《概率论与数理统计》第三版_王松桂_科学出版社_课后习题答案

1 第一章 事件与概率 1写出下列随机试验的样本空间。 （ 1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （ 2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （ 3）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数。 （ 4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 （ 5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （ 6）实测某种型号灯泡的寿命。 解 （ 1） ,10 0,1,0 其中 n 为班级人数。 （ 2） 18,4,3 。 （ 3） ,11,10 。 （ 4） 00， 100， 0100， 0101， 0110， 1100， 1010， 1011， 0111， 1101，0111， 1111，其中 0 表示次品， 1 表示正品。 （ 5） (x,y) 0Y= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1= 1 0 2 0 2 11 1 0 2 2 0 0 2 2 0 1 12 2 2 2 2 20 . 7 0 . 3 0 . 4 0 . 6 0 . 7 0 . 3 0 . 4 0 . 6 0 . 7 0 . 3 0 . 4 0 . 6 0 . 5 6 28C C C C C C :（ 1） P1 X 3= PX=1+ PX=2+ PX=3= 1 2 3 21 5 1 5 1 5 5 (2) P 3）设 FY(y)， () 的分布函数和概率密度函 数，则 当 时， 2( ) 0YF y P Y y P X y P 当 y0 时， 22 21( ) 2yF y P Y y P X y P y X y e d x 对 ()y 的导数，得22 2( ) ( ) ( l n )2 2 21 1 1( ) ( )() 2 2 20yy y e y y0 XN(0,1) 1()0 0 x 其 它（ 1） 2 ln y 当 时 2( ) 2 l n l n 0YF y P Y y P X y P X y P 2 l 当 时22201( ) 2 l n l n y P Y y P X y P X y P X e P X e d x 23 对 ()y 的导数，得到 2211()() 20 2 （ 2） 当 y - 1 时， ( ) c o s 0YF y P Y y P X y P 11y 当 时 ,a r c c o ) c o s a r c c o s y P Y y P X y P X y d x 对 ()y 的导数，得到 211( a r c c o s )() 10y 11y 其 它（ 3） 当 y 0时 ( ) s i n 0YF y P Y y P X y P 01y当 时 ， a r c s i n0 a r c s i n( ) s i n 0 a r c s i n a r c s i n 11y P Y y P X y P X y P y Xd x d x 对 ()y 的导数，得到 21 1 2a r c s i n ( a r c s i n )() 10y 01y其 它第三章 随机向量 P1o,Y0;F(x,y)=0,其他 （ 2） ( 2 ) 2 200 0 0 0 02 2 3 2 30000( ) 2 2 2 ( | )2 2 12 (1 ) ( 2 2 ) ( | ) | 13 3 3y x v x y xx x x x x X e d x d y e d x e d y e e d xe e d x e e d x e e ：2 2 222 2 22 2 2 2 2001()( 1 ) ( 1 )ax y x y a d d rx y r 22 22 2 2 2 20001 1 1 1 1(1 ) 2 1(1 ) 2 (1 ) 1 1|a a ad d rr r a a 25 见课本后面 答案 11 1200033( ) ( , ) 2 2 3 2|x f x y d y x y d y x 22 22 2 2 20003 3 1( ) ( , ) 32 2 2 |yf y f x y d x x y d x y x y ,() 20, 02x其 它23()0 01y其 ： X 的边缘概率密度函数 () (1)当 10或 时， ( , ) 0f x y ，( ) 0 12222001 1 1( ) 4 . 8 ( 2 ) 4 . 8 2 4 . 8 1 2 2 2 21001( ) 4 . 8 ( 2 ) 2 . 4 ( 2 ) 2 . 4 ( 2 )|y y x d x y x x y y x y x d y y x x x 或(2)当 01x时， 2200( ) 4 . 8 ( 2 ) 2 . 4 ( 2 ) 2 . 4 ( 2 )|x x y x d y y x x x Y 的边缘概率密度函数 () 当 10或 时， ( , ) 0f x y ， ( ) 0 当 01y时， 1 1221 1 1( ) 4 . 8 ( 2 ) 4 . 