第 k 种设备的工时 第 i 种产品的单位产品利润 常数 每月工时 T = 8 2 2 0 + ( 5 + 6 ) 4 小时 筹学模型的建立 7311m a x ij x b 7101, 2 , 31, 2 , 3 , 4 , 5ij ik k t m 5 代入相关数据： 3 模型的求解 用 件求解 一种可以求解网络问题、动态规划、目标规划、二次规划、图论等数学问题的计算软件，用解较为复杂的数学问题尤为方便。 件设置 在计算机的开始中的相应的 录下，单击运行“ 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3m a x ( ) 1 0 . 0 0 ( ) 6 . 0 0 ( ) 3 . 0 0Z x x x x x x x x x 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 6 1 6 2 6 3( ) 4 . 0 0 ( ) 1 . 0 0 ( ) 9 . 0 0x x x x x x x x x 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 11 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 11 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1110 . 5 0 0 . 7 0 0 0 0 . 3 0 0 . 2 0 0 . 5 0 3 6 4 3 (1 )0 . 1 0 2 . 0 0 0 0 . 3 0 0 0 . 6 0 0 3 6 4 2 ( 2 )0 . 2 0 6 . 0 0 0 . 8 0 0 0 0 0 . 6 0 3 6 4 3 ( 3 )0 . 0 5x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 11 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 11 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2120 . 0 3 0 0 . 0 7 0 . 1 0 0 0 . 0 8 3 6 4 1 ( 4 )0 0 0 . 0 1 0 0 . 0 5 0 0 . 0 5 3 6 4 1 ( 5 )0 . 5 0 0 . 7 0 0 0 0 . 3 0 0 . 2 0 0 . 5 0 3 6 4 4 ( 6 )0 . 1 0 2 . 0 0x x x x x xx x x x x x xx x x x x x 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 21 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 21 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 21 2 2 2 3 20 0 . 3 0 0 0 . 6 0 0 3 6 4 0 ( 7 )0 . 2 0 6 . 0 0 0 . 8 0 0 0 0 0 . 6 0 3 6 4 3 ( 8 )0 . 0 5 0 . 0 3 0 0 . 0 7 0 . 1 0 0 0 . 0 8 3 6 4 1 ( 9 )0 0 0 . 0 1 0x x x x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x 4 2 5 2 6 2 7 21 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 31 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 31 3 2 3 3 3 40 . 0 5 0 0 . 0 5 3 6 4 1 (1 0 )0 . 5 0 0 . 7 0 0 0 0 . 3 0 0 . 2 0 0 . 5 0 3 6 4 4 (1 1 )0 . 1 0 2 . 0 0 0 0 . 3 0 0 0 . 6 0 0 3 6 4 2 (1 2 )0 . 2 0 6 . 0 0 0 . 8 0 0x x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x 3 5 3 6 3 7 31 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 31 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 30 0 0 . 6 0 3 6 4 3 (1 3 )0 . 0 5 0 . 0 3 0 0 . 0 7 0 . 1 0 0 0 . 0 8 3 6 4 0 (1 4 )0 0 0 . 0 1 0 0 . 0 5 0 0 . 0 5 3 6 4 1 (1 5 )0x xx x x x x x xx x x x x x 7 1 7 2 7 3( ) 3 . 0 0x x x 6 在“ 栏中选择“ 因为此问题为求解产品生产利润的最大值 ,且该问题为整数规划，故选择 “ “ 在 栏中填入“机械产品生产计划问题”和填入“ 21”、 填入“ 15”。如 下图 （应为：图 3所示。 图 3（应为：图 3-1 入原始数据 图 3序和图题 写在图的下方 ，五号宋体加黑。 后同！ 每 幅插图应有图序和图题， 图号 以章为单位顺序编号 ，图序必须连续，不得重复或跳缺 。 后同！ 7 行求解结果 图 3 3图 3量值 图 3灵敏度分析） 果的检验与分析 根据 求解结果如下表 3表为最优化的计划生产方案。 