《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计 第 1 页（共 57 页） 概率论与数理统计 第一部份 习题 第一章 概率论基本概念 一、 填空题 1、设 A， B， C 为 3 事件，则这 3 事件中恰有 2 个事件发生可表示为 。 2、设 , 且 A 与 B 互不相容，则 )( 。 3、口袋中有 4 只白球， 2 只红球，从中随机抽取 3 只，则取得 2 只白球， 1 只红球的概率 为 。 4、某人射击 的命中率为 独立地重复射击 5 次，则恰有 2 次命中的概率为 。 5、某市有 50%的住户订晚报，有 60%的住户订日报，有 80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。 6、设 A， B 为两事件， , 则 )( 。 7、同时抛掷 3 枚均匀硬币，恰有 1 个正面的概率为 。 8、设 A， B 为两事件， , 则 )( 。 9、 10 个球中只有 1 个为红球，不放回地取球，每次 1 个，则第 5 次才取得红球的概率 为 。 10、将一骰子独立地抛掷 2 次，以 X 和 Y 分别表示先后掷出的点数， 10 ，则 )|( 。 11、设 是两事件，则 的差事件为 。 12、设 , 构成一完备事件组，且 , )(， )( 。 13、设 A 与 B 为互不相容的两事件， ,0)( )|( 。 14、设 A 与 B 为相互独立的两事件，且 , 则 )( 。 15、设 是两事件， , )( 。 16、设 是两个相互独立 的事件， , )( 。 概率论与数理统计 第 2 页（共 57 页） 17、设 是两事件，如果 ，且 , 则 )|( 。 18、 设21)(,41)(,31)( ，则 )( 。 19、假设一批产品中一、二、三等品各占 60%， 30%， 10%。从中随机取一件，结果不是三等品，则为一等品的概率为 20、将 n 个球随机地放入 n 个盒子中，则至少有一个盒子空的概率为 。 二、选择题 1、设 0)( 则下列成立的是 ( ) 不相容 独立 0)(0)( Bo )()( 2、设 , 是三个两两不相容的事件，且 )()()( ，则 a 的最大值为 ( ) 1/2 1 1/3 1/4 3、设 为 2个随机事件，且有 1)|( 则下列结论正确的是 ( ) 1)()()( 1)()()( )()( )()( 4、下列命题不成立的是 ( ) ( )( 5、 设 为两个相互独立 的事件， 0)(,0)( 则有 （ ） )(1)( )|( )(1)|( )|( (6、 设 为两个对立的事件， 0)(,0)( 则不成立的是 （ ） )(1)( )|( )|( 0 )( 7、 设 为事件， 0)()()( ，则有 （ ） 不相容 独立 相互对立 )()( 概率论与数理统计 第 3 页（共 57 页） 8、 设 为两个相互独立的事件， 0)(,0)( 则 )( 为（ ） )()( )()(1 )()(1 )(1 9、 设 为两事件，且 )(则当下面条件（ ）成立时，有 A 与 B 独立 A 与 B 互不相容 A 与 B 对立 A 不包含 B 10、 设 为两事件，则 )( 表示（ ） 必然事件 不可能事件 A 与 B 恰有一个发生 A 与 B 不同时发生 11、每次试验失败的概率为 )10( 则在 3 次重复试验中至少成功一次的概率为（ ） )1(3 p 3)1( p 31 p 213 )1( 12、 10 个球中有 3 个红球 7 个绿球，随机地分给 10 个小朋友，每人一球，则最后三个分到球的 小朋友中恰有一个得到红球的概率为（ ） )103(13C 2)107)(103( 213 )107)(103(C310271313、 设 (, 则下列结 论成立的是（ ） A 与 B 独立 A 与 B 互不相容 )()()( 14、 设 , 为三事件，正确的是（ ） )(1)( 1)()()( )(1)( )()( 15、掷 2颗 骰子，记点数之和为 3 的概率为 p ，则 p 为（ ） 1/2 1/4 1/18 1/36 16、已知 两事件的概率都是 1/2, 则下列结论成立的是（ ） 1)( 1)( )()( 21)( 17、 , 为相互独立事件， 1)(0 则下列 4 对事件中不相互独立的是（ ） 概率论与数理统计 第 4 页（共 57 页） 与 C 与 C C C 18、对于两事件 ，与 不等价的是（ ） 19、对于概率不为零且互不相容的两事件 ，则下列结论正确的是（ ） A 与 B 互不相容 A 与 B 相容 )()()( )()( 三、计算题 1、某工厂生产的一批产品共有 100 个，其中有 5 个次品。