8 2 4 . 8 1 2 2 2 2|Y y y x d x y x x y y y 22 . 4 ( 3 4 )y y y 1）参见课本后面 答案 26 （ 2）2 6()0 01x其 它 6= 0（ 1-） 01x其 它6()0 01y其 它 6=0（ - ） 01y其 见课本后面 答案 见课本后面 答案 1） 2 20()() 30d 01x其 它2 2230 01x其 它1 20()() 30d 02y其 它1= 360y 02y其 它对于 02y时， ( ) 0 所以2|3( , )1( | )() 360x y yf x 01x其 它26 +220x 01x其 它对于 01x时， ( ) 0以22|3( , )2( | )2()30x y xf y x 02y其 它3620 02y其 它27 1 1 12 2 2|0 0 011331 1 1 722 | ( | )12 2 2 5 4 0622 X f y d y d y d y Y 0 2 5 X 的边缘分布 1 的边缘分布 由表格可知 PX=1;Y=2=PX=1PY=2= P;P 所以 X 与 Y 不独立 Y 1 2 3 X 的边缘分布 1 6191181312 31a b 31+a+b Y 的边缘分布 21a+91b+1811 由独立的条件 P;P 则 22P X2;2P X 32P X3;2P X 1PX i 28 可以列出方程 )91)(31( )31)(181( 13131 0,0 解得91,92 （ 1）在 () 20 02x其 它23()0 01y其 它当 02x， 01y时， ( ) ( )x f y 23 ( , )2 xy f x y当 2x 或 0x 时，当 1y 或 0y 时， ( ) ( )x f y 0 ( , )f x y所以， X 与 Y 之间相互独立。 （ 2）在 ， 22 . 4 ( 2 )()0 01x其 它22 . 4 ( 3 4 )()0Yy y 01y其 它当 01x， 01y时， ( ) ( )x f y 2 2 2 22 . 4 ( 2 ) 2 . 4 ( 3 4 ) 5 . 7 6 ( 2 ) ( 3 4 )x x y y y x x y y y = ( , )f x y ，所以 X 与 Y 之间不相互独立。 ： 29 0 2)1( 1),()( )1()1( 20 211),()( ),(1)()( )1( 2 故 X 与 Y 相互独立 见课本后面 答案 第四章 数字特征 ：( ) 1 x p( ) 0 . 9 y p甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同 乙机床生产的零件的质量较好。 ： X 的所有可能取值为： 3， 4， 5 351 3 0 . 1 2335 4 0 . 3C 2435 5 0 . 6C ( ) 3 0 . 1 4 0 . 3 5 0 . 6 4 . 5 x p 见课本 230 页参考答案 30 ： 1 ( 1 ) , 1 , 2 , 3 . . . . . n p p n 1 211( ) (1 ) 1 (1 ) x p n p p 考课本 230 页参考答案 ：设途中遇到红灯次数为 X，则 (3, B ( ) 4 0 . 3 1 . 2E X n p ()( x d 3000(130 0015 00215 0002215001500 500+1000 1500 见课本后面 230 页参考答案 见课本后面 231 页参考答案 :设均值为 ,方差为 2 ,则 XN( ,2 )根据题意有 : )96(1)96( )7296(1 1 t % 31 t ,解得 t=2 即 =12 所以成绩在 60 到 84 的概率为 )12 7224) 6 0 (1) 1-(1)2 2 2 2( ) 0 0 . 4 1 0 . 3 2 0 . 2 3 0 . 1 2 2 2 2 2( 5 4 ) 4 0 . 4 ( 5 1 4 ) 0 . 3 ( 5 2 4 ) 0 . 2 ( 5 3 4 ) 0 . 1 1 4 ： 00 0 00( ) ( 2 ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2|x x x E X x e d x x d e x e e d 2 2 3 300011( ) ( ) 33|X x x x E e e e d x e d x e ：343 设球的直径为 X,则： 1()0fx a x b其 它33 3 4 2 24 ( ) 1 1 12( ) ( ) ( ) = ( ) ( )3 6 6 6 4 2 4|b E E X x d x x b a b ab a b a 看课本后面 231 页答案 : 32 12302),()( 21212 321 2),()( 54)()( 10 44 d xf )( 10 43 1212 y 10 0 310 310 211212),()( d y d x d y dx d 2)()( 10 522 4 )( 10 5422 1212 )()( 2222 X 与 Y 相互独立， 1 15 3 500 5 52( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )3 | Y E X E Y x x d x y e d y x y d e 5 5 55552 2 2( ) 5 ( ) ( 5 1 ) 43 3 3|y y yy e e d y e 看课本后面 231， 232 页答案 X 表示 10 颗骰子出现的点数之和， 1, 2, 10)i 表示第 i 颗骰子出现的点数，则 101 ，且 1 2 1 0,X X X 是 33 独立同分布的，又 1 1 1 2 1( ) 1 2 66 6 6 6 所以 1 0 1 01121( ) ( ) ( ) 1 0 3 56 E X E X 看课本后面 232 页答案 2 2 2( ) 0 0 . 