《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案

- 1 - 习题一： 出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时 , 连续 5 次都命中 , 观察其投篮次数 ; 解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故 ,7,6,51 ； (2) 掷一颗匀称的骰子两次 , 观察前后两次出现的点数之和 ; 解： 12,11,4,3,22 ； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数 ; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以 ,2,1,03 ； (4) 从编号为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 件产品中任意取出两件 , 观察取出哪两件产品 ; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ;51,4 (5) 检查两件产品是否合格 ; 解：用 0 表示合格 , 1 表示不合格，则 1,1,0,1,1,0,0,05 ； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温 (假设最低 气温不低于 最高气温不高于 解：用 x 表示最低气温 , y 表示最高气温 ;考虑到这是一个二维的样本空间，故： 216 , ； (7) 在单位圆内任取两点 , 观察这两点的距离 ; 解： 207 ； (8) 在长为 l 的线段上任取一点 , 该点将线段分成两段 , 观察两线段的长度 . 解： ,0,0,8 ； (1) A 与 B 都发生 , 但 C 不发生 ; (2) A 发生 , 且 B 与 C 至少有一个发生 ; )( ； (3) A,B,C 中至少有一个发生 ; ； - 2 - (4) A,B,C 中恰有一个发生 ; ； (5) A,B,C 中至少有两个发生 ; ； (6) A,B,C 中至多有一个发生 ; ； (7) A;B;C 中至多有两个发生 ; (8) A,B,C 中恰有两个发生 . ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。 样本空间 20 事件 A = 具体写出下列各事件： (1) (2) ; (3) ; (4) （ 1） ； (2) = (3) = ; (4) = 从小到大次序排列 )()(),(),(),( , 并说明理由 . 解：由于 ),(, 故 )()()( ，而由加法公式，有：)()()( 解： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：)()()( - 3 - (2) 由于事件 W 可以分解为互斥事件 ，昆虫出 现残翅 , 但没有退化性眼睛对应事件 概率为： )()( (3) 昆虫未出现残翅 , 也无退化性眼睛的概率为： 8 2 1)( 解： (1) 由于 , ，故 ),()(),()( 显然当 时 P( 取到最大值。 最大值是 (2) 由于 )()()()( 。显然当 1)( P(取到最小值，最小值是 解：因为 P(= 0，故 P(= 0. , 至少有一个发生的概率为：)()()()()()()( A B 解 （ 1） 通过作图，可以知道， )()( （ 2） ()(1)(1)( 1)()()()(1)()()(1)(1)()()3(解：用 示事件“杯中球的最大个数为 i 个” i =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有4 4 4 64 种，每种放法等可能。 - 4 - 对事件 1A ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 4 3 2 种，故83)( 1 排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列 )。 对事件3A：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。 (只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此 3个球，选法有 4 种 )，故161)( 3 69161831)( 2 ：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本 事件总数为 36。 3”对应两个基本事件（ 1， 2），（ 2， 1）。故前后两次出现的点数之和为 3 的概率为181。 同理可以求得前后两次出现的点数之和为 4， 5 的概率各是91,121。 (1) 解：从 10 个数中任取三个数，共有 120310 即基本事件总数为 120。 (1) 若要三 个数中最小的一个是 5，先要保证取得 5，再从大于 5的四个数里取两个，取法有624 C 种，故所求概率为 201 。 (2) 若要三个数中最大的一个是 5，先要保证取得 5，再从小于 5 的五个数里取两个，取法有 1025 所求概率为121。 解：分别用321 , (1) 取到两只黄球 ; (2) 取到两只白球 ; (3) 取到一只白球 , 一只黄球 11666)(,33146628)( 212242212281 316)()(1)( 213 - 5 - 解：)( )()()( )()( 由于 0)( 故 )()()( )()( 1) );( （ 2） );( 解：（ 1） ;)(1)()()()( （ 2） ;)(1)()()()( 注意：因为 所以 1)( 解：用 i 次取到的是正品”（ 3,2,1i ），则 i 次取到的是次品”（ 3,2,1i ）。