从中取 30 个进行检查，求次品数不多于 1 个的概率。 2、某人有 5 把形状近似的钥匙，其中有 2 把可以打开房门，每次抽取 1 把试开房门，求第三次才打开房门的概率。 3、某种灯泡使用 1000 小时以上的概率为 3 个灯泡在使用 1000 小时以后至多有 1个坏的概率。 4、甲、乙、丙 3 台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为 45%， 35%，20%。各机床加工的优质品率依次为 85%， 90%， 88%，将加 工的零件混在一起，从中随机抽取一件，求取得优质品的概率。若从中取 1 个进行检查，发现是优质品，问是由哪台机床加工的可能性最大。 6、某人买了 , 三种不同的奖券各一张，并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖则此人一定赚钱，求此人赚钱的概率。 7、教师在出考题时，平时练习过的题目占 60%，学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为 95%，平时没有练习过的题目在考试时答对的概率为 30%。求答对而平时没有练习过的概率 8、有两张电影票， 3 人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。 9、有两张电影票， 3 人依次抽签得票，如果第 1 个人抽的结果尚未公开，由第 2 个人抽的结果去猜测第 1 个人抽的结果。问：如果第 2 个人抽到电影票，问第 1 个人抽到电影票的概率。 10、一批产品的次品率为 任取 3 个产品，问 3 个产品中有几个次品的概率的可能性最大。 11、有 5 个除颜色外完全相同的球，其中三个白色，两个红色。从中任取两个，（ 1）求这两个球颜色相同的概率；（ 2）两球中至少有一红球的概率。 12、设 是两个事件，用文字表示下列事件： , 。 概率论与数理统计 第 5 页（共 57 页） 13、从 1100 这 100 个自然数中任取 1 个，求（ 1）取到奇数的概率；（ 2）取到的数能被 3整除的概率；（ 3）取到的数能被 6 整除的偶数。 14、对次品率为 5%的某箱灯泡进行检查，检查时，从中任取一个，如果是次品，就认为这箱灯泡不合格而拒绝接受，如果是合格品就再取一个进行检查，检查过的产品不放回，如此进行五次。如果 5 个灯泡都是合格品，则认为这箱灯泡合格而接受，已知每箱灯泡有100 个，求这箱灯 泡被接受的概率。 15、某人有 5 把形状近似的钥匙，其中只有 1 把能打开他办公室的门，如果他一把一把地用钥匙试着开门，试过的钥匙放在一边，求（ 1）他试了 3 次才能打开他办公室的门的概率；（ 2）他试了 5 次才能打开他办公室的门的概率 16、 10 个塑料球中有 3 个黑色， 7 个白色，今从中任取 2 个，求已知其中一个是黑色的条件下，另一个也是黑色的概率。 17、装有 10 个白球， 5 个黑球的罐中丢失一球，但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丢失的球是黑色球的概率。 18、 设有三只 外形完全相同的盒子， 号盒中装有 14个黑球， 6个白球；号盒中装有5 个黑球 ,25 个白球；号盒中装有 8 个黑球， 42 个白球。现从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求 （ 1）取到的球为黑色球的概率； （ 2）如果取到的球为黑色球，求它是取自号盒的概率。 19、三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中型的有 4支，型的有 5支，型的有 6 支；这三种型号的圆珠笔帽也放在一起，其中型的有 5个，型的有 7个，型的有 8 个。现在任意取一个笔杆和一个笔帽，求恰好能配套的概率。 20、有两张电影票， 3 人依次抽签得票，如果第 1 个人 抽的结果尚未公开，由第 2 个人抽的结果去猜测第 1 个人抽的结果。