4 1 0 . 3 2 0 . 2 3 0 . 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 1 1D X E X E X 2 2 2 2( ) 0 0 . 3 1 0 . 5 2 0 . 2 3 0 1 . 3 2 2 2( ) ( ) ( ) 1 . 3 0 . 9 0 . 4 9D Y E Y E Y 4 242 2 2 4 4 302021 1 1 1 1 1 1 1 4( ) ( 1 ) 14 4 1 6 1 6 3 3 3|E X x x d x x x d x x x x 22 1 4 2( ) ( ) ( ) 433D X E X E X 11() 40 11x 其 它1= 2011x 其 它112 2 2 211( ) ( ) ( ) 22V a r X E X E X x d x x d x 11321 1 1 1 12 3 2 2 3| 111() 40 11y 其 它1= 2011y 其 它112 2 2 211( ) ( ) ( ) 22V a r Y E Y E Y y d y y d y 11321 1 1 1 12 3 2 2 3| 34 为 XN(0,4),YU(0,4)所以有 )=4 )= 34故： +Y)=)+)=4+34=3164)+9)= 2834944 看课本后面 232 页答案 2 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X E E E En n n n 121 1 1 1( ) ( ) ( ) E X E X nn n n n 12 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X D D D Dn n n n 22122 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) E X E X nn n n n n 后面 4 题不作详解 第五章 极限理 ：用则 ( ) 1 0, 2( ) 0 100 21 ( , ) (1 0 0 1 0 , 1 0 0 0 . 1 ) n n N 1 0 0 1 0 0 1 0 01 1 121 0 0 1 0 1 0 0 0 ( 0 , 1 )1 0 0 0 . 1 1 0i i ii i iX n X 1001001110009 9 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0( 9 9 0 1 0 1 0 ) ( )1 0 1 0 1 0 P 35 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0( ) ( ) ( 1 0 ) ( 1 0 )1 0 1 0 2 ( 1 0 ) 1 0 . 9 9 8 6 ：因为0,10上的均匀分布， 0 1 0( ) 52 21 0 1 0 0() 1 2 1 2 2 0 2 0 2 01 1 1100 ( ) , ( ) ( 2 0 5 , 2 0 )12i i ii i E V D V N 2 0 2 0 2 0 2 01 1 1 1201( ) 2 0 5 1 0 0 ( 0 , 1 )1 0 0 1 0 1 520()1 2 3i i i ii i i V V 202011100 1 0 5 1 0 0( 1 0 5 ) 1 ( 1 0 5 ) 1 ( 1 0 5 ) 1 ( )1 0 1 5 1 0 1 533 P V P V P 1 0 5 1 0 01 ( ) 1 ( 0 . 3 8 7 ) 0 . 3 4 81 0 1 53 ：方法 1：用则 1,0, 正 常 工 作损 坏 (1, 0 ) 0 p, ( ) (1 ) 0 . 9 0 . 1 p p 1001 , (1 ) (1 0 0 0 . 9 , 1 0 0 0 . 9 0 . 1 ) n p n p p N 1 0 0 1 0 0 1 0 01 1 11 0 0 0 . 9 9 0 ( 0 , 1 )3( 1 ) 1 0 0 0 . 9 0 . 1i i ii i iX n p X p p 36 1001 0 0 1 0 011190 8 5 9 0( 8 5 ) 1 ( 8 5 ) 1 ( )33 P X P 551 ( ) ( ) 0 . 9 5 2 533 方法 2：用 X 表示 100 个部件中正常工作的部件数，则 (1 0 0 , 0 ( ) 1 0 0 0 . 9 9 0E X n p ( ) ( 1 ) 1 0 0 0 . 9 0 . 