《概率论与数理统计》课后习题答案chapter2

21 习题 答 1现有 10 件产品，其中 6 件正品， 4 件次品。从中随机抽取 2 次，每次抽取 1件，定义两个随机变量 X 、 Y 如下： 。次抽到次品第次抽到正品第11,0;,1X 。次抽到次品第次抽到正品第22,0;,1Y 试就下面两种情况求 ),( 联合概率分布和边缘概率分布。 （ 1） 第 1 次抽取后放回； （ 2） 第 1次抽取后不放回。 解 （ 1）依题知 ),( 有可能的取值为 )1,1(),0,1(),1,0(),0,0( . 因为 ； 254104104)0|0()0()0,0(1101411014 ； 256106104)0|1()0()1,0(1101611014 ； 256104106)1|0()1()0,1(1101411016 ； 259106106)1|1()1()1,1(1101611016 所以 ),( 联合概率分布及关于 X 、 Y 边缘概率分布如下表为： Y X 0 1 54 256 2510 1 256 259 2515 510 2515 1 22 （ 2）类似于（ 1），可求得 ； 15293104)0|0()0()0,0(191311014 ； 15496104)0|1()0()1,0(191611014 ； 15494106)1|0()1()0,1(191411016 ； 15595106)1|1()1()1,1(191511016 所以 ),( 联合概率分布及关于 X 、 Y 边缘概率分布如下表为： 2. 已知 10 件产品中有 5 件一级品， 2 件废品。现从这批产品中任意抽取 3件，记其中的一级品数与废品数分别为 X 、 Y ，求 ),( 联合概率分布和边缘概率分布。 解 依题知 X 、 Y 所有可能的取值分别为 3,2,1,0 及 2,1,0 ，故 ；1201)0,0( 31033 ；201)1,0(3101223 ；401)2,0( 3102213 ；81)0,1(3102315 Y X 0 1 52 154 156 1 154 155 159 56 159 1 23 ；41)1,1( 310131215 ；241)2,1(3102215 ；41)0,2( 3101325 ；61)1,2(3101225 ；0)2,2( ；121)0,3(31035 ；0)1,3( ；0)2,3( 所以 ),( 联合概率分布及关于 X 、 Y 边缘概率分布如下表为： 3. 已知随机变量 X 、 Y 的概率分布分别为 且 1)0( 求 （ 1） X 和 Y 的联合概率分布； （ 2） )( . 解 （ 1）因为 )1,0()0,0()0,1()0,1()0(所以 1)1,0()0,0()0,1()0,1()0(22213111 P 0 1 412141Y P 0 1 2121Y X 0 1 2 201 201 401 121 1 81 41 241 125 2 41 61 0 125 3 121 0 0 121 57 157 1511 24 Y X 0 1 1p 0 41 0 21p 22p 21 1 311 1211 Y X 0 1 1 0 41 0 0 21 21 1 41 0 21 1 21 1 又根据 12131 j i 03212 从而 03212 于是由表 可得 4111 p， 4131p， 2122 p， 021 2221 故 ),( 联合概率分布为 (2) 由 (1)知 0)1,1()0,0()( 4. 设二维随机向量 ),( 联合概率密度为 其它。,0;0,0,),( )2( 求：（ 1）常数 A ； （ 2） ),( 于 X 、 Y 的边缘概率密度； 25 （ 3） )30,20( （ 4） )12( （ 5） )( . 解 （ 1）由联合概率密度分的性质知 1),(0 0 )2( xd 即 10 0 2 求得 2A . （ 2）当 0x 时，有 0 )2(1 ),()(. 当 0x 时，有 0)(1 所以 ),( 于 X 的边缘概率密度为 ;0,)(1 x 同理可得 ),( 于 Y 的边缘概率密度为 ;0,2)( 22 y （ 3） )30,20( 2030 )2(2 2030 22 )(1( 62 （ 4）积分区域如图阴影部分 )12( 10 210)2(2x yx 1102102 1 x o y y= 26 （ 5） 积分区域如图阴影部分 )( 0 )2(2x yx 030 02 )(=31. 5设 二维随机向量 ),( 联合概率密度为 其它。,0;20,10,31),( 2 试求：（ 1） ),( 于 X 、 Y 的边缘概率密度 ； （ 2） 21|21 解 （ 1） 当 10 x 时，有 1(),()( 220 21 ； 当 10 时，有 0)(1 所以 ),( 于 X 的边缘概率密度为 其它。,0;10,322)( 21同理可得 ),( 于 Y 的边缘概率密度为 其它。,0;20,6131)(2（ 2）由条件概率的定义知 2121,2121|21而 x o y y=x 27 21,21 9 25)31(210 210 2 2189)31(10 210 2 于是 365489192521|21 6设 二维随机向量 ),( 联合概率密度为 其它。,0;,0,),( y 试求：（ 1） ),( 于 X 、 Y 的边缘概率密度 ； （ 2） 4,2 解 （ 1） 当 0x 时，有 xx y ),()(1； 当 0x 时，有 0)(1 所以 ),( 于 X 的边缘概率密度为 。0,0;0,)(1 x 同理当 0y 时，有 yy y 02 ),()(； 当 0y 时，有 0)(2 所以 ),( 于 Y 的边缘概率密度为 ;0,)(2 y （ 2） 4,2 424x y 7. 某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午 12 点至下午 1点在办公室会面，并约定先到者等 20 分钟后即可 离去，试求二人能会面的概率。 解 记经理和他的秘书到达办公室的时间分别为 12 点 X 分与 12 点 Y 分。