问：如果第 2 个人抽到电影票，问第 1 个人抽到电影票的概率。 21、甲、乙、丙、丁 4 人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 求此密码能译出的概率是多少。 22、袋中 10 个白球， 5 个黄球， 10 个红球，从中取 1 个，已知不是白球，求是黄球的概率。 23、设每次试验事件 A 发生的概率相同，已知 3 次试验中 A 至少出现一次的概率为 19/27，求事件 A 在一次试验中出现的概率。 24、甲、乙、丙 3 台机床独立工作，由 1 个人看管，某段时间甲、乙、丙 3 台机床不需看管的概率分别为 在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。 25、一批产品共有 100 件，对其进行检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的 4 件产品中至少有 1 件废品。如果在该批产品中有 5%是废品，问该批产品被拒收的概率是多少。 26、将 3 个球随机地放入 4 个杯子中，求杯子中球的个数的最大值为 2 的概率。 27、甲、乙 2 班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班有 30 名同学，而女同学 15 名，求碰到甲班同学时，正好碰到女同学的概率。 28、一幢 10 层的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客在第二层起离开电梯。假设每位乘客在哪一层离开是等可能的，求没有 2 位及 2 位以上乘客 概率论与数理统计 第 6 页（共 57 页） 在同一层离开的概率。 29、某种动物由出生到 20 岁的概率为 到 25 岁的概率为 现在 20 岁的动物活到 25 岁的概率为多少？ 30、每门高射炮（每射一发）击中目标的概率为 有若干门高射炮同时发射（每炮射一发），欲以 99%以上的概 率击中目标，问至少需要配置几门高射炮？ 31、电路由电池 A 与 2 个并联的电池 B 和 C 串联而成，设电池 A， B， C 损坏的概率分别为 电路发生间断的概率。 32、袋中 10 个白球， 5 个黄球，从中不放回地取 3 次，试求取出的球为同颜色的球的概率。 33、假设目标在射程之内的概率为 时射击的命中率为 求两次独立射击至少有一次击中的概率。 34、假设某地区位于甲乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某段时期内甲河流泛滥的概率为 河流泛滥的概率为 甲 河流泛滥时乙河流泛滥的概率为 （ 1）该时期内这地区遭受水灾的概率； （ 2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。 35、 甲、乙、丙 3 人同向飞机射击。击中飞机的概率分别为 果有 1 人击中，则飞机被击落的概率为 果有 2 人击中，则飞机被击落的概率为 果有3 人击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。 36、 一射手命中 10 环的概率为 中 9 环的概率为 该射手 3 发子弹得到不小于 29 环的概率。 38、甲、乙 2 名乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛局甲胜的概率为 赛既可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，问采用哪种比赛制度对甲更有利。 39、有 2500 人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费 12 元。若在一年内死亡，则其家属可以从保险公司领取 2000 元。假设每人在一年内死亡的概率都是 保险公司获利不少于 10000 元的概率。 40、在 12 名学生中有 8 名优等生，从中任取 9 名，求有 5 名优等生的概率。 41、特色医院接待患者的比例为 K 型 50%， L 型 30%， M 型 20%，对应治愈率为 患者已治愈，问他属于 L 型的概率 ？ 42、某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为 火车迟到的概率为 轮船迟到的概率为 飞机不会迟到。