1 9D X n p p , ( 1 ) ( 9 0 , 9 )X N n p n p p N 90 ( 0 , 1 )3(1X n p p p90 ( 0 , 1 )3(1X n p p p9 0 8 5 9 0( 8 5 ) 1 ( 8 5 ) 1 ( )33551 ( ) ( ) 0 . 9 5 2 533 P X P 第六章样本与统计 证明 : 由 = +b 可得，对等式两边求和再 除以 n 有 37 i 11)(由于 ni 1 ni 1 所以由 可得 Y =1= 为 212)( )2(2 2222212 ni 22222212 ni i 22 )( 2 Xa 2 )( n 22)1( )1( 38 所以有 22 明： (1)(1a a 22211)( 1） )2(1( )2(1n 1 21 )2(1n 1 21 )(1n 1 21 （ 2）由于 )( 22 )()( a 所以有 2222 )()( )( a a 2222 )()( )( 222221 2 )1()()()( )( X 39 两边同时除以（ 得 212)1()( 即 22)( 同例 知 0 . 9 51-)n( 0 . 321-) 3(20 . 3 | | 得 n( 查表可知 根据题意可知 n=43 （ 1）记这 25 个电阻的电阻值分别为 ,它们来自均值为 =200 欧姆，标准差为 =10 欧姆的正态分布的样本则根据题意有： 2510 2 0 02 0 2 0 01 9 92 0 2 9 P )1( (2)根据题意有 5 1 0 05 1 0 0P 251i 2 )2( ：（ 1）记一个月（ 30 天）中每天的停机时间分别为 ，它们是来自均值为 =4 小时，标准差为 =时的总体的样本。 根据题意有： 15 40 8 4 P )8 4 1 （注： )(u 当 6u 时， )(u 的值趋近于 1，相反当 6u 时，其值趋近于 0） （ 2）根据题意有： 1 1 51 1 5P 301i ) ) 明：因为 T ，则，随机变量T 的密度函数为 )2()2 1()( 121显然 )()( ，则 )(偶函数，则 0)()()()()()()()( 000000 t d d d d d d ：记 ， 25 ，则 X N( ,2 ),n=25 故 2525 1 5 0 7 . 5 5 0 0P1 4 7 . 5 1 4 0 (5) (2) 41 ：记这 100 人的年均收入为 ，它们是来自均值为 万元，标准差为 万元的总体的样本， n=100 则根据题意有： （ 1） 1 1 1000 6 2 )2(1 （ 2） 1000 3 4 )4( )4( 11 0（ 3） 1 0 00 . 5 1 . 5 6 00 . 5 1 . 5 2P1 . 6 1 . 2 (2) 解：根据题意可知此样本是来自均值为 12 ，标准差为 2 的总体，样本容量为 n=5 42 （ 1）依题意有1 3 1 8 52 123131 （ 2）要求 样本的 最小值 小于 10 概率， 即 5 个数中至少有一个小于 10 的概率 ，首先计算每个样本小于 10 的概率： 0 . 1 5 8 70 . 8 4 1 31 )- 1 )2 120)P ( X p 设 X 是 5 个样本中小于 10 的样本个数则 X 服从二项分布 B(5,有 5 7 8 ( X )5005B 样本的最小值小于 10 的概率是 （ 3）同（ 2）要求样本的最大值大于 15 的概率，即 5 个数中至少有一个大于 15 的概率，首先计算每个样本 大于 15 的概率： 933 21 . 5)1)2 1215)P ( ( X p 设 X 是 5 个样 本中大于 15 的样本个数则 X 服从二项分布 B(5,有 2 9 2 ( X )0 6 6 5005B 样本的最大值大于 15 的概率是 七章参数估计 因为 : 是抽自二项分布 B（ m,p）的样本，故都独立同分布所以有 )( 用样本均值 X 代替总体均值，则 p 的矩估计为 ： 1)( 0 xd e x 代替总体均值，则 的矩估计为 43 )(1 由概率密度函数可知联合密度分布函数为： n 21)( e ni 1 对它们两边求对数可得 ni in xe ni i 1ln)( 1 对 求导并令其为 0 得 0)( 1 ni 即可得 的似然估计值为 :记随机变量 x 服从总体为 0, 上的均匀分布，则 220)( 矩估计为 X 的密度函数为1)( XL ni 1 0 )(11)( 要使 )(L 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为 1，其次是 可能大。由于 的单调减函数，所以 的取值应该尽可能小，但示性函数为 1 决定了 不能小于 ,因此给出 的最大似然估计 （示性函数 I= ， = =） :记随机变量 x 服从总体为 , 上的均匀分布，则 232 2)( 矩估计为 X 的密度函数为1)( 44 L 221 2 )1()()()1( 要使 )(L 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为 1，其次是 可能大。由于 的单调减函数，所以 的取值应该尽可能小，但示性函数为 1 决定了 不能小于 ,因此给出 的最大似然估计 :似然函数为 : ee ni ii n 1 2222)X(2)X(21)L( 2 1222( 它的对数为 : ni 2222 )X(2 1)l n(