1 1 2 1 2 11 5 3 3 1 4 2 1( ) , ( ) ( ) ( )2 0 4 4 1 9 3 8P A P A A P A P A A (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下 , 第三次取到次品”的概率为： 3 1 2 5()18P A A A 。 (2) 事件“第三次才取到次品”的概率为： 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 5 1 4 5 3 5( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 9 1 8 2 2 8P A A A P A P A A P A A A （ 3） 事件“第三次取到次品”的概率为：41此题要注意区分事件（ 1）、 (2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用 i 次取到的是正品”（ 2,1i ）， - 6 - 则事件“在第一次取到正品的条件下 , 第二次取到次品”的概率为： 1)(12 事件“第二次才取到次品”的概率为：21)()()( 12121 别是显然的。 解：用 )2,1,0( 第一箱中取出两件产品的次品数 i ”。用 B 表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则2 1 1 21 2 1 2 2 20 1 22 2 21 4 1 4 1 46 6 2 4 1( ) , ( ) , ( ) ,9 1 9 1 9 1C C C P A P C 0 1()12P B A ， 1 2()12P B A ， 2 3()12P B A ， 根据全概率公式，有： 283)()()()()()()( 221100 ：设 )3,2,1( 用小麦种子为 i 等种子”， B 表示事件“ 种子所结的穗有 50 颗以上麦粒”。 则1 2 3( ) 0 . 9 2 , ( ) 0 . 0 5 , ( ) 0 . 0 3 ,P A P A P A 1( ) A ，2( ) A ，3( ) A ，根据全概率公式，有： )()()()()()( 332211 解：用 B 表示色盲， A 表示男性，则 A 表示女性，由已知条件，显然有：, 此： - 7 - 根据贝叶斯公式，所求概率为：151102)()()()()()()()()()()()( 解：用 B 表示对试验呈阳性反应， A 表示癌症患者，则 A 表示非癌症患者，显然有：, 因此根据贝叶斯公式，所求概率为： 2 9 495)()()()()()()()()()()()( (1) 求该批产品的合格率 ; (2) 从该 10 箱中任取一箱 , 再从这箱中任取一件 , 若此件产品为合格品 , 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少 ? 解：设， , 321 产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产 产品为合格品A ，则 （ 1） 根据全概率公式， )()()()()()(332211 批产品的合格率为 （ 2） 根据贝叶斯公式，9419)()()()()()()()()(332211111 ,9427)( 32 此，从该 10 箱中任取一箱 , 再从这箱中任取一件 , 若此件产品为合格品 , 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：4724,9427,9419。 - 8 - 解：记 A =目标被击中 ，则 9 9 )(1)( 解：记 4A =四次独立试验，事件 A 至少发生一次 ， 4A =四次独立试验，事件 A 一次也不发生 。而 4 因此 4 0 9 )()(1)( 444 , 1 三次独立试验中 , 事件 A 发生一次的概率为： 3 8 (1)( 213 二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充： （ 10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)B) 当 P( 0时， P(A+B)=P(A)+P(B) （ 11）减法公式 P(P(A)B) 当 B P(P(A) 当 A=时， P(B )=1- P(B) （ 12）条件概率 定义 设 A、 P(A)0，则称)( )( 发生条件下，事件 为 )/( )( （ 16）贝叶斯公式 ()()/()()/( ， i=1， 2， n。 此公式即为贝叶斯公式。 - 9 - 第二章 随机变量 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 ：根据 1)(0得 10即 11 11 故 1：用 X 表示甲在两次投篮中所投中的次数， XB(2,用 Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数 , YB(2,(1) 两人投中的次数相同 PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2= 0 0 1 1 2 20 2 0 2 1 1 1 1 2 0 2 02 2 2 2 2 20 . 7 0 . 3 0 . 4 0 . 