问这个人迟到的概率；又如果他迟到，问他乘轮船的概率是多少？ 43、一对骰子抛掷 25 次，问出现双 6 和不出现双 6 的概率哪个大？ 44、一副扑克（ 52张），从中任取 13 张，求至少有一张“ A”的概率？ 45、据以往资料表明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律。子得病下母亲得病的概率为 亲及孩子得病下父亲得病的概率为 母 亲及孩子得病但父亲未得病的概率。 46、某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随机地拨号。求他拨号不超过 3次的概率；若已知最后一位数字为奇数，此概率是多少？ 47、某场战斗准备调甲、乙两部队参加，每支部队能按时赶到的概率为 ，若只有一支部队参加战斗，则取胜的概率为 两部队参加战斗，则必胜；若两部队未能按时赶到 概率论与数理统计 第 7 页（共 57 页） 则必败。欲达 的最低值。 48、工人看管三台设备，在 1小时内每台设备不需要看管的 概率均为 （ 1）三台设备均不需要看管的概率； （ 2）至少有一台设备需要看管的概率； （ 3）三台设备均需要看管的概率。 四、证明题 1、 假设我们掷两次骰子，并定义事件 A “第一次掷得偶数点”， B “第二次掷得奇数点”， C “两次都掷奇数点或偶数点”，证明 A， B， C 两两独立，但 A， B， C 不相互独立。 2、 设每次试验 A 发生的概率 )10(, n 次独立重复试验中至少出现一次A ”证明 1)( ),( 证明 )1(, 4、证明，如果 )()|( ，则 )()|( 5、当 )(,)( 时，证明：)|( 6、证明： 0)( 则)( )(1)|( 7、设 , 三事件相互独立，则 与 C 相互独立。 8、设 ， 3,2,1i ， 则 2)()()()(321 知 21,时发生，则 A 发生，证明 1)()()( 21 10、 10 个考签中有 4个难签， 3人依次抽签参加考试，证明 3人抽到难签的概率相等。 11、设 A， B 为两事件，证明 )()()( 12、证明如果 A 与 B 独立，则 A 与 B 独立、 A 与 B 独立、 A 与 B 独立 13、如果 0)( 证明 A 与 B 独立的充分必要条件是 )()|( 概率论与数理统计 第 8 页（共 57 页） 第二章 随机变量及其分布 一、填空题 1、设随机变量 X 的分布律为 0),2,1,0(!)( a 。 2、设随机变量 X 服从参数为 1/3 的 0 1 分布，则 X 的分布函数为 = 。 3、设随机变量 21)(),4,1( 则 a 。 4、设随机变量 X 的分布律为 0),2,1()( ，则 a 。 5、设随机变量 X 服从 (0,1)区间上的均匀分布，则随机变量 2的密度函数为 。 6、随机变量 X 的密度函数为 8 )1( 2)( )( x ，则 k 。 7、随机变量 X 的密度函数为 ),4,1( 12 。 8、若 2112 ,)(,1)( ，则 )( 21 。 9、设离散型随机变量 X 的分布函数为 221211( a ， b 。 10、设 连续型随机变量 X 的密度函数为 0)( 2 00 则 k ， )21( ， )2( 。 11、设 5 个晶体管中有 2 个次品， 3 个正品，如果每次从中任取 1 个进行测试，测试后的产品 不放回，直到把 2 个次品都找到为止，设 X 为需 要进行测试的次数，则 )3( 。 12、设 )(离散型随机变量的分布函数为，若 )()()( ， 则 )( 。 概率论与数理统计 第 9 页（共 57 页） 13、一颗均匀骰子重复掷 10次，设 X 表示点 3出现的次数，则 X 的分布律 )( 。 14、设 X 为连续型随机变量，且 1 ，且 则 k 。 15、设随机变量 X 服从 布，且 )2()1( 则 )1( 。 16、连续型随机变量 X 为22 )44(61)( cc ()( ，则 c 。 17、设 )(),( 21 分布函数， 0,0 21 )()( 2211 为分布函数，则 21 。 18、若连续型随机变量的分布函数660010)( 2则 A 。 19、设随机变量 X 的概率密度 |21)( ，则 X 的分布函数为 。 20、若随机变量 )( 2则 密度函数 )( 。 