依题可假定 ),( 从区域 ,600,600),( 28 上的均匀分布，其联合概率密度为 其它。,0;),(,3 6 0 01),( “二人能会面”这一事件 （图中所示阴影部分）可表示为 20| 于是 20| 20 60 x o y 60 20 29 习题 答 与 Y 相互独立同分布，且21)1()1( 1)1()1( ( ). （ A）21)( B） 1)( （ C）41)0( D）41)1( 由 X 与 Y 相互独立同分布知 ),( 联合概率分布为 于是有 ,1()0,0()( 4,3,2,1( ( ( 4,3,2,1( i ，求行列式4321 的分布列。 解 324143 21 ，而 41 32概率分布分别为： 由于4,3,2,1( 以 4132 Y X 0 1 1 41 21 1 41 41 21 1 21 1 410 1 P 2 P 30 1()0()1,0()1( 32413241 )()()0()1,(),0()(32413241324132410()1()0,1()1( 32413241 3. 设 二维随机向量 ),( 从矩形区域 10,20),( .,1;,0 ;2,0 求 U 与 V 的联合概率分布。 解 依题 ),( 概率分布为 4121)()2,()0,0( 110 x 0)2,()1,0( 4121)2()2,()0,1( 210 yy 21)0,1()1,0()0,0(1)1,1( 即 Y X 0 1 0 41 0 1 41 21 4， 5， 6 题中 ),( 联合分布函数。 解 （习题 4 题） X P 0 1 31 当 0,0 ，有 )1)(1(2),( 20 0 )2( y st ； 当 00 时，有 0),( 所以 ),( 联合分布函数为 其它。,0;0,0),1)(1(),( 2 习题 5 题） 当 00 时，有 0),( 当 20,10 ，有 )4(31)31(),( 20 0 2 x y ； 当 2,10 ，有 )12(31)31(),( 20 20 2 x； 当 20,1 ，有 )4(12)31(),( 10 0 2 y ； 当 21 时，有 1),( 所以 ),( 联合分布函数为 2,1120,1)4(1212,10)12(3120,10)4(31000),( 22题 6 题） 类似地可求 得 ),( 联合分布函数为 ;0,1;00,0),(设 二维随机向量 ),( 联合概率密度为 32 其它。,0 ;10,10,4),( 求 ),( 联合分布函数。 解 当 00 时，有 0),( 当 10,10 ，有 220 0 4),( t d y ； 当 1,10 ，有 2010 4),( xs t d ； 当 10,1 ，有 210 0 4),( ys t d ； 当 21 时，有 1),( 所以 ),( 联合分布函数为 ,1;10,1,;1,10,;10,10,;00,0),(2222设随机变量 X 与 Y 相互独立，其概率密度函数分别为 。其它,0;10,1)( 。0,0;0,)( 1）常数 A ； （ 2）随机变量 2 的 概率密度函数。 解 (1) 0)(1. （ 2）因 X 与 Y 相互 独立，故 ),( 联合概率密度为 其他,00,10,),( y 于是当 0z 时，有 0)2()()( 33 当 20 z 时，有 2022020 )1()2()(z xz y 当 2z 时，有 10 21020 )1()2()( y； 利用分布函数法求得 2 的 概率密度函数为 1(21;20),1(21;0,0)(2 7. 设 ),( 联合分布函数为 )4a r c t a n)(3a r c t a n(),( 求： （ 1）常数 , ； （ 2） ),( 联合概率密度； （ 3） ),( 边缘分布函数和边缘概率密度； （ 4） )3( )4( )4,3( （ 5）判断 X 与 Y 的独立性。 解 （ 1）依分布函数的性质知 1)2)(2()4ar c t 3ar c t an( 0)2)(2(),( ； ),0()2()2()0,( ； 解得21A，2 (2) 41)161(1)3ar c t ),(),(222 34 )16)(9( 12 222 (3) 依联合分布函数的性质知 3a r c t a ()( X ， 4a r c t a ()( Y ; 所以 ),( 边缘概率密度分别为 )9( 3)( 22 ， )16( 4)( 22 . (4) 43)3()3( 3)4()4( 169)4,3()4,3( ) 因为 )()()16)(9( 12),( 222 所以 X 与 Y 相互独立 . 8. 设某仪器由两个部件构成，用 X 、 Y 分布表示两个部件的寿命（单位：小时），已知 ),( 联合分布函数为 。其它,0;0,0,1),( )( 求：（ 1）求 ),( 两个 边缘分布函数 ； （ 2）求 ),( 合概率密度与边缘概率密度； （ 3） X 与 Y 是否独立； （ 4）两个部件寿命都超过 100 小时的概率。 解 （ 1） 当 0x 时，有 )1()( ； 当 0x 时，有 0),( 所以 ),( 于 X 的边缘分布函数为 ;0,1)( ,( 于 Y 的边缘分布函数为 35 ;0,1)( ) 当 0,0 ，有 )(),(),( 所以 ),( 合概率密度为 。其它,0;0,0,( )(5.0 应地其边缘概率密度分别为 ;0, ;0, ) 因为 )()(),( 所以 X 与 Y 相互独立。 (4) 所求事件的概率为 )9. 设 X 与 Y 相互独立，且 X 服从 3 的指数分布， Y 服从 4 的指数分布， 试求： （ 1） ),( 合概率密度与边缘概率密度； （ 2） )1,1( （ 3） ),( 343,0,0),( 值的概率。 解 （ 1）依题知 其他,00,3)( 3 其他,00,4)( 4 ,( 合概率密度 其他,00,0,12),( 43 0,0 ，有 36 )1)(1(12),( 430 0 43 y st 所以 ),( 合分布函数 其他,0;0,0),1)(1(),( 43 2） )1)(1()1,1()1,1( 43 （ 3）