6 0 . 7 0 . 3 0 . 4 0 . 6 0 . 7 0 . 3 0 . 4 0 . 6 0 . 3 1 24C C C C C C (2)甲比乙投中的次数多 PXY= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1= 1 0 2 0 2 11 1 0 2 2 0 0 2 2 0 1 12 2 2 2 2 20 . 7 0 . 3 0 . 4 0 . 6 0 . 7 0 . 3 0 . 4 0 . 6 0 . 7 0 . 3 0 . 4 0 . 6 0 . 5 6 28C C C C C C :（ 1） P1 X 3= PX=1+ PX=2+ PX=3= 1 2 3 21 5 1 5 1 5 5 (2) P 3）设 FY(y)， () 的分布函数和概率密度函数，则 当 时， 2( ) 0YF y P Y y P X y P 当 y0 时， 22 21( ) 2yF y P Y y P X y P y X y e d x 对 ()y 的导数，得22 2( ) ( ) ( l n )2 2 21 1 1( ) ( )() 2 2 20yy y e y y0 X U(0, ) 1()0 0 x 其 它（ 1） 2 ln y 当 时 2( ) 2 l n l n 0YF y P Y y P X y P X y P - 16 - 2 当 时22201( ) 2 l n l n y P Y y P X y P X y P X e P X e d x 对 ()y 的导数，得到 2211()() 20 2 （ 2） 当 y - 1 时， ( ) c o s 0YF y P Y y P X y P 11y 当 时 ,a r c c o ) c o s a r c c o s y P Y y P X y P X y d x 对 ()y 的导数，得到 211( a r c c o s )() 10y 11y 其 它（ 3） 当 y 0时 ( ) s i n 0YF y P Y y P X y P 01y当 时 ， a r c s i n0 a r c s i n( ) s i n 0 a r c s i n a r c s i n 11y P Y y P X y P X y P y Xd x d x 对 ()y 的导数，得到 21 1 2a r c s i n ( a r c s i n )() 10y 01y其 它 - 17 - 第三章 随机向量 P1X 2,3Y 5=F(2,5)+F(1,3),5)F(2,3)= X 1 2 2 0 22324535 3 31324525 0 1） a=19（ 2） 512（ 3） 1 1 1 1200 0 01 1 1 ( , ) ( 6 ) ( 6 ) 9 9 2 |y Y D d y x y d x y x x d y 1 12 3 2001 1 1 1 1 1 1 8 8( 6 5 ) ( 3 5 )9 2 2 9 6 2 9 3 2 7|y y d y y y y ：（ 1） ( 2 ) 2 2 2000 0 0 0( , ) 2 2 ( | ) ( | ) (1 ) (1 )y x y xu v v u v y u x y xF x y e d u d v e d v e d u e e e e （ 2） - 18 - ( 2 ) 2 200 0 0 0 02 2 3 2 30000( ) 2 2 2 ( | )2 2 12 (1 ) ( 2 2 ) ( | ) | 13 3 3y x v x y xx x x x x X e d x d y e d x e d y e e d xe e d x e e d x e e ：2 2 222 2 22 2 2 2 2001()( 1 ) ( 1 )ax y x y a d d rx y r 22 22 2 2 2 20001 1 1 1 1(1 ) 2 1(1 ) 2 (1 ) 1 1|a a ad d rr r a a 见课本后面 答案 11 1200033( ) ( , ) 2 2 3 2|x f x y d y x y d y x 22 22 2 2 20003 3 1( ) ( , ) 32 2 2 |yf y f x y d x x y d x y x y ,() 20, 02x其 它23()0 01y其 ： X 的边缘概率密度函数 () 当 10或 时， ( , ) 0f x y ，( ) 0 12222001 1 1( ) 4 . 8 ( 2 ) 4 . 8 2 4 . 8 1 2 2 2 21001( ) 4 . 8 ( 2 ) 2 . 4 ( 2 ) 2 . 4 ( 2 )|y y x d x y x x y y x y x d y y x x x 或当 01x时， 2200( ) 4 . 8 ( 2 ) 2 . 4 ( 2 ) 2 . 4 ( 2 )|x x y x d y y x x x - 19 - Y 的边缘概率密度函数 () 当 10或 时， ( , ) 0f x y ， ( ) 0 当 01y时， 1 1221 1 1( ) 4 . 8 ( 2 ) 4 . 8 2 4 . 