二、选择题 1、若函数 )(一随机变量 X 的密度函数，则（ ） )(定义域为 0,1 )(域为 0,1 )(负 )( 1R 连续 2、如果 )(（ ），则 )(定不可以为某一随机变量的分布函数。 非负函数 连续 函数 有界函数 单调减少函数 3、下面的数列中，能成为一随机变量的分布律的是（ ） ),2,1,0(!1 ),2,1(!1 ),2,1,0(21 ),2,1(21 面的函数中，能成为一连续型随机变量的密度函数的是（ ） 0 其他 23 x 0 其他 23 x 概率论与数理统计 第 10 页（共 57 页） 0 其他 23 x 0 其他 23 x 5、设随机变量 )1,0( )(x 为其分布函数， )( 则 x （ ）。 )1(1 )21(1 )(1 )2(1 6、设离散型随机变量 X 的分布律为 ),2,1()( k ，则 （ ）。 0 的实数 1b 11 b 11 b 7、设随机变量 ),( 2则 增大时， )|(| （ ） 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定 8、设随机变量 X 的分布密度 )(分布函数 )( )(关于 y 轴对称，则有（ ） )(1)( )(21)( )()( 1)(2)( 9、设 )(),( 21 分布函数， )()( 2211 为分布函数，则下列成立的是（ ） 52,53 21 3,52 21 3,21 21 3,21 21 使o 是密度函数，则 G 为（ ） 2,2 2,0 ,2 2, 11、设随机变量的分布密度为 ,)1( 1)( 2 则 的密度函数为（ ） )1( 1 2x )4( 2 2x )41( 1 2x )411(12x12、设连续型 随机变量 X 的分布函数为 )(密度 )(则（ ） 0)( )()( )()( )()( 概率论与数理统计 第 11 页（共 57 页） 13、设随机变量 X 的密度函数为 其他211002)( 则 ) ） ( ( 14、设 随机变量 X )1,1( N ，分布函数为 )(密度 )(则有（ ） )0()0( )()( )1()1( )()( 三、计算题 1、 10 个灯泡中有 2 个是坏的，从中任取 3 个，用随机变量描述这一试验结果，并写出这个随机变量的分布律和分布函数及所取的三个灯泡中至少有两个好灯泡的概率。 2、罐中有 5 个红球， 3 个白球，有放回地每次任取一球，直到取得红球为止。用 X 表示抽取的次数，求 X 的分布律，并计算 31 3、设随机变量 X 的分布律为 ),2,1()1()( 求 A 的值。 4、 已知离散型随机变量 X 的分布律为 (1) 求 )11( （ 2）求 2 的分布律； （ 3）求 X 的分布函数。 5、已知离散型随机变量 X 的分布律为 44 )1()( ，且95)1( p 。 6、对某一目标射击，直到击中时为止。如果每次射击的命中率为 p ，求射击次数 X 的分布律。 7、已知离散型随机变量 X 的分布律为1)( ，其中 ,2,1k ， 求 的分布律。 X 2 1 0 1 2 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 概率论与数理统计 第 12 页（共 57 页） 8、 设连续型随机变量 X 的分布函数为： ar c 求： (1)常数 (2)X 的概率密度。 9、已知随机变量 X 的密度函数为 01)( 2 1| 1| 求（ 1）系 数 A ； （ 2） X 落入 21,21 的概率； （ 3） X 的分布函数。 10、某车间有 20 部同型号机床，每部机床开动的概率为 假定各机床是否开动是独立的，每部机床开动时所消耗的电能为 15 个单位，求这个车间消耗的电能不少于 270 个单位的概率。 11、 设随机变量 )2,0( 求 2的分布。 12、设测量误差 X 的密度函数为 3200 )2( 22401)( 求 （ 1） 测量误差的绝对值不超过 30 的概率； （ 2） 测量 3 次，每次测量独立，求至少有 1 次测量误差的绝对值不超过 30 的概率。 13、在下列两种情形下，求方程 012 实根的概率。 （ 1） X 等可能取 1, 2， 3, 4， 5, 6； （ 2） )6,1( 14、设球 的直径（单位： )11,10( 求球的体积的概率密度。 