二阶线性偏微分方程理论与函数 ppt课件

Email: 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 数学科学学院 1 二阶线性偏微分方程理论 本次课主要内容 与 函数 (一 )、二阶线性偏微分方程理论 (二 )、 函数 2 (一 )、二阶线性偏微分方程理论 基本概念 T为算子，若 T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2， 称 T 为线性算子 2. 二阶线性偏微分算子 1. 线性算子 3 于是 二阶线性偏微分方程 可以简记为 ： 齐次形式为 ： 其中 : 3.边界条件算子 4 物理背景： 叠加原理 原理 1： (有限叠加 ) 在物理上，常有所谓的叠加现象：即几种因素产 生的总效果等于各因素产生的效果总和。 物理上的叠加现象反映到数理方程中来，就得到 线性定解问题中的叠加原理。 设 ui满足线性方程 (或线性定解条件 )： 又设： 那么： 5 其中： 收敛，且算子 L与和号能交换 次序。 原理 2： (无限叠加 ) 6 其中， M表示自变量组， M0为参数组 . 设 u(M,M0)满足线性方程 (线性定解条件 )： 原理 3： 且积分 收敛， 并满足 L中出现的偏导数与积分号交换次 序所需要的条件，那么 U(M)满足方程 (或 定解条件）： 7 原理 3的证明： 主要假定了 L与积分号的次序可交换！ 解的结构定理：非齐次线性偏微分方程的一般解 等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方 程的一个特解之和。 8 例 1 求泊松方程 ： 的一般解 。 解 :(1)先求出方程的一个特解 u1 由方程的形式可令 u1=ax4+by4,代入方程可得： 注：这是观察法！一般情况下很难求出偏微分方 程特解。 9 (2)、求对应齐次方程通解 对应齐次方程为： 作变换： 则齐次方程化为： 再作变换： 10 方程化为： 齐次方程通解为： 原方程通解为： 11 背景： 齐次化原理 在对波动方程与热传导方程定解问题的求解中，常常 考虑将定解问题中方程齐次化，这就需要用到下面与此相 关的两个齐次化原理。 齐次化原理有明确的物理背景，其背景就是力学中的 冲量原理：力作用引起的冲量等于动量的改变。 齐次化原理又称为冲量原理。 齐次化原理的具体物理分析在此略去。 12 齐次化原理 1 如果 满足方程： 那么非齐次柯西问题 的解为： 为了证明该定理，先介绍： 13 含参变量积分求导法则 定理 在 上连续，而 a(u),b(u)在 ， 上可 导 ，且 对任意 u属于 ， ，有： 则： 的导数： 14 证明：首先， 15 齐次化原理 2 如果 满足方程： 那么非齐次柯西问题 的解为： 16 对齐次化原理的三点说明： 1、齐次化原理只适用于波动方程和热传导方程 ，对稳态的泊松方程不能使用这两个原理； 2、齐次化原理使用时必须注意初始条件为零； 3、齐次化原理可以推广到有界域的波动、热传 导方程的定解问题上。但定解问题必须满足初 始条件为零，边界条件齐次！ 17 例 2、若 V (x, t ;)是定解 问题 是定解问题 的解，则： 的解 . 18 证明：首先， 其次，因 V(x,t,)是齐次定解问题的解，因 此，不难证明 19 解的适定性 满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称 为解的适定性。 解的稳定性是指若定解条件有微小变化， 其解也只有微小变化。 只有解满足稳定性，其解才有意义，因定 解条件常为实验数据，有测量误差。 20 1、 定义 函数是指满足下面两个条件的函数 (二 )、 函数 几点说明： 21 (1) 、 几何意义 曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为 1。 (2)、物理意义 x0 x (x-x0) 定义中条件 (1)反映物理量集中在 x0处，该处称 为点源；条件 (2)反映物理量有限。 22 例 3、两端固定的长为 L的弦，密度为 ，初 始时刻在 x0处受到冲量 I的作用。求初速度和 定解问题。 解 :(1) x0 u(x,t) xL0 23 (2) 由动量定理 F t= mv得： 所以有： 定解问题为： 24 例 4、一根长为 L的导热杆，密度为 ，比热 为 c，初始时刻在 x0处用火焰烧了一下，传杆 的热量为 Q。求初始温度分布和定解问题。 解 :(1) x0 u(x,t) xL0 25 (2) 所以有： 定解问题为： 26 2、 性质 (1)筛选性质：对任意连续函数 (x),有： 27 所以， 证明：由于 (2) 函数是偶函数 ,即： 有 证明：由于对任意连续函数 (x),有 所以， 28 函数的导数 定义：设 定义的算符 (n)称为 (x)的 n阶导数。 合理性解释：作形式分部积分： 由 29 1、 定义 函数是指满足下面两个条件的函数 高维 函数 物理解释：表示点源的广义函数。 30 例 6、在 M0处放置单位电荷，则电荷体密度 为 函数。 三维 函数与一维 函数的关系：