8 1 2 2 2 2|Y y y x d x y x x y y y 22 3 4 )y y y 1）参见课本后面 答案 （ 2）2 6()0 01x其 它 6= 0（ 1-） 01x其 它6()0 01y其 它 6=0（ - ） 01y其 见课本后面 答案 见课本后面 答案 1） 2 20()() 30d 01x其 它2 2230 01x其 它1 20()() 30d 02y其 它1= 360y 02y其 它对于 02y时， ( ) 0 所以2|3( , )1( | )() 360x y yf x 01x其 它26 +220x 01x其 它 - 20 - 对于 01x时， ( ) 0以22|3( , )2( | )2()30x y xf y x 02y其 它3620 02y其 它1 1 12 2 2|0 0 011331 1 1 722 | ( | )12 2 2 5 4 0622 X f y d y d y d y Y 0 2 5 X 的边缘分布 1 的边缘分布 由表格可知 PX=1;Y=2=PX=1PY=2= P;P 所以 X 与 Y 不独立 Y 1 2 3 X 的边缘分布 1 6191181312 31a b 31+a+b Y 的边缘分布 21a+91b+1811 由独立的条件 P;P 则 - 21 - 22P X2;2P X 32P X3;2P X 1PX i 可以列出方程 )91)(31( )31)(181( 13131 0,0 解得91,92 （ 1）在 () 20 02x其 它23()0 01y其 它当 02x， 01y时， ( ) ( )x f y 23 ( , )2 x y f x y当 2x 或 0x 时，当 1y 或 0y 时， ( ) ( )x f y 0 ( , )f x y所以， X 与 Y 之间相互独立。 （ 2）在 ， 22 2 )()0 01x其 它22 3 4 )()0Yy y 01y其 它当 01x， 01y时， - 22 - ( ) ( )x f y 2 2 2 22 . 4 ( 2 ) 2 . 4 ( 3 4 ) 5 . 7 6 ( 2 ) ( 3 4 )x x y y y x x y y y = ( , )f x y ，所以 X 与 Y 之间不相互独立。 ： 0 2)1( 1),()( )1()1( 20 211),()( ),(1)()( )1( 2 故 X 与 Y 相互独立 见课本后面 答案 第四章 数字特征 ：( ) 1 x p( ) 0 y p甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同 乙机床生产的零件的质量较好。 ： X 的所有可能取值为： 3， 4， 5 351 3 0 2335 4 0 C - 23 - 2435 5 0 C ( ) 3 0 . 1 4 0 . 3 5 0 . 6 4 . 5 x p 见课本 230 页参考答案 ： 1 (1 ) , 1 , 2 , 3 . . . . . n p p n 1 211( ) (1 ) 1 (1 ) x p n p p 考课本 230 页参考答案 ：设途中遇到红灯次数为 X，则 (3, B ( ) 4 0 n p ()( x d 3000(130 0015 00215 0002215001500 500+1000 1500 见课本后面 230 页参考答案 见课本后面 231 页参考答案 :设均值为 ,方差为 2 ,则 XN( ,2 )根据题意有 : )96(1)96( - 24 - )7296(1 1 t % t ,解得 t=2 即 =12 所以成绩在 60 到 84 的概率为 )12 7224) 6 0 (1) 1-(1)2 2 2 2( ) 0 0 . 4 1 0 . 3 2 0 . 2 3 0 . 1 2 2 2 2 2( 5 4 ) 4 0 . 4 ( 5 1 4 ) 0 . 3 ( 5 2 4 ) 0 . 2 ( 5 3 4 ) 0 . 1 1 4 ： 00 0 00( ) ( 2 ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2|x x x E X x e d x x d e x e e d 2 2 3 300011( ) ( ) 33|X x x x E e e e d x e d x e ：343 设球的直径为 X,则： 1()0fx a x b其 它 - 25 - 33 3 4 2 24 ( ) 1 1 12( ) ( ) ( ) = ( ) ( )3 6 6 6 4 2 4|b E E X x d x x b a b ab a b a 看课本后面 231 页答案 : 12302),()( 21212 321 2),()( 54)()( 10 44 d xf )( 10 43 1212 y 10 0 310 310 211212),()( d y d x d y dx d 2)()( 10 522 4 )( 10 5422 1212 )()( 2222 相互独立， 1 15 3 500 5 52( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )3 | Y E X E Y x x d x y e d y x y d e 5 5 55552 2 2( ) 5 ( ) ( 5 1 ) 43 3 3|y y yy e e d y e 看课本后面 231， 232 页答案 - 26 - X 表示 10 颗骰子出现的点数之和， 1, 2, 10)i 表示第 i 颗骰子出现的点数，则 101 ，且 1 2 10,X X X 是 独立同分布的，又 1 1 1 2 1( ) 1 2 66 6 6 6 所以 1 0 1 01121( ) ( ) ( ) 1 0 3 56 E X E X 看课本后面 232 页答案 2 2 2( ) 0 0 . 4 1 0 . 3 2 0 . 2 3 0 . 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 1 1D X E X E X 2 2 2 2( ) 0 0 . 3 1 0 . 5 2 0 . 2 3 0 1 . 3 2 2 2( ) ( ) ( ) 1 . 