15、已知离散型随机变量 X 只取 0， 1， 2 ，相应的概率为67,85,43,21， 求 a 的值并计算 )0|1|(| 16、设某种电子管的寿命 X 的密度函数0100)( 2100100（ 1） 若 1 个电子管在使用 150 小时后仍完好，那么该电子管使用时间少于 200 小时的 概率论与数理统计 第 13 页（共 57 页） 概率是多少？ （ 2） 若 1 个电子系统中装有 3 个独立工件的这种电子管，在使用 150 小时后恰有 1 个损坏的概率是多少。 17、设钻头的寿命 (即钻头直到磨损为止所钻的地层厚度，以米为单位 )服从指数分布， 钻头平均寿命为 1000米，现要打一口深度为 2000米的井，求 (1)只需一根钻头的概率； (2)恰好用两根钻头的概率。 18、某公共汽车站从上午 7 时起第 15 分钟发一班车，如果乘 客到达此汽车站的时间 X 是7 时至 7 时 30 分的均匀分布，试求乘客在车站等候 （ 1）不超过 15 分钟的概率；（ 2）超过 10 分钟的概率。 19、自动生产线在调整以后出现废品的概率为 产过程中出现废品时重新进行调整，问在两次调整之间能以 概率保证生产的合格品数不少于多少？ 20、设在一段时间内进入某一商店的顾客人数服从 布，每个顾客购买某种物品的概率为 p ，并且各个顾客是否购买该物品是相互独立的，求进入商 店的顾客购买该种物品人数的分布律。 21、 设每页书上的印刷错误个数服从泊松分布，现从一本有 500 个印刷错误的 500页的书上随机地取 5页，求这 5页各页上的错误都不超过 2个的概率。 22、已知每天到某炼油厂的油船数 X 服从参数为 2 的泊松分布，而港口的设备一天只能为三只油船服务，如果一天中到达的油船超过三只，超出的油船必须转到另一港口。求： （ 1）这一天必须有油船转走的概率； （ 2）设备增加到多少，才能使每天到达港口的油船有 90%可以得到服务。 （ 3）每天到达港口油船的最可能只数。 23、某实验室有 12 台电脑，各台 电脑开机与关机是相互独立的，如果每台电脑开机占总工作时间的 3/4，试求在工作时间任一时刻关机的电脑台数超过两台的概率以及最有可能有几台电脑同时开机。 24、设有各耗电 车床 10 台，每台车床使用情况是相互独立的，且每台车床每小时平均开车 12 分钟，为这 10 台车床配电设备的容量是 55求该配电设备超载的概率。 25、一台电子设备内装有 5个某种类型的电子管，已知这种电子管的寿命（单位：小时）服从指数分布，且平均寿命为 1000 小时。如果有一个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为 95%，两个电子管损坏， 设备仍能正常工作的概率为 70%，若两个以上电子管损坏，则设备不能正常工作。求这台电子设备在正常工作 1000小时后仍能正常工作的概率 (各电子管工作相互独立 )。 26、某地区 18 岁的女青年的血压（收缩压，以 ）服从 )12,110( 2N 。在该地区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压 X。（ 1）求 105 120100 （ 2） 概率论与数理统计 第 14 页（共 57 页） 确定最小的 x,使 7 97 5( 27、将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内。调节器整定在 d ,液体的温度 ) 2(1)若 d=90,求 9的概率。（ 2）若要求保持液体的温度至少为 80的概率不低于 9 7 7 (, 2 28、设随机变量的分布函数1 （ 1）确定 , 的值；（ 2） )2|(| 29、 设连续型随机变量 X 的分布函数为 0)( )0(00 求 (1)常数 A， (2) )11( 30、有一个半径为 2 米的圆盘形靶子，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设均能中靶，如以 X 表示击中点与靶心的距离，求 X 的分布函数和密度函 数。 31、设随机变量 X 的密度函数 其他110|1)( 12 密度函数。 32、设随机变量的分布律为 X 4 2 43 随机变量 的分布函数。 33、已知 10 个元件中有 7 个合格品和 3 个次品，每次随机地抽取 1 个测试，测试后不放回，直至将 3 个次品找到为止，求需测试次数 X 的分布律。 