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高等数学练习题 解 o y x 解 利用 “先二后一 ”计算 . 3. 试计算椭球体 的体积 V. 解法 1 解法 2 利用三重积分换元法 . 令 则 4 .求三重积分 解 5.计算 其中 L为圆周 解 参数方程计算 , 则 第二型曲线积分的计算 1. 直接计算法 2. 利用格林公式化为二重积分计算 格林公式： P(x,y)、 Q(x,y)在 D上具有一阶连续偏导数， L+ 则 3.利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径 D： 单连域， P、 Q在 D 上具有一阶连续偏导数 ,且 6. 计算 其中 L 是沿逆 时针方向以原点为中心 , 解法 1 令 则 这说明积分与路径无关 , 故 a 为半径的上半圆周 . 解法 2 它与 L所围区域为 D, (利用格林公式 ) 则添加辅助线段 计算 其中 L为上半圆周 沿逆时针方向 . 7. 第二型曲面积分的计算 曲面 上侧 ,下侧 （ 上侧正下侧负） 曲面 前侧 ,后侧 (前侧正后侧负 ) 右侧 ,左侧曲面 光滑曲面 （ 上侧正下侧负） (前侧正后侧负 ) 光滑曲面 前侧 后侧（单值） （单值） 小结 : 光滑曲面 右侧 左侧 (右侧正左侧负 ) 8. 求 其中 S为上半球面 的上侧 . 解 这里 P=0， Q=yz， R=zx, 于是 注意： .2所围成的立体表面外侧及 =z 解 x y z 该曲线的方程 . 解 : 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式 : (C为任意常数 )由 得 代入初始条件 f(1)=1,得 曲线， f(x)在 解 由题设沿闭回路的第二型曲线积分等于零和与路线无关的 定理，知被积函数必满足恰当条件，这里 （ 1）注意：题设 f(x)是 x的函数，这里 不一定有 y=f(x) 这是不显含 f(x)的二阶方程， 再积分，得 代入 f(0)=1,得 C2=1,所求函数 13. 的通解 . 解 : 特征方程 特征根 : 因此原方程通解为 14. 解 : 特征方程 : 特征根 : 原方程通解 : (不难看出 , 原方程有特解 该曲线的方程 . 解 : 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式 : 由 得 由 得 C = 2, 因此所求曲线方程为 解 再求导，得 初始条件为 特征方程与特征根为
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