3 0 . 9 0 . 4 9D Y E Y E Y 4 242 2 2 4 4 302021 1 1 1 1 1 1 1 4( ) ( 1 ) 14 4 1 6 1 6 3 3 3|E X x x d x x x d x x x x 22 1 4 2( ) ( ) ( ) 433D X E X E X 11() 40 11x 其 它1=2011x 其 它112 2 2 211( ) ( ) ( ) 22V a r X E X E X x d x x d x 11321 1 1 1 12 3 2 2 3| 111() 40 11y 其 它1= 2011y 其 它 - 27 - 112 2 2 211( ) ( ) ( ) 22V a r Y E Y E Y y d y y d y 11321 1 1 1 12 3 2 2 3| 为 XN(0,4),YU(0,4)所以有 )=4 )= 34故： +Y)=)+)=4+34=3164)+9)= 2834944 看课本后面 232 页答案 2 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X E E E En n n n 121 1 1 1( ) ( ) ( ) E X E X nn n n n 12 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X D D D Dn n n n 22122 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) E X E X nn n n n n 后面 4 题不作详解 第五章 极限理 ： 用则 ( ) 10, 2( ) 0 100 21 ( , ) (1 0 0 1 0 , 1 0 0 0 . 1 ) n n N 1 0 0 1 0 0 1 0 01 1 121 0 0 1 0 1 0 0 0 ( 0 , 1 )1 0 0 0 . 1 1 0i i ii i iX n X - 28 - 1001001110009 9 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0( 9 9 0 1 0 1 0 ) ( )1 0 1 0 1 0 P 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0( ) ( ) ( 1 0 ) ( 1 0 )1 0 1 0 2 ( 1 0 ) 1 0 8 6 ：因为0,10上的均匀分布， 0 1 0( ) 52 21 0 1 0 0() 1 2 1 2 2 0 2 0 2 01 1 1100 ( ) , ( ) ( 2 0 5 , 2 0 )12i i ii i E V D V N 2 0 2 0 2 0 2 01 1 1 1201( ) 2 0 5 1 0 0 ( 0 , 1 )1 0 0 1 0 1 520()1 2 3i i i ii i i V V 202011100 1 0 5 1 0 0( 1 0 5 ) 1 ( 1 0 5 ) 1 ( 1 0 5 ) 1 ( )1 0 1 5 1 0 1 533 P V P V P 1 0 5 1 0 01 ( ) 1 ( 0 . 3 8 7 ) 0 . 3 4 81 0 1 53 ：方法 1：用则 1,0, 正 常 工 作损 坏 (1, 0.9) ) 0 p , ( ) (1 ) 0 . 9 0 . 1 p p 1001 , (1 ) (1 0 0 0 . 9 , 1 0 0 0 . 9 0 . 1 ) n p n p p N - 29 - 1 0 0 1 0 0 1 0 01 1 11 0 0 0 . 9 9 0 ( 0 , 1 )3( 1 ) 1 0 0 0 . 9 0 . 1i i ii i iX n p X p p 1001 0 0 1 0 011190 8 5 9 0( 8 5 ) 1 ( 8 5 ) 1 ( )33 P X P 551 ( ) ( ) 0 . 9 5 2 533 方法 2：用 X 表示 100 个部件中正常工作的部件数，则 (100, B ( ) 1 0 0 0 0E X n p ( ) (1 ) 1 0 0 0 . 9 0 . 1 9D X n p p , (1 ) ( 9 0 , 9 )X N n p n p p N 90 ( 0 , 1 )3(1X n p p p90 ( 0 , 1 )3(1X n p p p9 0 8 5 9 0( 8 5 ) 1 ( 8 5 ) 1 ( )33551 ( ) ( ) 0 . 9 5 2 533 P X P 第六章样本与统计 证明 : 由 错误 !未找到引用源。 =错误 !未找到引用源。 +b 可得，对等式两边求和再除以 n 有 - 30 - i 11)(错误 !未找到引用源。 由于 ni 1 ni 1 错误 !未找到引用源。 所以由 错误 !未找到引用源。 可得 Y =1= 为 212)( )2(2 2222212 ni 22222212 ni i 22 )( 2 Xa 2 )( n 22)1( )1( 所以有 22 明： - 31 - (1)(1a a 22211)( 1） )2(1( )2(1n 1 21 )2(1n 1 21 )(1n 1 21 （ 2）由于 )( 22 )()( a 所以有 2222 )()( )( a a 2222 )()( )( 222221 2 )1()()()( )( X 两边同时除以（ 得 212)1()( 即 22)( 同例 知 0 1-)n( 0 3(20 | | - 32 - 得 n( 查表可知 根据题意可知 n=43 （ 1）记这 25 个