34、已知 X 的分布函数为2211001113221310)(，求 26 的分布函数。 35、设某产品的寿命 T 服从 ),160( 2N 的正态分布，若要求寿命低于 120 小时的概率不 概率论与数理统计 第 15 页（共 57 页） 超过 问应控制 在什么范围内，并问寿命超过 210 小时的概率在什么范围内？ 36、某厂决定在工人中增发高产奖，并决定对每月生产额最高的 5%的工人发放高产奖，已知每人每月生产额 )60,4000( 2试问高产奖发放标准应把月生产额定为多少？ 37、在长为 1 的线段随机地选取一点，短的一段与长的一段之比小于 1/4 的概率是多少？ 38、设 X 的分布密度为),0(),0(02)( 2 求 的密度函数。 39、设 X 的分布密度为 |21)( xX 求（ 1） |)2(2 （ 3） |Y 的概率密度。 四、证明题 1、设 )(随机变量 X 的分布函数，证明：当 21 时，有 )()( 21 2、证明：若 X 服从参数为 的指数分布，则 )()|( 3、证明： X 服从 上均匀分布，则 也服从均匀分布。 4、设随机变量 X 的分布函数 )(严格单调连续函数，则 )( 服从均匀分布。 5、设随机变量 X 的分布密度 )(分布函数 )( )(关于 y 轴对称，证明： 对于任意正数 a 有 )(1)( (21 06、 设随机变量 X 的分布密度 )(分布函数 )( )(关于 y 轴对称，证明： 对于任意正数 a 有 1)(2)|(| 7、设 )(),( 两个随机 变量的密度函数，证明：对于任意正数 )10( ， 有 )()1()( 是某一随机变量的密度函数。 概率论与数理统计 第 16 页（共 57 页） 第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、因为二元函数10),( 00不满足 ，所以 ),( 是某一个 二维随机变量的联合分布函数。 2、设二维随机变量的联合分布律为 X Y 1 2 3 1 2 1/16 3/8 1/16 1/12 1/6 1/4 则 )2|1( 。 3、设 X 和 Y 是独立的随机变量，其分布密度函数为 01)( x ， 0)( 00则 ),( 联合分布密度函数为 。 4、设二维随机变量的联合分布律为 X Y 1 2 3 1 2 1/6 1/9 1/18 1/3 a b 若 X 和 Y 独立，则 a= ,b= 。 5、设 )1,2(),3,0(),2,1(321 三个随机变量相互独立，则 )6320( 321 。 6、若随机变量 ),4(),2( 且95)1( )1( 。 7、设 ),( 联合密度函数为 0),()( 其他0,0 则 c 。 概率论与数理统计 第 17 页（共 57 页） 8、设 ),( 域 D 上 服从均匀分布，其中 D 是由 x 轴， y 轴及直线 12 围成的区域，则 )21,81( 9、设 X 和 Y 是两个随机变量，且73)0,0( 4)0()0( 则 0), 。 10、设相互独立的 X 和 Y 具有同一分布律，且21)1()0( 随机变量 的分布律为 。 11、 设相互独立的 X 和 Y 具有同一分布律，且21)1()0( 随机变量 的分布律为 。 12、设平面区域 D 由曲线及直线 2,1,0 ， ),( 域 D 上服从均匀分布，则 ),( 于 X 的边缘密度在 2x 处的值为 。 13、设相互独立的 X 和 Y 具有同一分布，且 )21,0( 。 二、选择题 1、设随机变量 相互独立，分布函数为 )(),( X ，则 ),分布函数为 ( ) )(),(X )(),( X )()( X )(1)(11 X 2、设随机变量 相互独立，且 )4,1(),2,0( 则下列各式成立的是 ( ) 21)0( 21)0( 21)1( 21)1( 随机变量 X ， Y 相互独立， )1,0( )1,0( 则 的密度函数为（ ） 概率论与数理统计 第 18 页（共 57 页） 2 2221 4 2221 4221 4221 4、设随机变量 相互独立且同分布， ()1( 则下列结论正确的是 ( ) 1)( 41)0( 1)0( 随机变量 相互独立，且 ),(),( 2221 则 为 ( ) ),( 222121 N ),( 222121 N ),( 222121 N ),( 222121 N 6、设 ),( 联合密度函数为0