表中列对应的 i 表示第 i 种产品，行对应的 j 表示第 j 个月，即表中对应的（ i,j）表格中的数据表示第 i 种产品在第 j 个月生产的量。 8 表 3j i 1 2 3 4 5 6 7 1 2184 0 819 1698 0 0 0 2 0 0 1365 0 3640 0 0 3 0 0 1365 0 0 1213 0 由图 3 = 53836（元） 由图 3以看出 or 0,即所求的结果能满足所有的约束条件，因此产品生产所需的工时各种设备都能满足，可以认为所求结果已经达到最优。（问题 1） 4 问题的进一步分析 以下图 4灵敏度分析图 图 49 4 1 灵敏度的分析 在该问题，若设备的生产能力增加，则生产某种产品的工时也会相应减少，最终反映的结果相当于每个约束条件下的设备的工时增加了。因此可根据图 4过计算 与 差值即可得到哪些设备的生产能力的提高有利于目标函数值即利润的增加。 因其差值越小，表示其引起的资源约束的作用越大，所以需要提高的设备的能力的有：一月份是磨床；二月份的立钻；三月份的 镗床 。 综合所有月份以及差值的比较，可知购置新设备的优先顺序是：磨床， 镗床 ， 立钻。（问题二） 4 2 影子价格的经济意义 由图 4知，各个月份设备的工时的影子价格如下表： 表 4份 1 2 3 磨床 0 立钻 平 钻 床 0 床 0 0 0 有 上表可知，三月份 镗床 的 影子价格最大，即提高 镗床 的生产能力减少其生产需要的工时，能对目标函数值增加的作用最大，因此公司应该对 镗床 设备加以改造和充分利用，使利润获得更大。而根据目前最优的情况下 刨床 设备工时的影子价格为 0，即该公司设备未充分利用，有剩余，因此再增加其生产的能力或者其台数（即工时）不会对利润产生影响。 4 3 设备检修计划的优化 由图 4以看出，约束条件可允许变小的有3 6 8 9 1 1 1 3, , , , ,c c c c c c,其判断的依据是01v v （其中 N 的整数，0值，1值），是因为当一个设备被检修的时候工时会少 T 工时。因此可以知道能够进行检修而 不影响生产的安排是：一月份检修水平钻最多为 1台；二月份检修磨床一台，水平钻 3 台，刨床 1 台；三月份磨床 3 台，水平钻 3台。 10 根据以上分析可知，我们可以通过调整现有设备的检修计划来提高利润，且可以得到如下 3 种方案： 方案 1 表 4份 计划检修设备及台数 一月 二台立式钻床 二月 一台磨床 三月 一台镗床 方案 2 表 4份 计划检修设备及台数 一月 一台镗床 二月 一台磨床 三月 二台立式钻床 方案 3 表 4份 计划检修设备及台数 一月 二台立式钻床 二月 一台镗床 三月 一台磨床 则其设备使用情况如下： 方案 1 表 4备 一月 二月 三月 磨床 4 3 4 立钻 0 2 2 水平钻 3 3 3 镗床 1 1 0 刨床 1 1 1 方案 2 表 4备 一月 二月 三月 磨床 4 3 4 立钻 2 2 0 水平钻 3 3 3 镗床 0 1 1 刨床 1 1 1 11 方案 3 表 4备 一月 二月 三月 磨床 4 4 3 立钻 0 2 2 水平钻 3 3 3 镗床 1 0 1 刨床 1 1 1 分别使用 入三种设备检修优化后的方案的相关数据，然后求解其最终目标函数值，通过比较以确定设备检修计划的最优方案，其过程通过以下列截图表示： 图 4案 1 图 412 方案 2 图 4案 1 图 4案 2 图 4案 1 图 413 方案 2 图 4案 3 图 414 经过计算的结果，在 图 4，我们发现第三个方案的 = 59602（元） 53836（元）是所有方案中最大的，也即是最优的方案。 因此第三个新的设备检修方案，即在第一月份检修二台立式钻床，二月份检修 一台镗床 三月份检修 一台磨床 ，不但可以使原来计划检修的设备在这一季度中都得到检修而且也使利润得到了增加。 （问题 3） 5 模型的改进和推广 本次模型的建立是根据其设备的台数与所提供的工时的对应性，以及生产产品需要的设备以及在该设备上生产需要的工时为前提建立的数学模型。由于存在设备检修所以会导致某些产品的生产受到影响，因此模型的建立不但要考虑其目标利润的最大化，同时也要充分的利用设备来使生产的产品与利润达到最优的匹配。 在产品生产的安排过程中，我们发现某些产品由于没有需要的设备导致该产品不能够生产，造成某些产品生产的停止。因此在建立模型的时候，我们需要判断该产品在本月的设备使用条件下是否能够生产。在建立的模型中，通过分析，我们利用其所需的工时为切入点，对生产的产品的所需设备是否存在进行判断。若不能存在则不能生产，且未生产该产品的剩下的其他设备的工时资源会被其他的产品生产充分利用 ，有利于最优的生产计划方案的形成，这是我们所建模型的一个优点。 但是由于该模型仅仅考虑的是产品生产的与工时和利润之间的关系，没有考虑市场的销售和产品的库存费用，这使得本次模型的应用受到很大限制。因此我们需要对模型进行改进，以使其得到推广和应用。 模型改进的方向是结合实际的需要考虑问题，对模型重新建立，增加产品生产过程中其他约束条件，如库存的限制，市场销售量的限制等。同时产品的生产量也会出现规模经济现象，即生产的量越大，其分摊下来的平均固定成本会减小，从而是使产品生产的成本降低。 由上分析可知，模型的改进需要 结合实际情况，对多种影响因素进行综合分析和考虑，才能最终确定所需要解决的问题，才能对稀缺的资源进行合理而充 15 分的利用，达到最优的配置。 结束语 （编序号 !） 该课程设计通过建立整数线性规划模型求解了博贝公司的机械产品生产计划安排，并进行了相应的灵敏度分析：生产设备可利用工时和生产能力的提高以及对设备检修计划的调整对生产计划安排的影响。同时，该课程设计还采用了筹学计算软件对模型进行了相应的求解。通过对最优生产计划安排的结果中的影子价格的分析我们可以看出增加某种设备生产工时的投入并不一定能给公